2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.5 直線與圓錐曲線學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

2.5直線與圓錐曲線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過類比直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)會判斷直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系.2.會求直線與圓錐曲線相交所得弦的長，以及直線與圓錐曲線的綜合問題知識點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交點個數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與雙曲線a01直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與拋物線a01直線與拋物線的對稱軸重合或平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離知識點二弦長公式若直線l：ykxb與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|x2x1|.1直線與圓錐曲線有且只有一個公共點時，直線與圓錐曲線相切()2直線與圓錐曲線交點的個數(shù)就是它們的方程聯(lián)立方程組的解的個數(shù)()題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定例1已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時，直線l與橢圓C：(1)有兩個不重合的公共點；(2)有且只有一個公共點；(3)沒有公共點？解直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240，這個關(guān)于x的一元二次方程的判別式(8m)249(2m24)8m2144.(1)由>0，得3<m<3.于是，當(dāng)3<m<3時，方程有兩個不同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點(2)由0，得m3.也就是當(dāng)m3時，方程有兩個相同的實數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點(3)由<0，得m<3或m>3.從而當(dāng)m<3或m>3時，方程沒有實數(shù)根，可知原方程組沒有實數(shù)解這時直線l與橢圓C沒有公共點反思感悟在討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，要先討論得到的方程二次項系數(shù)為零的情況，再考慮的情況，而且不要忽略直線斜率不存在的情形跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線C：x21，直線l的斜率為k且直線l過點P(1,1)，當(dāng)k為何值時，直線l與雙曲線C：(1)有一個公共點；(2)有兩個公共點；(3)無公共點？解設(shè)直線l：y1k(x1)，即ykx(1k)由得(k22)x22k(k1)xk22k30.(*)當(dāng)k220，即k時，(*)式只有一解，直線l與雙曲線相交，只有一個公共點當(dāng)k220時，2416k，若0，即k，方程(*)只有一解，直線與雙曲線相切，只有一個公共點；若>0，即k<且k，方程(*)有兩解，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；若<0，即k>，方程(*)無解，直線與雙曲線無公共點綜上，(1)當(dāng)k或k時，直線l與雙曲線只有一個公共點；(2)當(dāng)k<且k時，直線l與雙曲線有兩個公共點；(3)當(dāng)k>時，直線l與雙曲線無公共點題型二中點弦及弦長問題例2已知點A(1,0)，B(1,0)，直線AM，BM相交于點M，且kMAkMB2.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過定點(0,1)作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，且|PQ|，求直線PQ的方程解(1)設(shè)M(x，y)，則kMA，kMB(x1)，2，x21(x1)(2)當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即PQ是橢圓的長軸時，其長為2，顯然不合題意，即直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程是ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2k(x1x2)，聯(lián)立消去y得(k22)x22kx10.4k24(k22)8(k21)>0，kR，x1x2，x1x2，|PQ|2，|PQ|2，k22，k，直線PQ的方程是yx10.反思感悟直線和圓錐曲線相交問題的通法就是利用兩個方程聯(lián)立得到的一元二次方程，利用弦長公式和根與系數(shù)的關(guān)系解決(要考慮特殊情形)；對于中點弦問題可采用點差法，但要驗證得到的直線是否適合題意跟蹤訓(xùn)練2中心在原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓與直線xy10相交于A，B，C是AB中點，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程解設(shè)橢圓方程為ax2by21(a>0，b>0，ab)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得，a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba，再由|AB|x2x1|2，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是x2y23.