2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.5.1 二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域?qū)W案（含解析）新人教B版必修5.docx

3.5.1二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域?qū)W習(xí)目標(biāo)1.理解二元一次不等式(組)的解、解集的概念2.會(huì)畫出二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域.3.能把平面區(qū)域用不等式(組)表示知識(shí)點(diǎn)一二元一次不等式(組)的概念1含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式2由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組3滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對(duì)(x，y)稱為二元一次不等式(組)的一個(gè)解4所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集知識(shí)點(diǎn)二二元一次不等式表示的平面區(qū)域1在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式AxByC>0(或<0)表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界不等式AxByC0表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線2對(duì)于直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得值的符號(hào)都相同3在直線AxByC0的一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0By0C的符號(hào)可以斷定AxByC>0(或<0)表示的是直線AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域知識(shí)點(diǎn)三二元一次不等式組表示的平面區(qū)域1二元一次不等式組的解集為組中各不等式解集的交集，其表示的平面區(qū)域是組中各不等式表示區(qū)域的公共部分2畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的步驟：(1)畫線畫出不等式組中各不等式所對(duì)應(yīng)的方程表示的直線(如果原不等式中帶等號(hào)，則畫成實(shí)線，否則畫成虛線)；(2)定側(cè)將某個(gè)區(qū)域內(nèi)的一個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式，根據(jù)“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”的規(guī)律確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè)；(3)求交在確定了各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域后，再求這些平面區(qū)域的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域，“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法仍然適用1點(diǎn)(1,2)是不等式組的解()2x>1也可理解為二元一次不等式，其表示的平面區(qū)域位于直線x1右側(cè)()3點(diǎn)(1,2)不在2xy1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)()4.表示的平面區(qū)域?yàn)榈谝幌笙?)題型一二元一次不等式解的幾何意義例1已知點(diǎn)(3,1)和(4,6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是_答案(7,24)解析點(diǎn)(3,1)和(4,6)必有一個(gè)是3x2ya0的解，另一個(gè)點(diǎn)是3x2ya<0的解或即(3321a)3(4)26a<0，(a7)(a24)<0，解得7<a<24反思感悟?qū)τ谥本€l：AxByC0兩側(cè)的點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，則Ax2By2C<0，即同側(cè)同號(hào)，異側(cè)異號(hào)跟蹤訓(xùn)練1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2，1)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍解由題意知直線l的斜率存在，設(shè)為k則可設(shè)直線l的方程為kxy10，由題意知A，B兩點(diǎn)在直線l上或在直線l的兩側(cè)，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1題型二二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題角度1給不等式畫平面區(qū)域例2畫出不等式x4y<4表示的平面區(qū)域解先作出邊界x4y4，因?yàn)檫@條線上的點(diǎn)都不滿足x4y<4，所以畫成虛線取原點(diǎn)(0,0)，代入x4y4，因?yàn)?4044<0，所以原點(diǎn)(0,0)在x4y4<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以不等式x4y<4表示的平面區(qū)域在直線x4y4的左下方所以x4y<4表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示反思感悟畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法特別是當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)(0,0)作為測(cè)試點(diǎn)，當(dāng)C0時(shí)，常把(0,1)或(1,0)作為測(cè)試點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練2不等式x2y6>0表示的平面區(qū)域在直線x2y60的()A右上方B右下方C左上方D左下方答案B解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線x2y60，觀察圖象(圖略)知原點(diǎn)在直線的右下方，將原點(diǎn)(0,0)代入x2y6，得0066>0，所以原點(diǎn)(0,0)在不等式x2y6>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