2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

第一章 不等關(guān)系與基本不等式章末復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理本章的重要知識(shí)要點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)平均值不等式的理解和應(yīng)用，尤其注意等號(hào)成立的條件.3.鞏固對(duì)絕對(duì)值不等式的理解和掌握，進(jìn)一步熟練絕對(duì)值不等式的應(yīng)用.4.熟練掌握不等式的證明方法1實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：abab0，abab0，abab0，由此可知要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，判斷差的符號(hào)即可2不等式的4個(gè)基本性質(zhì)及5個(gè)推論3絕對(duì)值不等式(1)絕對(duì)值不等式的解法解含絕對(duì)值的不等式的基本思想是通過去掉絕對(duì)值符號(hào)，把含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式去絕對(duì)值符號(hào)常見的方法有：根據(jù)絕對(duì)值的定義；分區(qū)間討論(零點(diǎn)分段法)；圖像法(2)絕對(duì)值三角不等式|a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|ab|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離；|ab|a|b|(a，bR，ab0時(shí)等號(hào)成立)；|ac|ab|bc|(a，b，cR，(ab)(bc)0時(shí)等號(hào)成立)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左邊“”成立的條件是ab0，右邊“”成立的條件是ab0)4平均值不等式(1)定理1：若a，bR，則a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”)(2)定理2：若a，bR，則(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”)(3)定理3：若a，b，cR，則a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)(4)定理4：若a，b，cR，則(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)(5)推論：若a1，a2，anR，則.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí)取“”5不等式的證明方法(1)比較法(2)分析法(3)綜合法(4)反證法(5)幾何法(6)放縮法類型一絕對(duì)值不等式的解法例1解下列關(guān)于x的不等式(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.解(1)方法一|x1|x3|，兩邊平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1.原不等式的解集為x|x1方法二分段討論：當(dāng)x1時(shí)，有x1x3，此時(shí)x；當(dāng)1x3時(shí)，有x1x3，即x1，此時(shí)1x3；當(dāng)x3時(shí)，有x1x3，x3.原不等式解集為x|x1(2)分段討論：當(dāng)x時(shí)，原不等式變形為2x2x52x，解得x7，不等式解集為.當(dāng)x2時(shí)，原不等式變形為2x2x52x，解得x，不等式解集為.當(dāng)x2時(shí)，原不等式變形為x22x52x，解得x，原不等式無解綜上可知，原不等式的解集為.反思與感悟含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可先求出使每個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，討論每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式在每一個(gè)區(qū)間的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式去解這種方法通常稱為零點(diǎn)分段法跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以解得a3.類型二不等式的證明例2已知abcd，求證：.證明abcd，ab0，bc0，cd0，(ad)(ab)(bc)(cd)339.反思與感悟不等式證明的基本方法是比較法，分析法，綜合法，在證明時(shí)注意對(duì)所證不等式恰當(dāng)分組，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行證明跟蹤訓(xùn)練2已知a，b，cR，且abbcca1，求證：(1)abc；(2)()證明(1)要證abc，由于a，b，cR，因此只需證(abc)23，即證a2b2c22(abbcca)3，根據(jù)條件，只需證a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2可知，原不等式成立(2)，在(1)中已證abc，要證原不等式成立，只需證，abbcca1，即證abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào))成立，原不等式成立類型三利用平均值不等式求最值例3已知x，y，zR，x2y3z0，則的最小值為_答案3解析由x2y3z0，得y，則3，當(dāng)且僅當(dāng)x3z時(shí)取“”反思與感悟利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型(1)當(dāng)和為定值時(shí)，積有最大值(2)當(dāng)積為定值時(shí)，和有最小值，在具體應(yīng)用基本不等式解題時(shí)，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”跟蹤訓(xùn)練3當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為_答案4解析f(x)，x，cos x0，sin x0.故f(x)24，當(dāng)且僅當(dāng)tan x時(shí)取“”類型四恒成立問題例4設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x4|a.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若f(x)1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x4|1|x14x|14，f(x)min4.(2)f(x)1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立|x1|x4|1a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立a4.當(dāng)a0時(shí)，上式成立；當(dāng)a0時(shí)，a24，當(dāng)且僅當(dāng)a，即a2時(shí)上式取等號(hào)，此時(shí)a4成立綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0)2反思與感悟不等式恒成立問題，通常是分離參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問題當(dāng)然，根據(jù)題目特點(diǎn)，還可能用變更主次元、數(shù)形結(jié)合等方法跟蹤訓(xùn)練4已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若|f(x)2f|k恒成立，求k的取值范圍解(1)由|ax1|3，得4ax2，f(x)3的解集為x|2x1，當(dāng)a0時(shí)，不合題意又當(dāng)a0時(shí)，x，a2.