黑龍江省哈爾濱市重點(diǎn)高中2022屆高三上學(xué)期第一次階段考試 數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2019級(jí)高三上學(xué)期階段考試數(shù)學(xué)試題（理）試題說明：1、本試題滿分150分，答題時(shí)間150分鐘。 2、 請(qǐng)將答案填寫在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡。1、 選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每道題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目要求）1. 已知集合，則A. B. C. D. 2. 設(shè)數(shù)是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是A. 1B. 2C. D. 43. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為A. B. C. D. 4. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值為 A. 9B. 7C. 17D. 215. 如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是A. 甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B. 甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C. 甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D. 甲、乙兩班所有學(xué)生這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是1036. 設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A. 的一個(gè)對(duì)稱中心為B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. 的一個(gè)零點(diǎn)為D. 在單調(diào)遞減7. 現(xiàn)將5張連號(hào)的電影票分給甲乙等5個(gè)人，每人一張，且甲乙分得的電影票連號(hào)，則共有不同分法的種數(shù)為 A. 12B. 24C. 48D. 608. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為A. 2B. C. D. 9. 中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里10. 已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球O的表面積為 A. B. C. D. 11. 已知點(diǎn)A是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且滿足，若m取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為 A. B. C. D. 12. 已知數(shù)列滿足，若前n項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)n是A. 60B.62C. 63D. 652、 填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 設(shè)，則z的虛部為 14. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 15. 已知A、B、C為的三內(nèi)角，且角A為銳角，若，則的最小值為16. 如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，AD與CE交于點(diǎn)若，則的值是三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17. 在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足，求的面積；若，求a的值18. 正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上求，通項(xiàng)公式；記，求的前n項(xiàng)和.19. 如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)求證：平面；求直線與平面所成角的正弦值20. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上 求橢圓的方程；設(shè)直線l同時(shí)與橢圓和拋物線：相切，求直線l的方程21. 已知函數(shù)其中a為參數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合；證明：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)22. 已知曲線C：，直線l：為參數(shù)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求的值參考答案1.【答案】D【解答】解：集合，故選D 2.【答案】B【解答】解：由條件，所以，設(shè)公差為d，則，解得，又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，故選B3.【答案】A【解答】解：，則切線斜率，在點(diǎn)處的切線方程為：，即故選A4.【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得，因?yàn)椋?，得故選：B5.【答案】D【解答】解：由題意可得甲班的平均分的平均水平是，中位數(shù)是103，方差是；乙班的平均分的平均水平是，中位數(shù)是101，方差是，則A，B，C正確；因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故D錯(cuò)誤故選D6.【答案】D【解析】解：函數(shù)，令，求得，故A正確；令，求得，是最值，故B正確；令，求得，故C正確；當(dāng)，故在單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤，故選：D由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題7.【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：將電影票分成4組，其中1組是2張連在一起，有4種分組方法，將連在一起的2張票分給甲乙，考慮其順序有種情況，將剩余的3張票全排列，分給其他三人，有種分法，則共有種不同分法故選：C8.【答案】C【解答】解：當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，當(dāng)時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，執(zhí)行完循環(huán)體后，當(dāng)時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出結(jié)果為：，故選：C9.【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人二天走里，第二天走了96里，故選B10.【答案】B【解答】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)，故，則球O的表面積為，故選：B11.【答案】B【解答】解：如圖，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得， ，設(shè)PA的傾斜角為，則，當(dāng)m取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為，代入，可得，即，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，雙曲線的離心率為故選B12.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列，中滿足，即+1，變形可得，又由，則數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，則，則8+當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增,<2021,>2021故滿足不等式的最小整數(shù)為63故選：C13.【答案】【解答】解：，即z的虛部為14.【答案】【解答】解：根據(jù)題意，時(shí)，則，又由函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則故選B15.【答案】【解答】解：，角A為銳角， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故的最小值為故答案為16.【答案】【解答】解：設(shè)，又=，=,BD=CD,=故答案為：17.【答案】解：因?yàn)?，又由，得，解?：對(duì)于，又，或，由余弦定理得，解法2：，又，由余弦定理得，【解析】本題主要考查了解三角形的問題涉及了三角函數(shù)中的倍角公式、余弦定理和三角形面積公式等，屬于基礎(chǔ)題利用二倍角公式利用求得cosA，進(jìn)而求得sinA，進(jìn)而根據(jù)求得bc的值，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得答案解法，1，根據(jù)bc和的值求得b和c，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得a的值解法2，根據(jù)bc和的值，利用求出答案18.解：由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡(jiǎn)整理，得，解得舍去，或，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，由得，19.【答案】解：由正方體的性質(zhì)可知，中，且，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面E.以A為原點(diǎn)，AD、AB、分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則0，0，0，a，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為【解析】本題考查空間中線面的位置關(guān)系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定理和利用空間向量求線面夾角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得，再利用線面平行的判定定理即可得證；以A為原點(diǎn)，AD、AB、分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成角為，先求出平面的法向量，再利用，以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解20.【答案】解：因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，點(diǎn)代入橢圓，得，即，所以 所以橢圓的方程為直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為，由，消去y并整理得，因?yàn)橹本€l與橢圓相切，所以 整理得 由，消去y并整理得 因?yàn)橹本€l與拋物線相切，所以 整理得 綜合，解得或 所以直線l的方程為或【解析】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，點(diǎn)代入橢圓，得，由此能求出橢圓的方程設(shè)直線l的方程為，由，得因?yàn)橹本€l與橢圓相切，所以由此能求出直線l的方程21.【答案】解：，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；綜上：時(shí)，在上遞增，無減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，由知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由知令，則，令，則，a10極大值，又，的唯一解為，實(shí)數(shù)a的取值集合為證明：要證，兩邊取對(duì)數(shù)，只要證，即要證，令，則只要證，由知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即，令，在上單調(diào)遞增，即，綜上可得，得證，即原不等式得證【解析】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于難題求出，再討論a的取值范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間；按和分類討論，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)通過求導(dǎo)討論最值即可得解分析原不等式，要證，即證，令，則只要證，利用的結(jié)論證明右邊不等式，構(gòu)造函數(shù)證明左邊不等式即可22.【答案】解：由曲線C：的方程可得其參數(shù)方程為：為參數(shù)；由直線l：為參數(shù)，消參t可得，即直線l的普通方程為：；法聯(lián)立直線l與橢圓的方程：，整理可得：，解得，代入直線l的方程可得，所以設(shè)，所以；法將直線l的標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程代入橢圓中可得：，整理可得：，可得，同號(hào)，所以【解析】由橢圓的參數(shù)方程的求法及橢圓的方程可得C的參數(shù)方程，將t消去可得直線l的普通方程；法將直線l的普通方程與橢圓的普通方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值法用直線l的標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程可得t的二次方程，求出兩根之和及兩根之積，由兩根之積大于0可得，的符合相同，進(jìn)而可得的值本題考查橢圓及直線的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，及求直線與橢圓的交點(diǎn)弦長(zhǎng)的求法，屬于中檔題