2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例（第2課時）角度問題及其他學案（含解析）新人教B版必修5.docx

第2課時角度問題及其他學習目標1.能夠運用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.了解解三角形在物理中的應用知識點一實際應用問題中的有關術(shù)語1方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角2方位角從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的最小正角3坡角坡面與水平面的夾角4坡比坡面的垂直高度與水平距離之比知識點二解三角形在物理中的應用數(shù)學在物理學中的應用非常廣泛，某種角度上說，物理題實際上是數(shù)學應用題，解物理題就是先把實際問題抽象成數(shù)學問題，解決后再還原成實際問題的答案1方位角和方向角是一樣的()2南偏東30指正南為始邊，在水平面內(nèi)向東旋轉(zhuǎn)30.()3方位角可以是270.()題型一角度的測量問題例1如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到0.1，距離精確到0.01 n mile)解在ABC中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，AC113.15.根據(jù)正弦定理，sinCAB0.325 5，所以CAB19.0，75CAB56.0.所以此船應該沿北偏東56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思感悟解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動點(三角形頂點)，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題跟蹤訓練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時a海里，問甲船應沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？解如圖所示設經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在ABC中，BCat(海里)，ACat(海里)，B9030120，由，得sinCAB，0<CAB<90，CAB30，DAC603030，甲船應沿著北偏東30的方向前進，才能最快與乙船相遇題型二解三角形在物理中的應用例2如圖所示，對某物體施加一個大小為10N的力F，這個力被分解到OA，OB兩個方向上，已知AOB120，力F與OA的夾角為45，求分力的大小解如圖，作F，F(xiàn)1，F(xiàn)2，作OGFC，由題設知|10，F(xiàn)OG45，AOB120，則FOCAOBFOG1204575，由OGFC知，GFOFOC75，在FOG中，F(xiàn)GO180754560，由正弦定理得，即，解得OG5，由正弦定理得，即，解得FG.所以OA方向的力的大小為5N，OB方向的力的大小為N. 反思感悟解決物理等實際問題的步驟(1)把實際問題受力平衡用圖示表示(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，通過正、余弦定理解三角形(3)把數(shù)學問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解跟蹤訓練2有一兩岸平行的河流，水速為1m/s，小船的速度為m/s，為使所走路程最短，小船行駛的方向應為()A與水速成45B與水速成135C垂直于對岸D不能確定答案B解析如圖，設為水速，為船在靜水中的速度，為.依題意，當時，所走路程最短，現(xiàn)需求BAD，只要求CAD即可，在RtCAD中，|1，|，sinCAD，且CAD為銳角CAD45，BAD4590135.即小船應朝與水速成135的方向行駛1已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東10D南偏西10答案B解析如圖，因為ABC為等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.2.如圖，甲、乙二人同時從點A出發(fā)，甲沿正東方向走，乙沿北偏東30方向走當乙走了2 km到達B點時，甲走到C點，此時兩人相距 km，則甲走的路程AC等于()A2kmB2kmC.kmD1km答案D解析依題意知BC2AB2AC22ABACcosBAC，即322AC222ACcos 60，AC22AC10.解得AC1 km.3甲騎電動車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是()A6kmB3kmC3kmD3km答案C解析由題意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)4一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40方向直線航行，30min后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是()A10nmileB10nmileC20nmileD20nmile答案A解析如圖所示，由已知條件可得CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45，由正弦定理可得.BC10 (n mile)5作用于同一點的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡，已知|F1|30N，|F2|50N，F(xiàn)1和F2之間的夾角是60，求F3的大小與方向(精確到0.1)解F3應和F1，F(xiàn)2的合力F平衡，所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反如圖，在OF1F中，由余弦定理，得|F|70(N)，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2，從而F1OF3141.8.所以F3為70 N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8.1在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解2解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.一、選擇題1某船開始看見一燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見該燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是()A15kmB15kmC20kmD20km答案A解析設燈塔位置為A，船的初始位置為O，船的終止位置為B，由題意知AOB30，OAB120，則OBA30，所以由正弦定理，得AB15，即此時船與燈塔的距離是15 km.2一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過h，該船實際航程為()A2kmB6kmC2kmD8km答案B解析如圖在平行四邊形ABCD中，為河水流速，為船在靜水中的速度，為船在河水中的實際航速由題意得AB2，AD4，BAD120，22222416224cos 12012，|2，即船實際航速為2 km/h.