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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)學(xué)案(含解析)新人教B版選修2-1.docx

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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)學(xué)案(含解析)新人教B版選修2-1.docx

專題突破二焦點(diǎn)弦的性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn),有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富,對拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論,往往能給解題帶來新思路,有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1拋物線y22px(p>0),設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦),F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),A,B在準(zhǔn)線上的射影為A1,B1.證明:(1)x1x2,y1y2p2;(2)若直線AB的傾斜角為,則|AF|,|BF|;(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角),拋物線的通徑長為2p,通徑是最短的焦點(diǎn)弦;(4)為定值;(5)SOAB(為直線AB的傾斜角);(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切;(7)A,O,B1三點(diǎn)共線,B,O,A1三點(diǎn)也共線考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題證明(1)當(dāng)ABx軸時,不妨設(shè)A,B,y1y2p2,x1x2.當(dāng)AB的斜率存在時,設(shè)為k(k0),則直線AB的方程為yk,代入拋物線方程y22px,消元得y22p,即y2p20,y1y2p2,x1x2.(2)當(dāng)90時,過A作AGx軸,交x軸于G,由拋物線定義知|AF|AA1|,在RtAFG中,|FG|AF|cos,由圖知|GG1|AA1|,則p|AF|cos|AF|,得|AF|,同理得|BF|;當(dāng)90時,可知|AF|BF|p,對于|AF|,|BF|亦成立,|AF|,|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p,當(dāng)且僅當(dāng)90時取等號故通徑為最短的焦點(diǎn)弦(4)由(2)可得,.(5)當(dāng)90時,SOAB2p,故滿足SOAB;當(dāng)90時,設(shè)直線AB:ytan,原點(diǎn)O到直線AB的距離dsin,SOAB|AB|sin.(6)如圖:M的直徑為AB,過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M1,則|MM1|,故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(7)設(shè)直線AB的方程:xmy,代入y22px得y22pmyp20.由(1)可得y1y2p2.因?yàn)锽B1x軸,B1,即B1,kOA,所以且公共點(diǎn)為O,所以直線AB1過點(diǎn)O.所以A,O,B1三點(diǎn)共線,同理得B,O,A1三點(diǎn)共線二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)設(shè)F為拋物線C:y23x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析方法一由題意可知,直線AB的方程為y,代入拋物線的方程可得4y212y90,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y23,y1y2,故所求三角形的面積為.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式,則SOAB.(2)已知F為拋物線C:y24x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析方法一拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F(1,0),由題意可知l1,l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k,l1:yk(x1),l2:y(x1),由消去y得k2x2(2k24)xk20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x22,由拋物線的定義可知,|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2,|AB|DE|444k2848816,當(dāng)且僅當(dāng)k2,即k1時取等號,故|AB|DE|的最小值為16.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦的傾斜角公式,注意到兩條弦互相垂直,設(shè)直線AB的傾斜角為,則且0,因此|AB|DE|16.當(dāng)且僅當(dāng)或時,等號成立點(diǎn)評上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問題,涉及拋物線焦點(diǎn)弦長度與三角形面積,從高考客觀題快速解答的要求來看,常規(guī)解法顯然小題大做了,而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì),可以快速解決此類小題跟蹤訓(xùn)練過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AB|,|AF|<|BF|,則|AF|_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案解析由于y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由題意知A,B所在直線的斜率存在,設(shè)A,B所在直線的方程為yk,A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,將yk代入y22x,得k222x,k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21,x1x2.又|AF|<|BF|,x1,x2.|AF|x1.1過拋物線y2x2的焦點(diǎn)且垂直于它的對稱軸的直線被拋物線截得的弦長為()A2B1C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D2.直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|8,則直線l的方程為()Ayx1Byx1Cyx1或yx1D以上均不對考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由焦點(diǎn)弦長|AB|(為直線AB的傾斜角),8,sin2,則tan1,又直線過拋物線焦點(diǎn),直線l的方程為yx1或yx1.故選C.3直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn),且與該拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的長是8,AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2,則此拋物線的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x答案B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2,2,x1x24,p4,所求拋物線的方程為y28x.故選B.4過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|7,則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p,即x1x227,得x1x25,于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,又準(zhǔn)線方程為x1,因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.5過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)A,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1,則A1FB1為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案90解析設(shè)拋物線方程為y22px(p>0),如圖|AF|AA1|,|BF|BB1|,AA1FAFA1,BFB1FB1B.又AA1OxB1B,A1FOFA1A,B1FOFB1B,A1FB1AFB90.