2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破一 離心率的求法學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

專題突破一離心率的求法一、以漸近線為指向求離心率例1(1)已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為_答案2或解析方法一由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示，所以雙曲線的一條漸近線的斜率k或k，即或.又b2c2a2，所以3或，所以e24或，所以e2或.同理，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，則有或，所以或，亦可得到e或2.綜上可得，雙曲線的離心率為2或.方法二根據(jù)方法一得到：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時，漸近線的傾斜角為30或60，則離心率e或2；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，漸近線的傾斜角為30或60，則離心率e2或.綜上可得，雙曲線的離心率為2或.(2)已知雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是_考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2，)解析由題意知，即23，e2，故離心率e的取值范圍是2，)點(diǎn)評(1)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助進(jìn)行互求一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論(2)當(dāng)直線與雙曲線有一個公共點(diǎn)時，利用數(shù)形結(jié)合思想得到已知直線與漸近線斜率的關(guān)系，得到的范圍，再利用e得到離心率的取值范圍跟蹤訓(xùn)練1中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，2)，則它的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析由題意知，過點(diǎn)(4，2)的漸近線的方程為yx，24，a2b.方法一設(shè)bk(k>0)，則a2k，ck，e.方法二e211，故e.二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_思維切入連接AF1，在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案1解析方法一如圖，連接AF1，由F2AB是等邊三角形，知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形，則|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，從而雙曲線的離心率e1.方法二如圖，連接AF1，易得F1AF290，F(xiàn)1F2A30，F(xiàn)2F1A60，于是離心率e1.點(diǎn)評涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值跟蹤訓(xùn)練2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，PF1F230，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)求a，b，c得離心率答案A解析如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為PF1F2的中位線所以O(shè)MPF2，所以PF2F1MOF190.因?yàn)镻F1F230，所以|PF1|2|PF2|，|F1F2|PF2|.由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|，即a，2c|F1F2|PF2|，即c，則e.三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個焦點(diǎn)，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_思維切入通過2|AB|3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2c2a2，得到a和c的關(guān)系式，同時除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案2解析如圖，由題意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(負(fù)值舍去)點(diǎn)評求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2a2b2(或a2c2b2)，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且ABBF，則橢圓的離心率為_考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率答案解析在ABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac.由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e.因?yàn)?<e<1，所以e.四、利用圓錐曲線的范圍求離心率的取值范圍例4已知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_思維切入設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，通過c2及橢圓方程得到x2的值，由x20，a2，求得a2的范圍進(jìn)而求得e的取值范圍考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)由a與c的關(guān)系式得離心率答案解析設(shè)P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入上式，解得x2.又x20，a2，2c2a23c2，e.點(diǎn)評一是通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍，轉(zhuǎn)化為離心率的取值范圍二是利用焦半徑的范圍得到a與c的不等式從而求得離心率的范圍(1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac(2)雙曲線的焦半徑點(diǎn)P與焦點(diǎn)F同側(cè)時，其取值范圍為ca，)；點(diǎn)P與焦點(diǎn)F異側(cè)時，其取值范圍為ca，)跟蹤訓(xùn)練4已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為()A.B.C2D.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案B解析P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，|PF1|4|PF2|，4|PF2|PF2|2a，即|PF2|a，根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，可得|PF2|aca，ac，又e>1，1<e，此雙曲線的離心率e的最大值為.1如果橢圓1(a>0，b>0)的離心率為，那么雙曲線1的離心率為()A.B.C.D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析由已知橢圓的離心率為，得，a24b2.e2，雙曲線的離心率e.2已知雙曲線1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離不大于a，其離心率e的取值范圍為()A，) B，)C(1， D(1，考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析依題意，點(diǎn)(a,0)到漸近線bxay0的距離不大于a，a，解得e.