選B命題角度2給不等式組畫平面區(qū)域例3畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直線x2y30上及左上方的區(qū)域；xy3，即xy30，表示直線xy30上及左下方的區(qū)域；x0表示y軸及其右邊區(qū)域；y0表示x軸及其上方區(qū)域綜上可知，不等式組(1)表示的區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所示(2)xy<2，即xy2<0，表示直線xy20左上方的區(qū)域；2xy1，即2xy10，表示直線2xy10上及右上方的區(qū)域；xy<2表示直線xy2左下方的區(qū)域綜上可知，不等式組(2)表示的區(qū)域如圖陰影部分所示反思感悟在畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域時(shí)，應(yīng)先畫出每個(gè)不等式表示的區(qū)域，再取它們的公共部分即可其步驟：畫線；定側(cè)；求“交”；表示但要注意是否包含邊界跟蹤訓(xùn)練3畫出|x|y|1表示的平面區(qū)域解當(dāng)x0且y0時(shí)，|x|y|1，即xy1.由可畫出區(qū)域如圖(1)圖(1)圖(2)若點(diǎn)(x，y)滿足|x|y|1則點(diǎn)(x，y)，(x，y)也滿足|x|y|1|x|y|1表示的平面區(qū)域關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱|x|y|1表示的平面區(qū)域如圖(2)題型三求區(qū)域面積例4在平面直角坐標(biāo)系中，求不等式組表示的平面區(qū)域的面積解在平面直角坐標(biāo)系中，作出xy20，xy20和x2三條直線，利用特殊點(diǎn)(0,0)可知可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，所以面積為S424反思感悟求平面區(qū)域的面積的方法求平面區(qū)域的面積，先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積若圖形為規(guī)則的，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，可采取分割的方法，將平面區(qū)域分為幾個(gè)規(guī)則圖形求解跟蹤訓(xùn)練4不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()ABCD答案C解析作出平面區(qū)域如圖所示為ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，SABC|BC|xA|1，故選C數(shù)形結(jié)合的魅力典例我們可以驗(yàn)證點(diǎn)(1,2)是不等式xy6的一個(gè)解怎么證明直線xy6左上方半平面(不包括邊界)上所有點(diǎn)均是xy6的解？證明設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)位于直線xy6左上方區(qū)域，則過(guò)點(diǎn)A作直線ABy軸，交直線xy6于點(diǎn)B設(shè)B(x0，y1)，則有y0y1B在直線xy6上，x0y16由y0y1，得y0y1，x0y0x0y16即點(diǎn)(x0，y0)滿足不等式xy6xy6左上方半平面區(qū)域任一點(diǎn)均是xy6的解素養(yǎng)評(píng)析提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，是培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的一大具體任務(wù)，本例證明任務(wù)是代數(shù)問(wèn)題：不等式的解的問(wèn)題在證明過(guò)程中，我們把“直線左上方區(qū)域”這一幾何條件，轉(zhuǎn)化成數(shù)：y0y1，再借助代數(shù)手段：不等式性質(zhì)，嚴(yán)謹(jǐn)證明了一個(gè)初看無(wú)從下手的問(wèn)題，完善詮釋了數(shù)形結(jié)合的魅力1不在不等式3x2y<6表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是()A(0，0) B(1，1)C(0，2) D(2，0)答案D解析將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入不等式中，其中點(diǎn)(2，0)代入后不等式不成立，故此點(diǎn)不在不等式3x2y<6表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選D2已知點(diǎn)(1，2)和點(diǎn)(3，3)在直線3xya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是()A(1，6)B(6，1)C(，1)(6，)D(，6)(1，)答案A解析由題意知，(32a)(93a)<0，即(a1)(a6)<0，1<a<63畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)x2y40；(2)y>2x解(1)畫出直線x2y40，02044>0，x2y40表示的區(qū)域?yàn)楹?0，0)的一側(cè)(包含邊界)，因此所求的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的區(qū)域，包括邊界(2)畫出直線y2x0，0212<0，y2x>0(即y>2x)表示的區(qū)域?yàn)椴缓?1，0)的一側(cè)，因此所求的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的區(qū)域，不包括邊界4(1)畫出表示的平面區(qū)域；(2)畫出(y2x)(x2y4)0表示的平面區(qū)域解1二元一次不等式(組)的一個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，解集對(duì)應(yīng)點(diǎn)集一般形成一個(gè)平面區(qū)域2畫邊界直線畫出不等式所對(duì)應(yīng)的方程表示的直線，若此區(qū)域包括邊界，則直線畫成實(shí)線；若不包括邊界，則畫成虛線(即看不等式能否取到等號(hào))3特殊點(diǎn)定域確定邊界后，只需在直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)(原點(diǎn)不在邊界上時(shí)，常取原點(diǎn)，在邊界上時(shí)，取坐標(biāo)軸上的點(diǎn))驗(yàn)證其坐標(biāo)是否滿足二元一次不等式，若滿足不等式，則區(qū)域?yàn)樘厥恻c(diǎn)所在一側(cè)，不滿足，則為另一側(cè)簡(jiǎn)記為“直線定界，特殊點(diǎn)定域”一、選擇題1在3x5y<4表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)是()A(2,0