船實際航程為26(km)3臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40km處，則B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A0.5hB1hC1.5hD2h答案B解析設A地東北方向上點P到B的距離為30km時，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化簡得x240x7000.設該方程的兩根為x1，x2，則P點的位置有兩處，即P1，P2.則|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即P1P220(km)，故t1(h)故選B.4.當太陽光與水平面的傾斜角為60時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是()A150B30C45D60答案B解析設竹竿與地面所成的角為，影子長為xm.由正弦定理，得，xsin(120)30120120，當12090，即30時，x有最大值即竹竿與地面所成的角是30時，影子最長5一艘船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60，行駛4h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15，這時船與燈塔間的距離為()A30kmB30kmC30kmD20km答案B解析如圖所示，在ABC中，BAC30，ACB105，則ABC45，AC60km，根據(jù)正弦定理，得BC30(km)6某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，則塔高為()A10mB10(1) mC.mD20m答案C解析如圖所示，設AE為塔，B為塔正東方向一點，沿南偏西60前進40 m到達C處，即BC40，CAB135，ABC30，ACB15.在ABC中，即，AC20.過點A作AGBC，垂足為G，此時仰角AGE最大，在ABC中，由面積公式知BCAGBCACsinACB.AGACsin ACB20sin 15，AG20sin(4530)2010(1)在RtAEG中，AEAGtanAGE，AE10(1)10，塔高為 m.二、填空題7一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點，則x_cm.答案解析如圖所示，設蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，則在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，則AOB60，由正弦定理知x (cm)8.如圖，小明以每分鐘20米的速度向東行走，他在A處看到一電視塔B在北偏東30，行走1小時后，到達C處，看到這個電視塔在北偏西15，則此時小明與電視塔的距離為_米答案3600解析由題意得BAC60，ACB75，所以B45，AC20601 200(米)，所以BC3 600(米)9.如圖所示為起重機裝置示意圖支桿BC10m，吊桿AC15m，吊索AB5m，起吊的貨物與岸的距離AD為_m.答案解析在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得，cosACB，sinACB，又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15.10海上一觀測站A測得南偏西60的方向上有一艘停止待維修的商船D，在商船D的正東方有一艘海盜船B正向它靠近，速度為每小時90海里，此時海盜船B距觀測站10海里，20分鐘后測得海盜船B位于距觀測站20海里的C處，再經(jīng)_分鐘海盜船B到達商船D處答案解析如圖，過A作AEBD于點E，由已知可知AB10海里，BC30海里，AC20海里，cosACB，0<ACB<180，ACB60，AE10海里DAE60，DE1030海里CAE30，CE10海里，DC20海里，t60(分鐘)三、解答題11.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A處有一燈塔，其方位角是110，在C處觀察燈塔A的方位角是35，由B到C需航行半個小時，求C到燈塔A的距離解在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得，AC10()(km)答C到燈塔A的距離為10() km.12某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼叫信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45距離為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向以10海里/小時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/小時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間解如圖所示，設所需時間為t小時，則AB10t，BC10t，ACB120.在ABC中，根據(jù)余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)即艦艇需1小時靠近漁船，此時AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理，得，所以sinCAB，又因為CAB為銳角，所以CAB30，所以艦艇航行的方位角為75.13.如圖所示，位于東海某島的雷達觀測站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北(0<<45)的C處，且cos.已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A4海里/小時B3海里/小時C2海里/小時D4海里/小時答案A解析因為cos ，0<<45，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC2(20)210222010340，所以BC2，該貨船的船速為4(海里/小時)14為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1千米處不能收到手機信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西千米有一條北偏東60方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多長時間該考點才算合格？解如圖所示，考點為A，檢查開始處為B，設檢查員行駛到公路上C，D兩點之間時收不到信號，即公路上C，D兩點到考點的距離為1千米在ABC中，AB(千米)，AC1(千米)，ABC30，由正弦定理，得sinACBAB，ACB120(ACB60不合題意)，BAC30，BCAC1千米在ACD中，ACAD1，ACD60，ACD為等邊三角形，CD1千米605，在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號，并持續(xù)至少5分鐘才算合格