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2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式滾動訓練 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019版高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式滾動訓練 新人教A版選修4-5.docx

第三講 柯西不等式與排序不等式 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式滾動訓練(三)(第三講第四講)一、選擇題1設(shè)a,bR且ab16,則的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(ab)24,.當且僅當,即ab8時取等號2若Axxx,Bx1x2x2x3xn1xnxnx1,其中x1,x2,xn都是正數(shù),則A與B的大小關(guān)系為()AABBABCABDAB答案C解析依數(shù)列xn的各項都是正數(shù),不妨設(shè)0x1x2xn,則x2,x3,xn,x1為數(shù)列xn的一個排列依排序原理,得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1,即xxxx1x2x2x3xnx1.3用數(shù)學歸納法證明12222n12n21(nN)的過程中,在驗證n1時,左端計算所得的項為()A1B12C1222D122223答案C解析當n1時,左端1222,故選C.4已知x,y,z,a,b,c,k均為正數(shù),且x2y2z210,a2b2c290,axbycz30,abck(xyz),則k等于()A.B.C9D3答案D解析因為x2y2z210,a2b2c290,axbycz30,所以(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2,又(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2,當且僅當k時,等號成立,則akx,bky,ckz,代入a2b2c290,得k2(x2y2z2)90,于是k3,故選D.5用數(shù)學歸納法證明不等式(n2,nN)的過程中,由nk遞推到nk1不等式左邊()A增加了一項B增加了兩項,C增加了B中兩項但減少了一項D以上各種情況均不對答案C解析nk(k2,kN)時,左邊,nk1時,左邊,增加了兩項,少了一項.6函數(shù)y5的最大值是()A6B2C5D2答案D解析函數(shù)的定義域為1,3,且y0.由柯西不等式可得y552,當且僅當,即x時,函數(shù)取得最大值2,故選D.7若2x3y5z29,則函數(shù)的最大值為()A.B2C2D.答案C解析由柯西不等式可得(111)2(2x13y45z6)(121212),2x3y5z29,(111)2120,2,的最大值為2.故選C.二、填空題8已知a,b,c都是正數(shù),且2abc6,則a2abacbc的最大值為_答案9解析a,b,c都是正數(shù),a2abacbc(ab)(ac)2.2abc6,a2abacbc9,a2abacbc的最大值為9.9已知兩組數(shù)1,2,3和45,25,30,若c1,c2,c3是45,25,30的一個排列,則c12c23c3的最大值是_,最小值是_答案220180解析由排序不等式知順序和最大,反序和最小,故所求最大值為125230345220,最小值為145230325180.10已知實數(shù)x,y,z滿足2xy3z32,則的最小值為_答案解析12223214,由柯西不等式可得(221232)(x1)2(y2)2z2(2x2y23z)2322,當且僅當時,等號成立,即的最小值是.11已知a,b,c都是正數(shù),a2b3c9,則的最小值為_答案解析(a2b3c)()2()2()221,當且僅當a3b9c時取等號,又a2b3c9,即最小值為.三、解答題12設(shè)函數(shù)y|x1|x2|的最小值為M.(1)求實數(shù)M的值;(2)若不等式M(其中a0)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3,所以M3.(2)因為()212()2(ax2x)3(a2),當且僅當時,等號成立,即當x2,a時,取得最大值,所以3.又a0,所以0a1.13已知函數(shù)f(x)|x1|2x2|.(1)求不等式f(x)x1的解集;(2)若f(x)的最大值是m,且a,b,c均為正數(shù),abcm,求的最小值解(1)由已知可得或或解得0x2.故不等式的解集為0,2(2)f(x)得最大值,mf(1)2,abc2.又(abc)()2()2()2(abc)2,abc2,當且僅當abc時取等號,故的最小值是2.14已知數(shù)列an和bn,其中an135(2n1),bn122n1,當nN時,試比較an與bn的大小,并證明你的結(jié)論解由已知得an(n1)(n1)2,bn2n1.當n1時,a14,b11,則a1b1,當n2時,a29,b23,則a2b2,當n3時,a316,b37,則a3b3,當n4時,a425,b415,則a4b4,當n5時,a536,b531,則a5b5當n6時,a649,b663,則a6b6,當n7時,a764,b7127,則a7b7,由此得到,當nN,n5時,anbn.猜想:當nN,n6時,anbn.前一結(jié)論上面已用窮舉法證明,后一猜想用數(shù)學歸納法證明如下:當n6時,上面已證a6b6.假設(shè)當nk(kN,k6)時,上述結(jié)論成立,即當k6時,(k1)22k1.當nk1時,要證ak1bk1,即證(k2)22k11,只需證(k2)222k1,根據(jù)歸納假設(shè),22k12(k1)211,所以只需證(k2)22(k1)21,即證k24k42k24k3,即證k21.因為k6,所以此式顯然成立故當nk1時結(jié)論成立由可知,對任何nN,n6結(jié)論都成立

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