2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 直線與圓學(xué)案.docx

第1講直線與圓考向預(yù)測(cè)1直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn)；2考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡(jiǎn)單的弦長(zhǎng)與切線問題，多為選擇題、填空題1兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1l2k1k2，l1l2k1k21若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在2兩個(gè)距離公式(1)兩平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20間的距離d(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d3圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圓心為(a，b)，半徑為r(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圓心為，半徑為r4直線與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d<r相交；dr相切；d>r相離(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式來討論位置關(guān)系：>0相交；0相切；<0相離熱點(diǎn)一直線的方程【例1】(2018江南十校)已知點(diǎn)M(a,b)，a>0，b>0是圓C:x2+y2=1內(nèi)一點(diǎn)，直線ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1圍成的四邊形的面積為S，則下列說法正確的是（）AS>4BS4CS<4DS4解析由已知a2+b2<1，四條直線圍成的四邊形面積S=42ab4a2+b2>4答案A探究提高1求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性2求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意【訓(xùn)練1】(2017貴陽(yáng)質(zhì)檢)已知直線l1：mxy10，l2：(m3)x2y10，則“m1”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析“l(fā)1l2”的充要條件是“m(m3)120m1或m2”，因此“m1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件答案A熱點(diǎn)二圓的方程【例2】(2019江西名校聯(lián)盟)已知點(diǎn)A(-2,-1)，B(1,3)，則以線段AB為直徑的圓的方程為（）A(x-12)2+(y+1)2=25B(x+12)2+(y-1)2=25C(x-12)2+(y+1)2=254D(x+12)2+(y-1)2=254解析圓心為AB的中點(diǎn)-12,1，半徑為(-12+2)2+(1+1)2=52，則以線段AB為直徑的圓的方程為(x+12)2+(y-1)2=254答案D探究提高1直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程2待定系數(shù)法求圓的方程【訓(xùn)練2】圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析設(shè)圓心(a>0)，半徑為a由勾股定理得()2a2，解得a2所以圓心為(2，1)，半徑為2，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24答案(x2)2(y1)24熱點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系【例3】(1)(2019銀川一中)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，且|OA+OB|=|OA-OB|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A2B2C2D2(2)(2017菏澤二模)已知圓C的方程是x2y28x2y80，直線l：ya(x3)被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l方程為_解析(1)由|OA+OB|=|OA-OB|得OA+OB2=OA-OB2，OAOB=0，OAOB，三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為2，即a2=2，a2，故選B(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x4)2(y1)29，圓C的圓心C(4，1)，半徑r3又直線l：ya(x3)過定點(diǎn)P(3，0)，則當(dāng)直線ya(x3)與直線CP垂直時(shí)，被圓C截得的弦長(zhǎng)最短因此akCPa1，a1故所求直線l的方程為y(x3)，即xy30答案(1)B，(2)xy30探究提高1研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題2與弦長(zhǎng)有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長(zhǎng)，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理【訓(xùn)練3】(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2，4)(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|OA|，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x6)2(y7)225，圓心M(6，7)，半徑r5，由題意，設(shè)圓N的方程為(x6)2(yb)2b2(b0)，且b5解得b1，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21(2)kOA2，可設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0又|BC|OA|2，由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d2，即2，解得m5或m15直線l的方程為2xy50或2xy150(3)由，則四邊形AQPT為平行四邊形，又P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，|PQ|2r10|TA|PQ|10，即10，解得22t22故所求t的范圍為22，221(2016全國(guó)卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a（）ABCD22(2018全國(guó)III卷)直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓x-22+y2=2上，則ABP面積的取值范圍是（）A2，6B4，8C2，32D22，323(2016全國(guó)卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_4(2018全國(guó)I卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A，B兩點(diǎn)，則AB=_1(2018聊城一中)已知斜率為k的直線l平分圓x2+y2-2x+3y=0且與曲線y2=x恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的k值有（）個(gè)A1B2C3D02過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為（）A2xy50B2xy70Cx2y50Dx2y703(2015全國(guó)卷)已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）ABCD4(2017北京卷)已知點(diǎn)P在圓x2y21上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