一、選擇題1已知AB是過拋物線y2x2的焦點(diǎn)的弦,若|AB|4,則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A1B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析如圖所示,設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),分別過A,P,B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為A,Q,B,由題意得|AA|BB|AB|4,|PQ|2,又|PQ|y0,y02,y0.2若拋物線y22px(p>0)上三個點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列,那么這三個點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)三點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則y2px1,y2px2,y2px3,因?yàn)?yyy,所以x1x32x2,即|P1F|P3F|2,所以|P1F|P3F|2|P2F|.3拋物線x24y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,則AHF的面積是()A4B3C4D8答案C解析由拋物線的定義可得|AF|AH|,AF的斜率為,AF的傾斜角為30,AH垂直于準(zhǔn)線,F(xiàn)AH60,故AHF為等邊三角形設(shè)A,m>0,過F作FMAH于M,則在FAM中,|AM|AF|,1,解得m2,故等邊三角形AHF的邊長|AH|4,AHF的面積是44sin604.故選C.4過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|>|BF|,則的值為()A3B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析由拋物線的性質(zhì)可知,|AF|,|BF|,3.5已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則yy的最小值為()A4B6C8D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知,y1y24,即|y1|y2|4,則yy2|y1|y2|8,當(dāng)且僅當(dāng)|y1|y2|2時,取等號故yy的最小值為8.6過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2答案C解析設(shè)直線AB的傾斜角為,可得|AF|,|BF|,則|AF|BF|4.7.如圖,過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|BC|3|BF|,且|AF|4,則p的值為()A.B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析設(shè)直線l的傾斜角為,由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知,|BF|,|AF|,解得8設(shè)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,直線l過F且與C交于A,B兩點(diǎn)若|AF|3|BF|,則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析當(dāng)cos>0時,|AF|,|BF|.由|AF|3|BF|,即cos,此時tan,當(dāng)cos<0時,|AF|,|BF|,由|AF|3|BF|,即cos,此時tan,故選C.9直線l過拋物線C:y24x的焦點(diǎn)F,交拋物線C于A,B兩點(diǎn),則的取值范圍為()A1B(0,1C1,) D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析易知焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)為k,則直線l的方程為yk(x1),代入拋物線方程,得k2(x1)24x.化簡為k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x21,根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,|AF|x11,|BF|x21,1.當(dāng)直線l的斜率不存在時,則直線l:x1,此時|BF|AF|2,1,綜上,1.10.如圖,過拋物線x24y焦點(diǎn)的直線依次交拋物線和圓x2(y1)21于點(diǎn)A,B,C,D,則|AB|CD|的值是()A8B4C2D1考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析易知,直線斜率存在,設(shè)為k,由得y2(4k22)y10,|AB|AF|1yA,|CD|DF|1yD,|AB|CD|yAyD1.二、填空題11一條直線過點(diǎn),且與拋物線y2x交于A,B兩點(diǎn)若|AB|4,則弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離等于_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析拋物線y2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x,直線AB為過焦點(diǎn)的直線,AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離2,弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離等于2.12過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3,則AOB的面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由題意知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為l:x1,可得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,不妨設(shè)A(2,2),則直線AB的方程為y2(x1),與y24x聯(lián)立,得2x25x20,可得B,所以SAOBSAOFSBOF1|yAyB|.13設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn),若0,則|_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題題點(diǎn)與弦長有關(guān)的其它問題答案6解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0,即x1x2x33,|x1x2x3p6.三、解答題14.如圖,拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),圓x2y24x的圓心是拋物線的焦點(diǎn),直線l過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為2,直線l交拋物線和圓依次于A,B,C,D四點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)求|AB|CD|的值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由圓的方程x2y24x,即(x2)2y24,可知圓心為F(2,0),半徑為2,又由拋物線的焦點(diǎn)為已知圓的圓心,得到拋物線焦點(diǎn)為F(2,0),故拋物線方程為y28x.(2)|AB|CD|AD|BC|,|BC|為已知圓的直徑,|BC|4,則|AB|CD|AD|4,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),|AD|AF|FD|,而A,D在拋物線上,由已知可知直線l的方程為y2(x2),由消去y,得x26x40,x1x26,|AD|6410,因此|AB|CD|1046.15.已知M為拋物線y22px(p>0)上一動點(diǎn),A(a,0)(a>0)為其對稱軸上一點(diǎn),直線MA與拋物線的另一個交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線的焦點(diǎn)且直線MA與其對稱軸垂直時,OMN的面積為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)記t,若t的值與M點(diǎn)位置無關(guān),則稱此時的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”,試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”,若沒有,請說明理由考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由題意知,當(dāng)直線MA與拋物線對稱軸垂直時,SMON|OA|MN|2p,p3,故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為xmya,聯(lián)立得y26my6a0,所以36m224a>0,y1y26m,y1y26a,由對稱性,不妨設(shè)m>0,因?yàn)閍>0,所以y1y26a<0,所以y1,y2異號,又tt2.所以,當(dāng)且僅當(dāng)10即a時,t與m無關(guān),A為穩(wěn)定點(diǎn)

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