高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練11 三角變換與解三角形 理

專題對(duì)點(diǎn)練11三角變換與解三角形1.(2017全國,理17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積.解 (1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面積與ACD面積的比值為12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面積為1242sinBAC=23,所以ABD的面積為3.2.已知a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且3a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=7,且ABC的面積為332,求a+b的值.解 (1)由3a=2csin A及正弦定理得3sin A=2sin Csin A.sin A0,sin C=32.ABC是銳角三角形,C=3.(2)C=3,ABC的面積為332,12absin 3=332,即ab=6.c=7,由余弦定理得a2+b2-2abcos 3=7,即(a+b)2=3ab+7.將代入得(a+b)2=25,故a+b=5.3.(2017河南商丘二模,理17)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B).(1)求證:a,c,b成等差數(shù)列;(2)若C=3,ABC的面積為43,求c.(1)證明 b(1+cos C)=c(2-cos B),由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C,sin A+sin B=2sin C,a+b=2c,即a,c,b成等差數(shù)列.(2)解 C=3,ABC的面積為43=12absin C=34ab,ab=16,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,a+b=2c,可得c2=4c2-316,解得c=4.4.(2017河南六市聯(lián)考二模,理17)已知在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=25,b=2,求ABC的面積.解 (1)在ABC中,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B為三角形內(nèi)角,sin B0,所以sin A+cos A=0,即2sinA+4=0,又因?yàn)锳(0,),所以A=34.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,則20=4+c2-4c-22,即c2+22c-16=0,解得c=-42(舍)或c=22,又S=12bcsin A,所以S=1222222=2.5.(2017四川成都二診,理17)如圖,在梯形ABCD中,已知A=2,B=23,AB=6,在AB邊上取點(diǎn)E,使得BE=1,連接EC,ED.若CED=23,EC=7.(1)求sinBCE的值;(2)求CD的長.解 (1)在CBE中,由正弦定理得CEsinB=BEsinBCE,sinBCE=BEsinBCE=1327=2114.(2)在CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BECBcos23,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BECEcosBEC,cosBEC=277,sinBEC=217,sinAED=sin23+BEC=32277-12217=2114,cosAED=5714,在RtADE中,AE=5,AEDE=cosAED=5714,DE=27,在CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CEDEcos23=49,CD=7.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041836.(2017江西宜春二模,理17)如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為23,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.(1)若圍墻AP,AQ總長度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大?(2)已知竹籬笆長為503米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價(jià)均為每平方米100元,若APAQ,求圍墻總造價(jià)的取值范圍.解 設(shè)AP=x,則AQ=200-x,SAPQ=12x(200-x)sin233420022=2 5003,當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x時(shí),取等號(hào),即AP=AQ=100時(shí),SAPQ有最大值為2 5003平方米.(2)由正弦定理APsinAQP=AQsinAPQ=PQsinA,得AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ.故圍墻總造價(jià)y=100(AP+2AQ)=10 000(sinAQP+2sinAPQ)=10 0003cosAQP.因?yàn)锳PAQ,所以6AQP<3,所以32<3cosAQP32.所以圍墻總造價(jià)(單位:元)的取值范圍為(5 0003,15 000.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041847.已知向量a=cos2+x,sin2+x,b=(-sin x,3sin x),f(x)=ab.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若fA2=1,a=23,求ABC面積的最大值.解 (1)易得a=(-sin x,cos x),則f(x)=ab=sin 2x+3sin xcos x=12-12cos 2x+32sin 2x=sin2x-6+12,f(x)的最小正周期T=22=,當(dāng)2x-6=2+2k(kZ)時(shí),即x=3+k(kZ),f(x)取最大值是32.(2)fA2=sinA-6+12=1,sinA-6=12,A=3.a2=b2+c2-2bccos A,12=b2+c2-bc,b2+c2=12+bc2bc,bc12.(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立)S=12bcsin A=34bc33.當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)面積最大,最大值是33.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041858.(2017陜西咸陽二模,理17)設(shè)函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xR).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若fC2=0,c=2,求ABC面積的最大值.解 (1)函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xR),化簡可得f(x)=12sin 2x-121-cos2x-2=sin 2x-12.令2k-22x2k+2(kZ),則k-4xk+4(kZ),即f(x)的遞增區(qū)間為k-4,k+4(kZ),令2k+22x2k+32(kZ),則k+4xk+34(kZ).可得f(x)的遞減區(qū)間為k+4,k+34(kZ).(2)由fC2=0,得sin C=12.ABC是銳角三角形,C=6.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,將c=2,C=6代入得4=a2+b2-3ab.由基本不等式得a2+b2=4+3ab2ab,即ab4(2+3),SABC=12absin C124(2+3)12=2+3,即ABC面積的最大值為2+3.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375