單因素試驗的方差分析

單因素試驗的方差分析 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結果進行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結果的一種方法。引 言基 本 概 念 試驗指標試驗結果。 可控因素在影響試驗結果的眾多因素中，可人為 控制的因素。水平可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。單因素試驗如果在一項試驗中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。引例 例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下：160016801570153015201510丁1820816601800717401720616401750170051620170016804160015501460丙164016401580乙165016101600 甲321 燈泡壽命燈絲燈泡的使用壽命試驗指標 燈絲的配料方案試驗因素（唯一的一個） 四種配料方案（甲乙丙?。┧膫€水平 因此，本例是一個四水平的單因素試驗。 引 例 用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即XiN（?i，?2）（i=1，2，3，4）本例問題歸結為檢驗假設 H0：?1= ?2= ?3= ?4 是否成立 我們的目的是通過試驗數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標是否有影響。 設 A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應的指標視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復試驗： （可等重復也可不等重復），同一水平的 個結果，就是這個總體 的一個樣本： 單因素試驗的方差分析因此，相互獨立，且與 同分布。 單因素試驗資料表其中諸 可以不一樣，水平重復 1. ni（水平組內(nèi)平均值）（總平均值）試驗結果 縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內(nèi)差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。品種重復123例：五個水稻品種單位產(chǎn)量的觀測值P165 由于同一水平下重復試驗的個體差異是隨機誤差，所以設：其中 為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布線性統(tǒng)計模型 單因素試驗的方差分析的數(shù)學模型具有方差齊性。相互獨立，從而各子樣也相互獨立。首先，我們作如下假設： 即 令 （其中 ）稱為一般平均值。稱為因素A的第 個水平 的效應。則線性統(tǒng)計模型變成于是檢驗假設： 等價于檢驗假設： 顯然有： 整個試驗的均值 考察統(tǒng)計量經(jīng)恒等變形，可分解為：其中組間平方和（系統(tǒng)離差平方和）反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。如果H0 成立，則SSA 較小。若H0成立，則總離差平方和 見書P168 其中 組內(nèi)平方和誤差平方和這里反映的是重復試驗種隨機誤差的大小。表示水平Ai的隨機誤差； 表示整個試驗的隨機誤差若假設 成立，則 由P106定理5.1可推得：將 的自由度分別記作則（記 ，稱作均方和）（各子樣同分布） 則（記 ，稱作均方和）對給定的檢驗水平 ，由得H0 的拒絕域為：8><#004699>F 單側檢驗 結論：方差分析實質上是假設檢驗，從分析離差平方和入手，找到<#004699>F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進行假設檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。思考：為什么此處只做單側檢驗？ （1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標記 ；約 定 （2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標記 ；（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標記（ ）；（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。注意：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定：單因素試驗方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和<#004699>F 值<#004699>F 值臨介值簡便計算公式：其中同一水平下觀測值之和 所以觀測值之和 例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。飼料ABC增重51 40 43 4823 25 2623 28解：解：不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。列方差分析表方差來源組間組內(nèi)總和平方和自由度均方和<#004699>F 值<#004699>F 值臨介值例2的上機實現(xiàn)步驟1、輸入原始數(shù)據(jù)列，并存到A，B，C列； 各水平數(shù)據(jù)放同一列各水平數(shù)據(jù)放在不同列2、選擇Stat&gt;ANOVA&gt;one-way(unstacked) 不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。定理 在單因素方差分析模型中，有 如果H0不成立，則 所以， 即H0不成立時， 有大于1的趨勢。 所以H0為真時的小概率事件應取在<#004699>F值較大的一側。