(2)令h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，h(x)|h(x)|1，k1，即k的取值范圍是1，)1給出下列四個(gè)命題：若ab，c1，則algcblgc；若ab，c0，則algcblgc；若ab，則a2cb2c；若ab0，c0，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析正確，c1，lg c0；不正確，當(dāng)0c1時(shí)，lg c0；正確，2c0；正確，由ab0，得0，故.2設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，以下不等式恒成立的是()；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2.ABCD答案D解析不恒成立，因?yàn)閍b時(shí)取“”；恒成立，因?yàn)閍，b均為正數(shù)；不恒成立，當(dāng)a2，b1時(shí)，a2b25,4ab3b25，a2b24ab3b2.是恒成立的，因?yàn)閍b22.3若a，b，c，則()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b，c，3553，bc.a，c，3225，ac.bac，故選C.4求不等式1的解集解111x1原不等式的解集為(2,0)5若不等式|xa|x2|1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)y|xa|x2|，則ymin|a2|.因?yàn)椴坏仁絴xa|x2|1對(duì)任意xR恒成立所以|a2|1，解得a3或a1.1本章的重點(diǎn)是平均值不等式、絕對(duì)值不等式和不等式的證明方法要特別注意含絕對(duì)值不等式的解法2重點(diǎn)題型有利用不等式的基本性質(zhì)、平均值不等式、絕對(duì)值不等式證明不等式或求函數(shù)最值問題；解絕對(duì)值不等式3重點(diǎn)考查利用不等式的性質(zhì)、平均值不等式求函數(shù)的最值，含參數(shù)的絕對(duì)值不等式有解、解集是空集或恒成立問題4證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等證明不等式時(shí)既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)一、選擇題1a，bR，那么下列不等式中不正確的是()A.2B.abC.D.答案C解析A滿足基本不等式；B可等價(jià)變形為(ab)2(ab)0，正確；B選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)是A選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確2設(shè)0<x<1，則a，bx1，c中最大的是()AcBbCaD隨x取值不同而不同答案A解析0<x<1，bx1>2>a，(x1)>0，c>b>a.3“a4”是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|2x1|2x3|a成立”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分又不必要條件答案B解析|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，當(dāng)a4時(shí)|2x1|2x3|a成立，即充分條件；對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|2x1|2x3|aa4，不能推出a4，即必要條件不成立4若關(guān)于x的不等式|x1|kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A(，0 B1,0C0,1D0，)答案C解析作出y|x1|與l1：ykx的圖象如圖所示，當(dāng)k<0時(shí)，直線一定經(jīng)過第二、四象限，從圖看出明顯不恒成立；當(dāng)k0時(shí)，直線為x軸，符合題意；當(dāng)k>0時(shí)，要使|x1|kx恒成立，只需k1.綜上可知k0,15設(shè)a(m21)(n24)，b(mn2)2，則()AabBa<bCabDab答案D解析ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，ab.6已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，ab0，則下列不等式中成立的是()AbcadBbcadC.D.答案B解析將兩邊同乘以正數(shù)ab，得bcad，所以bcad.二、填空題7已知不等式|x2|x|a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2，)解析|x2|x|x2x|2，2|x2|x|2，不等式|x2|x|a的解集不是空集，a2.8當(dāng)x1時(shí)，x3與x2x1的大小關(guān)系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9定義運(yùn)算“”：xy(x，yR，xy0)，當(dāng)x0，y0時(shí)，xy(2y)x的最小值為_答案解析因?yàn)閤y，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立10若f(x)2|x1|x1|且f(x)2，則x的取值范圍是_答案解析f(x)2x是增函數(shù)，f(x)2，即|x1|x1|，x1，x1，無解綜上x.11已知函數(shù)f(x)|xa|，若不等式f(x)3的解集為x|1x5，則實(shí)數(shù)a的值為_答案2解析由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2，所以實(shí)數(shù)a的值為2.三、解答題12已知函數(shù)f(x)，ab，設(shè)a，bR，求證：|f(a)f(b)|<|ab|.證明方法一|f(a)f(b)|<|ab|<|ab|2<|ab|22a2b22<a22abb21ab<.當(dāng)1ab0時(shí)，式顯然成立當(dāng)1ab>0時(shí)，(1ab)2<212aba2b2<1a2b2a2b22ab<a2b2，ab，2ab<a2b2成立式成立綜上知，原不等式成立方法二當(dāng)ab時(shí)，原不等式顯然成立當(dāng)ab時(shí)，|<|ab|，原不等式成立13(2017全國)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解(1)f(x)當(dāng)x1時(shí)，f(x)1無解；當(dāng)1x2時(shí)，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當(dāng)x2時(shí)，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2.當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)，|x1|x2|x2x，故m的取值范圍是.四、探究與拓展14設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件證明(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，又abcd，abcd，所以()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.由(1)得.若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，是|ab|cd|的充要條件15(2018全國)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)時(shí)不等式f(x)x成立，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集為.(2)當(dāng)x(0,1)時(shí)，|x1|ax1|x成立等價(jià)于當(dāng)x(0,1)時(shí)，|ax1|1成立若a0，則當(dāng)x(0,1)時(shí)，|ax1|1；若a0，則|ax1|1的解集為，所以1，故0a2.綜上，a的取值范圍為(0,2