高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念 3.1.2 復數(shù)的幾何意義學案 新人教A版選修22

3.1.2復數(shù)的幾何意義學習目標：1.理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系(重點、難點)2.掌握實軸、虛軸、模等概念. (易混點)3.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法(重點)自 主 預 習探 新 知1復平面思考：有些同學說：實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示虛數(shù)，這句話對嗎？提示不正確實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復數(shù)是z00i0，表示的是實數(shù)2復數(shù)的幾何意義3復數(shù)的模(1)定義：向量的模叫做復數(shù)zabi的模，(2)記法：復數(shù)zabi的模記為|z|或|abi|且|z|.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)復平面內(nèi)的點與復數(shù)是一一對應(yīng)的()(2)復數(shù)即為向量，反之，向量即為復數(shù)()(3)復數(shù)的模一定是正實數(shù)()(4)復數(shù)與向量一一對應(yīng)()答案(1)(2)(3)(4) 2已知復數(shù)zi，復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為()A(0，1)B(1,0)C(0,0) D(1，1)A復數(shù)zi的實部為0，虛部為1，故復平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標為(0，1)3向量a(2, 1)所對應(yīng)的復數(shù)是() 【導學號：31062199】Az12i Bz12iCz12i Dz2iD向量a(2,1)所對應(yīng)的復數(shù)是z2i.4已知復數(shù)z12i(i是虛數(shù)單位)，則|z|_.解析z12i，|z|.答案合 作 探 究攻 重 難復數(shù)與復平面內(nèi)的點的關(guān)系探究問題1在復平面上，如何確定復數(shù)zabi(a，bR)對應(yīng)的點所在的位置？提示：看復數(shù)zabi(a，bR)的實部和虛部所確定的點的坐標(a，b)所在的象限即可2在復平面上，若復數(shù)zabi(a，bR)對應(yīng)的點在第一象限，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足什么條件？我們可以得到什么啟示？提示：a>0，且b>0.在復平面內(nèi)復數(shù)所表示的點所處位置，決定了復數(shù)實部、虛部的取值特征求實數(shù)a分別取何值時，復數(shù)z(a22a15)i(aR)對應(yīng)的點Z滿足下列條件： 【導學號：31062200】(1)在復平面的第二象限內(nèi)(2)在復平面內(nèi)的x軸上方思路探究解(1)點Z在復平面的第二象限內(nèi)，則解得a3.(2)點Z在x軸上方，則，即(a3)(a5)0，解得a5或a3.母題探究：1.(變結(jié)論)本例中題設(shè)條件不變，求復數(shù)z表示的點在x軸上時，實數(shù)a的值解點Z在x軸上，所以a22a150且a30，所以a5.故a5時，點Z在x軸上2(變結(jié)論)本例中條件不變，如果點Z在直線xy70上，求實數(shù)a的值解因為點Z在直線xy70上，所以a22a1570，即a32a215a300，所以(a2)(a215)0，故a2或a.所以a2或a時，點Z在直線xy70上規(guī)律方法利用復數(shù)與點的對應(yīng)解題的步驟(1)首先確定復數(shù)的實部與虛部，從而確定復數(shù)對應(yīng)點的橫、縱坐標.(2)根據(jù)已知條件，確定實部與虛部滿足的關(guān)系.復數(shù)的模及其應(yīng)用(1)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實數(shù)，則|xyi| () 【導學號：31062201】A1B.C. D2(2)已知復數(shù)z滿足z|z|28i，求復數(shù)z. (1)B因為(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，故選B.(2)設(shè)zabi(a、bR)，則|z|，代入方程得abi28i，解得.z158i.規(guī)律方法1.復數(shù)zabi模的計算：|z|.2.復數(shù)的模的幾何意義：復數(shù)的模的幾何意義是復數(shù)所對應(yīng)的點到原點的距離.3.轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實虛部滿足的條件，是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想.跟蹤訓練1(1)若復數(shù)z(a2a6)i是實數(shù)，則z1(a1)(12a)i的模為_(2)已知復數(shù)z3ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)z為實數(shù)，a2a60，a2或3.a2時，z無意義，a3，z125i，|z1|.答案(2)法一：z3ai(aR)，|z|，由已知得32a2<42，a2<7，a(，)法二：利用復數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z3ai知z對應(yīng)的點在直線x3上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合由圖可知：<a<.復數(shù)與復平面內(nèi)向量的關(guān)系(1)在復平面內(nèi)，復數(shù)65i，23i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復數(shù)是() 【導學號：31062202】A480i B82iC24i D4i(2)在復平面內(nèi)，A，B，C三點對應(yīng)的復數(shù)分別為1,2i，12i.求向量，對應(yīng)的復數(shù)；判定ABC的形狀(1)C兩個復數(shù)對應(yīng)的點分別為A(6,5)，B(2,3)，則C(2,4)故其對應(yīng)的復數(shù)為24i.(2)由復數(shù)的幾何意義知：(1,0)，(2,1)，(1,2)，所以(1,1)， (2,2), (3,1)，所以，對應(yīng)的復數(shù)分別為1i，22i，3i.因為|，|2，|，所以|2|2|2，所以ABC是以BC為斜邊的直角三角形規(guī)律方法復數(shù)與向量的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化對應(yīng)：復數(shù)z與向量OZ是一一對應(yīng)關(guān)系.轉(zhuǎn)化：復數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解.解決復數(shù)問題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復數(shù)問題實數(shù)化；(二)數(shù)形結(jié)合思想：利用復數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復數(shù)的特征整體處理.跟蹤訓練2設(shè)O為原點，向量，對應(yīng)的復數(shù)分別為23i，32i，那么向量對應(yīng)的復數(shù)為()A1i B1iC55i D55iD由題意知，(2,3)，(3，2)(5,5)，對應(yīng)的復數(shù)為55i，故選D.當 堂 達 標固 雙 基1復數(shù)z12i(i為虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限Cz12i對應(yīng)點Z(1，2)，位于第三象限. 2已知復數(shù)z(m3)(m1)i的模等于2，則實數(shù)m的值為() 【導學號：31062203】A1或3 B1C3 D2A依題意可得2，解得m1或3，故選A.3在復平面內(nèi)表示復數(shù)z(m3)2i的點在直線yx上，則實數(shù)m的值為_解析z(m3)2i表示的點在直線yx上，m32，解之得m9.答案94復數(shù)zx2(3x)i在復平面內(nèi)的對應(yīng)點在第四象限，則實數(shù)x的取值范圍是_解析復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，解得x3.答案(3，)5在復平面內(nèi)畫出下列復數(shù)對應(yīng)的向量，并求出各復數(shù)的模. 【導學號：31062204】z11i；z2i；z32；z422i.解在復平面內(nèi)分別畫出點Z1(1，1)，Z2， Z3(2,0)，Z4(2,2)，則向量，分別為復數(shù)z1，z2，z3，z4對應(yīng)的向量，如圖所示各復數(shù)的模分別為：|z1|；|z2|1；|z3|2；|z4|2.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375