題型三圓錐曲線中的最值及范圍問題例3已知AOB的一個頂點為拋物線y22x的頂點O，A，B兩點都在拋物線上，且AOB90.(1)求證：直線AB必過一定點；(2)求AOB面積的最小值(1)證明設(shè)OA所在直線的方程為ykx(易知k0)，則直線OB的方程為yx.由得A，由得B(2k2，2k)直線AB所在直線方程為(y2k)(x2k2)，化簡得xy20，直線過定點P(2,0)(2)解由于直線AB所在直線方程過定點P(2,0)，可設(shè)直線AB的方程為xmy2.由得y22my40.|y1y2|.SAOB|y1|OP|y2|OP|OP|y1y2|y1y2|4.AOB面積的最小值為4.反思感悟(1)求參數(shù)范圍的方法根據(jù)已知條件建立等式或不等式的函數(shù)關(guān)系，再求參數(shù)范圍(2)求最值問題的方法幾何法題目中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用圖象來解決代數(shù)法題目中給出的條件和結(jié)論幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求最值的常見方法是均值不等式法，單調(diào)性法等跟蹤訓(xùn)練3如圖，過拋物線y2x上一點A(4，2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值證明設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.由方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4xB，即xB，設(shè)C(xC，yC)，以k代換xB中的k，得xC，kBC.直線BC的斜率為定值1過點P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點的直線有()A4條B3條C2條D1條考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案B解析當(dāng)直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；當(dāng)直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B.2若直線ykx1與橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是()Am>1Bm1或0<m<1C0<m<5且m1Dm1且m5答案D解析直線ykx1恒過(0,1)點，若5>m，則1，若5<m，則必有公共點，m1且m5.3拋物線y4x2上一點到直線y4x5的距離最短，則該點坐標(biāo)為()A(1,2) B(0,0) C.D(1,4)答案C解析因為y4x2與y4x5不相交，設(shè)與y4x5平行的直線方程為y4xm.由得4x24xm0.(*)設(shè)此直線與拋物線相切，有0，即1616m0，m1.將m1代入(*)式，得x，y1，所求點的坐標(biāo)為.4過橢圓1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為_答案解析由已知可得直線方程為y2x2，聯(lián)立方程得方程組解得A(0，2)，B.SAOB|OF|yAyB|.5過點A(6,1)作直線l與雙曲線1相交于兩點B，C，且A為線段BC的中點，則直線l的方程為_答案3x2y160解析設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，則0.即kBC，直線l的方程是y1(x6)即3x2y160，經(jīng)驗證符合題意1解決直線與圓錐曲線的交點問題時，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個數(shù)確定斜率與直線的傾斜角時，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和圓錐曲線有一個公共點并不一定相切2與弦中點有關(guān)的問題，求解的方法有兩種：(1)一般方法：利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標(biāo)公式來求解；(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點坐標(biāo)分別代入曲線方程，然后作差構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系3在探求最值時，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等使問題獲解同時，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件一、選擇題1已知雙曲線C：x2y21，F(xiàn)是其右焦點，過F的直線l只與雙曲線的右支有唯一的交點，則直線l的斜率等于()A1B1C1D2答案C解析結(jié)合題意，F(xiàn)(，0)，且漸近線為yx，欲使直線l與其右支有唯一交點，只需其斜率與漸近線斜率相等2已知雙曲線x21，過P(2,1)點作一直線交雙曲線于A，B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為()A3B4C5D6答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由x1與x1得kAB6.3對于拋物線C：y24x，我們稱滿足y<4x0的點M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，若點M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y2(xx0)與拋物線C()A恰有一個公共點B恰有兩個公共點C可能有一個公共點也可能有兩個公共點D沒有公共點答案D解析C與l聯(lián)立得y0y2，即y22y0y4x00，4y16x0，由題意y<4x0，<0，沒有公共點4已知M(a,2)是拋物線y22x上的一定點，直線MP，MQ的傾斜角之和為，且分別與拋物線交于P，Q兩點，則直線PQ的斜率為()ABC.D.