2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 專題突破五 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程學(xué)案（含解析）北師大版選修1 -1.docx

專題突破五利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問(wèn)題是高考的常見(jiàn)題型之一而導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義為曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問(wèn)題是常用的方法下面對(duì)“求過(guò)一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納一、已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可例1已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2xy0解析設(shè)x>0，則x<0，f(x)ex1x，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，y22(x1)，即y2x.點(diǎn)評(píng)本題可以先利用分段型奇偶性原則，求出函數(shù)的解析式，再求函數(shù)切線，或者利用原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系來(lái)求解跟蹤訓(xùn)練1曲線y在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為()Ayx2By3x2Cy2x3Dy2x1考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析由題意知，點(diǎn)(1，1)在該曲線上，又y，所以曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率k2，故所求切線的方程為y12(x1)，即y2x1.二、已知過(guò)某點(diǎn)，求切線方程過(guò)某點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法例2求過(guò)曲線f(x)x32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f(x0)3x2.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切線過(guò)點(diǎn)(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求切線方程為y(12)(32)(x1)，或y，即xy20或5x4y10.點(diǎn)評(píng)可以發(fā)現(xiàn)直線5x4y10并不以(1，1)為切點(diǎn)，實(shí)際上是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，且以為切點(diǎn)的直線這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2求過(guò)點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)相切的直線方程考點(diǎn)題點(diǎn)解設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f(x0).所以切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切線過(guò)點(diǎn)(2,0)，代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，即切線方程為xy20.三、求兩條曲線的公切線例3(2018河南南陽(yáng)一中月考)若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9(a0)都相切(1)求切線方程；(2)求實(shí)數(shù)a的值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)因?yàn)閥x3，所以y3x2，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線yx3相切于點(diǎn)(x0，x)，則在點(diǎn)(x0，x)處的切線斜率為k3x，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x.又點(diǎn)(1,0)在切線上，所以3x2x0，解得x00或x0.故所求的切線方程為y0或yx.(2)由直線y0與曲線yax2x9相切可得方程ax2x90有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)24a(9)0，解得a；由直線yx與曲線yax2x9相切，兩方程聯(lián)立消去y，得ax23x0，此時(shí)94a0，解得a1.綜上可得，a1或a.點(diǎn)評(píng)本例是先求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，由切線與另一曲線拋物線相切，利用判別式0即可求得參數(shù)跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)圖像的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m的值為()A1B3C4D2考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則題點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的運(yùn)用答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0，m<0，于是解得m2.1函數(shù)f(x)exlnx的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程是()Ay2e(x1) Byex1Cye(x1) Dyxe考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析f(x)exlnx，f(x)(ex)lnxex(lnx)exlnx，f(1)e，又f(1)0，在(1,0)處的切線方程為ye(x1)2已知f(x)exx，則過(guò)原點(diǎn)與f(x)圖像相切的直線方程是()Ay(e1)xByexCyxDye2x考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0)，由題意可得切線斜率kf(x0)1，所以切線方程為y(1)x，由x0(1)x0，解得x01，所以切線方程為y(e1)x.3過(guò)點(diǎn)P(3,9)與曲線y2x27相切的切線的方程為_(kāi)考點(diǎn)題點(diǎn)答案8xy150或16xy390解析令yf(x)2x27，則f(x)4x，由點(diǎn)P(3,9)不在曲線上，設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0，y0)，則切線的斜率k4x0，故所求的切線方程為yy04x0(xx0)，將P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)，解得x02或4，故切點(diǎn)為(2,1)或(4,25)從而所求切線方程為8xy150或16xy390.4已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，3)處的切線方程是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案2xy10解析設(shè)x>0，則x<0，f(x)lnx3x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)lnx3x，f(x)3，f(1)2，切線方程為y2x1，即2xy10.5已知函數(shù)yx2lnx(x>0)(1)求這個(gè)函數(shù)的圖像在x1處的切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線l與這個(gè)函數(shù)的圖像相切，求直線l的方程考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)函數(shù)yx2lnx的導(dǎo)數(shù)為y2xlnxx，函數(shù)的圖像在x1處的切線斜率為2ln111，切點(diǎn)為(1,0)，可得切線的方程為y0x1，即xy10.(2)設(shè)切點(diǎn)為(m，m2lnm)，可得切線的斜率為2mlnmm，則切線的方程為ym2lnm(2mlnmm)(xm)，由于切線過(guò)點(diǎn)(0,0)，m2lnm(2mlnmm)(m)，由m>0，可得lnm2lnm1，即lnm1，解得m，所以直線l的方程為xey0.6已知雙曲線C：y(m<0)與點(diǎn)M(1,1)(1)求證：過(guò)點(diǎn)M可作兩條直線，分別與雙曲線C的兩支相切；(2)設(shè)(1)中的兩個(gè)切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線AB的斜率為定值考點(diǎn)題點(diǎn)證明(1)設(shè)Q在雙曲線C上，要證明命題成立，只需要證明關(guān)于t的方程有兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根t22mtm0，且t0，t1.因?yàn)?m24m>0，所以方程t22mtm0有兩個(gè)不相等實(shí)根，設(shè)兩根分別為t1與t2，則由t1t2m<0，知t1，t2是符號(hào)相反的實(shí)數(shù)，且t1，t2均不等于0與1，命題得證(2)設(shè)A，B，由(1)知kAB1，即直線AB的斜率為定值1.