又e>1，1<e，故選D.3(2018深圳檢測)以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析由題意可得bc，所以ac，所以離心率e.4若橢圓1，(a>b>0)與曲線x2y2a2b2無公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析由題意知圓的半徑是橢圓的焦距，由圓在橢圓內(nèi)部，得b>c，即b2>c2，a2>2c2，故0<e<.5設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30，則C的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則解得又|F1F2|2c，|PF2|最小在PF1F2中，由余弦定理，得cos30，2ac3a2c2.等式兩邊同除以a2，得e22e30，解得e.一、選擇題1已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線C：1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為()A2B.C3D4考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案A解析根據(jù)點(diǎn)(2,3)在雙曲線上，得1，考慮到焦距為4，則2c4，即c2.聯(lián)立及a2b2c2，解得a1，b，所以離心率e2.2(2018江西贛州高二檢測)若雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析雙曲線1的一條漸近線為yx，由題意知，e.3若a>1，則雙曲線y21的離心率的取值范圍是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析e，a>1，e(1，)4橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過F2作傾斜角為120的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為M，若MF1MF2，則橢圓的離心率為()A.B.1C23D2考點(diǎn)題點(diǎn)答案B解析由題意知，在RtMF1F2中，|F1F2|2c，F(xiàn)1F2M60，|MF2|c，|MF1|2cc，|MF1|MF2|cc2a，e1.5過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)F引它的一條漸近線的垂線FM，垂足為M，并且交y軸于點(diǎn)E，若M為EF的中點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為()A2B.C3D.考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析取右焦點(diǎn)F(c,0)，漸近線方程為yx，F(xiàn)MOM，可得直線FM的方程為y(xc)，令x0，解得y，E，線段FE的中點(diǎn)M，又中點(diǎn)M在漸近線yx上，解得ab，雙曲線的離心率e.6已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A42B21C.D.1考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案D解析因?yàn)镸F1的中點(diǎn)P在雙曲線上，所以|PF2|PF1|2a，因?yàn)镸F1F2為正三角形，邊長都是2c，所以cc2a，所以e1.7已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B.C.D.考點(diǎn)橢圓的離心率問題題點(diǎn)由a與c的關(guān)系式得離心率答案C解析0，點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上，又點(diǎn)M總在橢圓的內(nèi)部，c<b，c2<b2a2c2，即2c2<a2，<，即<.又0<e<1，0<e<.8(2018湖北黃岡高二檢測)已知直線m：ykx1過橢圓1(0<b<a)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F，且被圓x2y21截得的弦長為l，若l，則橢圓離心率e的取值范圍是()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析圓x2y21的圓心到直線m：ykx1的距離為d，直線m：ykx1被圓x2y21截得的弦長l，2，即2，解得d2，.b1且c，即a21，則e2，得e.二、填空題9過雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若OAB的面積為，則雙曲線的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)F為右焦點(diǎn)，其坐標(biāo)為(c,0)，令xc，代入yx，可得y，SOABbc，c，則e.10設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為_考點(diǎn)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負(fù)值舍去)，故e.11過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，M是AB中點(diǎn)，1，1，直線AB的方程是y(x1)1，y1y2(x1x2)，可得0，即0，ab，則ca，e.12(2018廣東深圳高二期中)橢圓M：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是c2,3c2，其中c，則橢圓M的離心率e的取值范圍是_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由題意可知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)P(x，y)由1，得x2，(cx，y)，(cx，y)，x2c2y2c2y2a2c2，當(dāng)y0時，取得最大值a2c2，即c2a2c23c2，ca2c，則e.三、解答題13雙曲線1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(1,0)到直線l的距離之和sc，求雙曲線的離心率e的取值范圍考點(diǎn)題點(diǎn)解由題意，知直線l的方程為1，即bxayab0.因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1，點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d2，所以sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250，解得e25.因?yàn)閑>1，所以e的取值范圍是.14我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”已知F1，F(xiàn)2是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)F1PF260時，這一對相關(guān)曲線中橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)|F1F2|2c，|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，e1，e2.在PF1F2中，由余弦定理，得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以16c2(|PF1|PF2|)23(|PF1|PF2|)24a12a，即43ee或e1(舍去)e1.15已知直線yx1與橢圓1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長；(2)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)橢圓的離心率e時，求橢圓長軸長的最大值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)e，2c2，a，則b，橢圓的方程為1.將yx1代入橢圓的方程，消去y得5x26x30，其中>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，0，即x1x2y1y20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)>0，整理得a2b2>1.又x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.由x1x2y1y20，得2x1x2(x1x2)10.10，整理得a2b22a2b20.b2a2c2a2a2e2，代入上式得2a21，a2.e，e2，1e2，2，13，a2，符合條件a2b2>1，由此得a，2a.故橢圓長軸長的最大值為.