2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學(xué)案 文.doc

第8講直線與圓高考統(tǒng)計(jì)定方向熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：圓的方程2018全國(guó)卷T20；2017全國(guó)卷T201.高考中對(duì)此部分內(nèi)部的考查以“一小”或“一大”的形式呈現(xiàn).2.重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程常與圓錐曲線交匯命題.題型2：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2018全國(guó)卷T15；2018全國(guó)卷T8；2017全國(guó)卷T112016全國(guó)卷T15；2016全國(guó)卷T6；2016全國(guó)卷T152015全國(guó)卷T20；2014全國(guó)卷T20；2014全國(guó)卷T12題型1圓的方程核心知識(shí)儲(chǔ)備1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2y2r2.2圓的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以為圓心，為半徑的圓高考考法示例【例1】(1)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()A(，2)B.C(2,0) D.(2)(2018廈門模擬)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24(3)(2018黃山模擬)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為12，則圓C的方程為_(kāi)(1)D(2)A(3)x22(1)方程可化為2(ya)21a，由題意知1a0，解得2a，故選D.(2)由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標(biāo)為(1，)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)22，故選A.(3)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓C的圓心C在y軸上， 可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r, 則圓C的方程為x2(yb)2r2.依題意，得解得所以圓C的方程為x2.方法歸納求圓的方程的兩種方法1幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程2代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1(2018青島模擬)與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22D由題意知，曲線為(x6)2(y6)218，過(guò)圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y2)22.2一束光線從圓C的圓心C(1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x2)2(y3)21上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為()A(x1)2(y1)24B(x1)2(y1)25C(x1)2(y1)216D(x1)2(y1)225A圓C1的圓心C1的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為r11.點(diǎn)C(1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1)因?yàn)镃在反射線上，所以最短路程為|CC1|r1，即14.故圓C的半徑為r42，所以圓C的方程為(x1)2(y1)24，故選A.題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系核心知識(shí)儲(chǔ)備1直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法直線l：AxByC0(A2B20)與圓：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系如表方法位置關(guān)系幾何法：根據(jù)d與r的大小關(guān)系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式的符號(hào)判斷相交dr0相切dr0相離dr02弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法(1)弦長(zhǎng)的計(jì)算：直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|2(其中d為弦心距)(2)切線長(zhǎng)的計(jì)算：過(guò)點(diǎn)P向圓引切線PA，則|PA|(其中C為圓心)3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|d，則(1)dr1r2兩圓外離4條公切線；(2)dr1r2兩圓外切3條公切線；(3)|r1r2|dr1r2兩圓相交2條公切線；(4)d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)切1條公切線；(5)0d|r1r2|(r1r2)兩圓內(nèi)含無(wú)公切線高考考法示例【例2】(2016全國(guó)卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|_.思路點(diǎn)撥法一：法二：4法一：作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解如圖所示，直線AB的方程為xy60，kAB，BPD30，從而B(niǎo)DP60.在RtBOD中，|OB|2，|OD|2.取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OHAB，OH為直角梯形ABDC的中位線，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.法二：圓心O(0,0)到直線xy60的距離為d3，|AB|22.如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CEBD于點(diǎn)E.直線l的斜率為，ECD30，|CD|4.(2)(2018全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.求l的方程；求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程思路點(diǎn)撥解由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.由得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.方法歸納1解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的指導(dǎo)思想討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量2求圓中有關(guān)距離的常用方法圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問(wèn)題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問(wèn)題(教師備選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓被直線xy40截得的弦長(zhǎng)為2.(1)求圓O的方程；(2)若斜率為2的直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)D(1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，求直線l在y軸上的截距的取值范圍解(1)設(shè)x2y2r2，圓心(0,0)到直線xy40的距離d2，又因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2，所以r，圓O的方程為x2y27.(2)設(shè)斜率為2的直線l的方程為y2xb，與圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由得5x24bxb270，則已知點(diǎn)D(1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，所以<0，即(x11，y1)(x21，y2)5x1x2(2b1)(x1x2)b2160，解得3b5，滿足0.所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(3,5)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1(2018福州模擬)直線xya與圓x2y2a2(a1)2相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若AOB是正三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A1B1C.DC由題意得，直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑，圓的圓心坐標(biāo)O(0,0)，設(shè)圓半徑為r，圓心到直線的距離為d，則d，由條件得2r，整理得4d23r2.所以6a23a23(a1)2，解得a.選C.2(2018徐州模擬)如圖251，已知圓心坐標(biāo)為M(，1)的圓M與x軸及直線yx均相切，切點(diǎn)分別為A，B，另一圓N與圓M相切，且與x軸及直線yx均相切，切點(diǎn)分別為C，D.圖251(1)求圓M與圓N的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B作MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦長(zhǎng)解(1)由于圓M與BOA的兩邊相切，故M到OA，OB的距離相等，則M在BOA的平分線上，同理，N也在BOA的平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且直線ON為BOA的平分線，因?yàn)镸(，1)，所以M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x)2(y1)21.設(shè)圓N的半徑為r，連接AM，CN，如圖所示，則RtOAMRtOCN，得，即，解得r3，OC3，所以圓N的方程為(x3)2(y3)29.(2)由對(duì)稱性可知，所求弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)A的MN的平行線被圓N截得的弦長(zhǎng)，此弦所在直線的方程為y(x)，即xy0，圓心N到該直線的距離d，故弦長(zhǎng)為2.1(2016全國(guó)卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()ABC. D2A將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解圓x2y22x8y130的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y4)24，由圓心到直線axy10的距離為1可知1，解得a，故選A.2(2018全國(guó)卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2,6 B4,8C，3 D2，3A由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r，圓心到直線xy20的距離d2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是dr3，最小距離是dr.易知A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.故選A.3(2014全國(guó)卷)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45，則x0的取值范圍是()A1,1 B.C， D.A如圖，過(guò)點(diǎn)M作O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與O相切于點(diǎn)N.設(shè)OMN，則45，即sin ，即.而ON1，OM.M為(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范圍為1,14(2015全國(guó)卷)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)2y2由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由圓心在x軸的正半軸上知該圓過(guò)上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)由題意知a4，b2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)由圓心在x軸的正半軸上知圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，2)，(4,0)三點(diǎn)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2y2r2(0<m<4，r>0)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y2.5(2016全國(guó)卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_(kāi)4圓C：x2y22ay20化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2(ya)2a22，所以圓心C(0，a)，半徑r.|AB|2，點(diǎn)C到直線yx2a即xy2a0的距離d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圓C的面積為224.