2020版高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 專題突破六 構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

專題突破六構(gòu)造函數(shù)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用所謂“構(gòu)造函數(shù)”即從無到有，即在解題的過程中，根據(jù)題目的條件和結(jié)構(gòu)特征，不失時(shí)機(jī)地“構(gòu)造”出一個(gè)具體函數(shù)，對學(xué)生的思維能力要求較高，難度較大，一般都作為小題或解答題的壓軸部分一、作差法構(gòu)造例1設(shè)函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax，它們的圖像在x軸上的公共點(diǎn)處有公切線求證：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<g(x)證明因?yàn)閒(x)lnx與x軸的交點(diǎn)為(1,0)，f(x)與g(x)的圖像在x軸上的公共點(diǎn)處有公切線，所以g(1)0，即ab0，由f(1)g(1)得ab1，a，b，則g(x)x，令h(x)f(x)g(x)lnxx，由x>1知，h(x)<0，所以h(x)在(1，)上是減函數(shù)，即h(x)<h(1)0，f(x)<g(x)點(diǎn)評證明不等式或證明不等式恒成立問題都可以利用作差法，將不等式右邊轉(zhuǎn)化為0，然后構(gòu)造新函數(shù)F(x)，最后根據(jù)新函數(shù)F(x)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為F(x)min0或F(x)max0來解決跟蹤訓(xùn)練1當(dāng)x(0，)時(shí)，證明：lnx1.考點(diǎn)題點(diǎn)證明設(shè)g(x)lnx1，則g(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0.所以x1是g(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)g(1)0.因此，當(dāng)x(0，)時(shí)，lnx1.二、分離參數(shù)法構(gòu)造例2若對任意的xe，)，都有xlnxaxa，求實(shí)數(shù)a的取值范圍考點(diǎn)題點(diǎn)解對于任意的xe，)，都有xlnxaxa，等價(jià)于a在e，)上恒成立，令h(x)，h(x)，xe，)，當(dāng)xe時(shí)，(xlnx1)1>0，即m(x)xlnx1在e，)上是增加的，故m(x)m(e)e2>0，h(x)>0，所以h(x)在e，)上是增加的，h(x)minh(e)，所以a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)評恒成立問題中，求參數(shù)范圍的問題，常常分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為aF(x)min或aF(x)max.其中F(x)為構(gòu)造的新函數(shù)跟蹤訓(xùn)練2(2018玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)extx(e為自然對數(shù)的底數(shù))若對于任意的x(0,2，不等式f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案(e，)解析依題意得extx>0在(0,2上恒成立，即對任意的x(0,2，t>恒成立令g(x)，g(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<2時(shí)，g(x)<0.函數(shù)g(x)在(0,1)上是增加的，在(1,2)上是減少的函數(shù)g(x)在x1處取得極大值即最大值g(1)e.故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(e，)三、依據(jù)題干的“結(jié)構(gòu)特征”猜想構(gòu)造例3若定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足f(x)>f(x)，則當(dāng)a>0時(shí)，f(a)與eaf(0)的大小關(guān)系為()Af(a)<eaf(0) Bf(a)>eaf(0)Cf(a)eaf(0) D不能確定考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析令F(x)，則F(x)>0，從而F(x)在R上是增加的，于是當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(a)>F(0)f(0)，即f(a)>eaf(0)點(diǎn)評常依據(jù)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)和來構(gòu)造函數(shù)如熟悉下列結(jié)論可達(dá)到事半功倍的效果如：(1)對于f(x)f(x)>0構(gòu)造h(x)exf(x)；(2)對于f(x)f(x)>0構(gòu)造h(x)；(3)對于xf(x)f(x)>0構(gòu)造h(x)xf(x)；(4)對于xf(x)f(x)>0構(gòu)造h(x).跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得>0成立的x的取值范圍是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案(1,0)(0,1)解析令F(x)，因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以F(x)為偶函數(shù)又F(x)，且當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，所以F(x)在(0，)上是減少的，根據(jù)對稱性，F(xiàn)(x)在(，0)上是增加的，又f(1)0，f(1)0，數(shù)形結(jié)合可知，使得>0的x的取值范圍是(1,0)(0,1)四、條件轉(zhuǎn)化后的形式的構(gòu)造例4設(shè)函數(shù)f(x)lnx，mR，若對任意b>a>0，<1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)題點(diǎn)解對任意b>a>0，<1恒成立等價(jià)于f(b)b<f(a)a恒成立，設(shè)h(x)f(x)xlnxx(x>0)，h(x)在(0，)上是減少的，h(x)10在(0，)上恒成立，mx2x2(x>0)，則m，m的取值范圍是.點(diǎn)評運(yùn)用下列形式的等價(jià)變形構(gòu)造：分式形式<k(b>a)f(b)f(a)<k(ba)跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21，設(shè)a2.