為_5(2015全國(guó)卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|1(2018成都月考)直線l:x+4y=2與圓C:x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA、OB的傾斜角分別為、，則cos+cos=（）A1817B-1217C-417D4172(2017濟(jì)南調(diào)研)若直線xym0被圓(x1)2y25截得的弦長(zhǎng)為2，則m的值為（）A1B3C1或3D23(2017廣安調(diào)研)過點(diǎn)(1，1)的直線l與圓(x2)2(y3)29相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|4時(shí)，直線l的方程為_4(2017池州模擬)某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120，則圓C的方程為_5已知點(diǎn)A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3xy10和l2：xy30的交點(diǎn)，求直線l的方程參考答案1【解題思路】點(diǎn)到直線距離公式d【答案】圓x2y22x8y130化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y4)24，故圓心為(1，4)由題意，得d1，解得a故選A2【解題思路】先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到AB，再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可【答案】直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，A-2,0,B(0,-2),則AB=22，點(diǎn)P在圓（x-2）2+y2=2上，圓心為（2，0），則圓心到直線距離d1=|2+0+2|2=22，故點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d2的范圍為2,32，則SABP=12ABd2=2d22,6，故答案選A點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題3【解題思路】利用弦心距結(jié)合勾股定理求弦長(zhǎng)列方程求半徑【答案】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，點(diǎn)C到直線yx2a的距離為d又由|AB|2，得a22，解得a22，所以圓C的面積為(a22)4故填44【解題思路】首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，之后應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長(zhǎng)、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長(zhǎng)【答案】根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+1)2=4，所以圓的圓心為(0,-1)，且半徑是2，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得d=0+1+112+(-1)2=2，結(jié)合圓中的特殊三角形，可知AB=24-2=22，故答案為22點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長(zhǎng)問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長(zhǎng)、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果1【解題思路】直線平分圓可知，直線經(jīng)過圓心，從而可得直線的方程，然后和曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定k的值【答案】圓x2+y2-2x+3y=0的圓心為(1,-32)，所以設(shè)直線為y+32=k(x-1)聯(lián)立y+32=k(x-1)y2=x，得ky2-y-k-32=0因?yàn)榍∮幸粋€(gè)公共點(diǎn)，所以k=0或者k01-4k(-k-32)=0，解得k=-354綜上可得，k的值有3個(gè)，故選C2【解題思路】過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條【答案】依題意知，點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，且為切點(diǎn)圓心(1，0)與切點(diǎn)(3，1)連線的斜率為，所以切線的斜率k2故圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70故選B3【解題思路】待定系數(shù)法求圓的方程【答案】設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0，ABC外接圓的圓心為，因此圓心到原點(diǎn)的距離d故選B4【解題思路】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用向量數(shù)量積定義即可【答案】由題意知，(2，0)，令P(x，y)，1x1，則(2，0)(x2，y)2x46，故的最大值為6故填65【解題思路】(1)直線與圓相交，可得d<r，(2)利用韋達(dá)定理【答案】(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1，解得<k<所以k的取值范圍為(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70所以x1x2，x1x2x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1故圓心C在l上，所以|MN|21【解題思路】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函數(shù)的定義得：cos+cosx1+x2，由此利用韋達(dá)定理能求出cos+cos的值【答案】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函數(shù)的定義得：cos+cosx1+x2，由x+4y=2x2+y2=1，消去y得：17x24x120則x1+x2=417，即cos+cos=417故選D2【解題思路】利用弦心距結(jié)合勾股定理求圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求m【答案】圓(x1)2y25的圓心C(1，0)，半徑r又直線xym0被圓截得的弦長(zhǎng)為2圓心C到直線的距離d，因此，m1或m3故選C3【解題思路】設(shè)出直線方程，再利用弦心距結(jié)合勾股定理求出圓心到直線的距離【答案】易知點(diǎn)(1，1)在圓內(nèi)，且直線l的斜率k存在，則直線l的方程為y1k(x1)，即kxy1k0又|AB|4，r3，圓心(2，3)到l的距離d因此，解得k直線l的方程為x2y30故填x2y304【解題思路】求出圓心到直線的距離，再根據(jù)三角函數(shù)求半徑【答案】由題意，a40，b24，直線axby80，即5x3y10，A(1，1)到直線的距離為，直線axby80與以A(1，1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且BAC120，r，圓C的方程為(x1)2(y1)2故填(x1)2(y1)25【解題思路】聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)到直線距離相等可能在同側(cè)，也可能在兩側(cè)【答案】解方程組得交點(diǎn)P(1，2)若點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，則lAB而kAB，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y2(x1)，即x2y50若點(diǎn)A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線l的方程為，即x6y110綜上所述，直線l的方程為x2y50或x6y110