) B(1,2) C(1,1) D(1,1)答案D解析將點(diǎn)(1,1)代入3x5y<4，得2<4，所以點(diǎn)(1，1)在不等式3x5y<4表示的平面區(qū)域內(nèi)，故選D.2點(diǎn)A(2，b)不在平面區(qū)域2x3y50內(nèi)，則b的取值范圍是()AbBb<1CbDb9答案C解析依題意，點(diǎn)A(2，b)滿足2x3y5<0，2(2)3b5<0，即b.3不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)是()A2B4C6D8答案C解析畫出可行域后(圖略)，可按x0，x1，x2，x3分類代入檢驗(yàn)，符合要求的點(diǎn)有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共6個(gè)4下列選項(xiàng)中與點(diǎn)(1,2)位于直線2xy10的同一側(cè)的是()A(1,1) B(0,1) C(1,0) D(1,0)答案D解析212110，點(diǎn)(1,2)位于2xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)，而四個(gè)點(diǎn)(1,1)，(0,1)，(1,0)，(1,0)中只有(1,0)滿足2xy10.5已知點(diǎn)(3，1)和(4，6)分別在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍是()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)(3，1)和(4，6)分別在直線3x2ya0的兩側(cè)，所以3(3)2(1)a342(6)a<0，即(a7)(a24)<0，解得7<a<24，故選B.6如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是()A.B.C.D.答案C解析觀察圖象可知，陰影部分在直線y2的上方，且不包含直線y2，故可得不等式y(tǒng)>2.又陰影部分在直線x0左邊，且包含直線x0，故可得不等式x0.由圖象可知，第三條邊界線過(guò)點(diǎn)(2,0)，點(diǎn)(0,3)，故可得直線3x2y60，因?yàn)榇酥本€為虛線且原點(diǎn)O(0,0)在陰影部分內(nèi)，故可得不等式3x2y6>0.觀察選項(xiàng)可知選C.7不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于()A28B16C.D121答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，其三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3，3)，(3,5)，(1,1)，所以其面積S8416.8不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)()A三角形B直角梯形C梯形D矩形答案C解析在同一坐標(biāo)系中畫出直線xy50及xy0，取點(diǎn)(0,1)，代入(xy5)(xy)中，得(15)14>0，可知點(diǎn)(0,1)在不等式(xy5)(xy)0表示的區(qū)域內(nèi)，再畫出直線x0和x3，則原不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它是一個(gè)梯形二、填空題9.如圖所示的區(qū)域用不等式可表示為_.答案5x2y10>0解析過(guò)(2,0)，(0,5)的直線方程為1，即5x2y100.代入(0,0)得502010>0，(0,0)所在區(qū)域?yàn)?x2y10>0.10(2018柯橋區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_答案解析作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，則對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)槿切蜛BC，其中A(0,2)，B(1,2)，C(1,1)，則ABC的面積S11.11記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線ya(x1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案解析不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直線ya(x1)恒過(guò)定點(diǎn)P(1,0)，且斜率為a.由斜率公式可知kAP，kBP4.若直線ya(x1)與區(qū)域D有公共點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合可得a4.三、解答題12畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1)3xy>0；(2)y2x3.解(1)畫出直線3xy0(畫成虛線)，將點(diǎn)(1,0)代入3xy，得310>0，所以不等式3xy>0表示的平面區(qū)域與點(diǎn)(1,0)位于直線3xy0的同側(cè)，如圖所示(2)將y2x3變形得2xy30，先畫出直線2xy30(畫成實(shí)線)將點(diǎn)(0,0)代入2xy3得3<0，所以2xy30表示的區(qū)域與點(diǎn)(0,0)位于直線2xy30的同側(cè)，如圖所示13已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組(1)畫出滿足不等式組的平面區(qū)域；(2)求滿足不等式組的平面區(qū)域的面積解(1)滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(2)解方程組得A，解方程組得D，所以滿足不等式組的平面區(qū)域的面積為S四邊形ABCDSAFESBFCSDCE(23)(12)1(31).14已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線ykx1將區(qū)域D分成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)k的值是_答案解析由題意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)锳BC及其內(nèi)部直線ykx1過(guò)點(diǎn)A.要把ABC分成面積相等的兩部分，需過(guò)BC中點(diǎn)M.此時(shí)k.15已知點(diǎn)P(1，2)及其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)中有且只有一個(gè)在不等式2xby1>0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則b的取值范圍是_答案解析P(1，2)關(guān)于(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2)，依題意有或所以b或b.