證明：對任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.考點(diǎn)題點(diǎn)證明不妨假設(shè)x1x2，由于a2，f(x)2ax<0，f(x)在(0，)上是減少的，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等價(jià)于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1，令g(x)f(x)4x，則g(x)2ax4，于是g(x)0，從而g(x)在(0，)上是減少的，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故對任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.1已知函數(shù)f(x)kx2lnx，若f(x)>0在(0，)上恒成立，則k的取值范圍是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析由f(x)>0在(0，)上恒成立，即k>.令g(x)，g(x)，當(dāng)x時(shí)，g(x)>0，g(x)是增加的，當(dāng)x時(shí)，g(x)<0，g(x)是減少的g(x)max，k>.2若，且sinsin>0，則下列結(jié)論正確的是()A>B2>2C<D>0考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析令f(x)xsinx，f(x)sinxxcosx，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)是增加的，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)是減少的，sin>sin，f()>f()，又f(x)為偶函數(shù)，|>|，故2>2.3已知f(x)是定義在(0，)上的函數(shù)，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且總有f(x)>xf(x)，則不等式f(x)>xf(1)的解集為()A(，0) B(0，)C(0,1) D(1，)考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析設(shè)g(x)(x>0)，則g(x).f(x)>xf(x)，g(x)<0，g(x)在(0，)上是減少的又f(x)>xf(1)>g(x)>g(1)，f(x)>xf(1)的解集為(0,1)4已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，且當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)xf(x)<0恒成立，若a20.2f(20.2)，b(log3)f(log3)，c(log39)f(log39)，則a，b，c的大小關(guān)系是()Ab>a>cBc>a>bCc>b>aDa>b>c考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)F(x)xf(x)，則F(x)f(x)xf(x)，因?yàn)閤<0時(shí)，f(x)xf(x)<0，所以F(x)<0，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)是減少的，又f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱所以f(x)是偶函數(shù)，則F(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)是減函數(shù)，又1<20.2<2,0<log3<1，log392，則b>a>c.5已知函數(shù)f(x)alnxx2(x>0)，若對任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1，x2都有2恒成立，則a的取值范圍是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案1，)解析由2知，函數(shù)f(x)的圖像上任何一點(diǎn)處的切線斜率都大于或等于2，故f(x)2.且f(x)x(x>0)，由x2，有ax(2x)，記g(x)x(2x)(x>0)，則ag(x)在(0，)上恒成立，所以ag(x)max(x>0)而g(x)x(2x)(x1)21，當(dāng)x1時(shí)，g(x)有最大值1.故a1.6已知f(x)(x>0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)比較20162017與20172016的大小并說明理由考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)f(x)，當(dāng)x(0，e)時(shí)，f(x)>0，f(x)是增加的，當(dāng)x(e，)時(shí)，f(x)<0，f(x)是減少的，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)(2)由(1)知f(x)在(e，)上是減少的，f(2016)>f(2017)，即>，即2017ln2016>2016ln2017，即ln20162017>ln20172016，又ylnx在(0，)上是增加的，所以20162017>20172016.7已知函數(shù)f(x)x22alnx(a2)x.(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)在1，e上的最小值和最大值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，對任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有>a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22lnxx.則f(x)x1，x1，e當(dāng)x1,2)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(2，e時(shí)，f(x)>0.f(x)在1,2)上是減函數(shù)，在(2，e上是增函數(shù)當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，其最小值為f(2)2ln2.又f(1)，f(e)e2，f(e)f(1)e2<0，f(e)<f(1)，f(x)maxf(1).即f(x)在1，e上的最小值為2ln2，最大值為.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，對任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有>a恒成立，不妨設(shè)0<x1<x2，若>a，即f(x2)ax2>f(x1)ax1.設(shè)g(x)f(x)axx22alnx(a2)xaxx22alnx2x，則g(x)x2.只需g(x)在(0，)上為增函數(shù)，即g(x)0在(0，)上恒成立，只需12a0，解得a.即a的取值范圍是.