答案B解析由題意得M(2,2)設(shè)P，Q，由kMPkMQ，得，則y1y24，故kPQ.5設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案D解析設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，如圖所示，雙曲線的一條漸近線方程為yx，而kBF.1，整理得b2ac.c2a2ac0.兩邊同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故選D.6直線yx3與拋物線y24x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為()A48B56C64D72答案A解析由得x210x90，解得或設(shè)|AP|10，|BQ|2，又|PQ|8，梯形APQB的面積為S(|AP|BQ|)|PQ|(102)848.7已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D解析橢圓的離心率為，a2b.橢圓方程為x24y24b2.雙曲線x2y21的漸近線方程為xy0，漸近線xy0與橢圓x24y24b2在第一象限的交點為，由圓錐曲線的對稱性得四邊形在第一象限部分的面積為bb4，b25，a24b220.橢圓C的方程為1.8已知橢圓1(a>b>0)被拋物線y24x的準(zhǔn)線截得的弦長為3，以坐標(biāo)原點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線yx2相切，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.答案A解析由題意得拋物線準(zhǔn)線方程為x1，且橢圓被拋物線截得的弦長為3，故橢圓過點，將該點代入橢圓方程，得1，又點(0,0)到xy20的距離為a，即a，由得a2，代入得b.故c1，所以其離心率e.二、填空題9橢圓y21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_答案解析設(shè)橢圓上一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y)F1PF2為鈍角，<0，即x23y2<0，(*)y21，代入(*)式得x231<0，x2<2，x2<.解得<x<，x.10已知F是拋物線C：y24x的焦點，A，B是拋物線C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則ABF的面積為_答案2解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y4x1，y4x2.(y1y2)(y1y2)4(x1x2)x1x2，1.直線AB的方程為y2x2，即yx.將其代入y24x，得A(0,0)，B(4,4)|AB|4.又F(1,0)到y(tǒng)x的距離為，SABF42.11曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2 (a>1)的點的軌跡，給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中所有正確結(jié)論的序號是_答案解析設(shè)曲線C上任一點P(x，y)，由|PF1|PF2|a2，可得a2 (a>1)，將原點(0,0)代入，等式不成立，故不正確點P(x，y)在曲線C上，點P關(guān)于原點的對稱點為P(x，y)，將P代入曲線C的方程，等式成立，故正確設(shè)F1PF2，則|PF1|PF2|sina2sina2，故正確三、解答題12已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，其中左焦點為F(2,0)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點A，B且線段AB的中點M在圓x2y21上，求m的值解(1)由題意，得解得橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2m2，x0，y0x0m，點M(x0，y0)在圓x2y21上，221，m.13已知直線l：yk(x1)與拋物線y2x交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點(1)若OAB的面積為，求k的值；(2)求證：以弦AB為直徑的圓必過原點.(1)解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得化簡整理得k2x2(2k21)xk20，由題意知k0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x21.由弦長公式，得|AB|x1x2|，由點到直線距離公式得d，得SOAB|AB|d，解得k.(2)證明kOA，kOB，kOAkOB.yx1，yx2，x1x2(y1y2)2，kOAkOB，由得ky2yk0，y1y21，即kOAkOB1，OAOB，以弦AB為直徑的圓必過原點14有一動圓P恒過定點F(a,0)(a0)且與y軸相交于點A，B，若ABP為正三角形，則點P的軌跡為()A直線B圓C橢圓D雙曲線答案D解析設(shè)P(x，y)，動圓P的半徑為R，由于ABP為正三角形P到y(tǒng)軸的距離dR，即|x|R.而R|PF|，|x|.整理得(x3a)23y212a2，即1.點P的軌跡為雙曲線15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點，B為短軸的一個端點，E為橢圓C上的一點，滿足，且EF1F2的周長為2(1)(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點M是線段OF2上的一點，過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P，Q兩點，若MPQ是以M為頂點的等腰三角形，求點M到直線l的距離的取值范圍解(1)由已知得F1(c,0)，不妨設(shè)B(0，b)，則(c,0)，(0，b)，所以，即E.又點E在橢圓C上，所以1，得.又EF1F2的周長為2(1)，所以2a2c22.由，得c1，a，所以b1.所以所求橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)點M(m,0)(0<m<1)，直線l的方程為yk(x1)(k0)由消去y，得(12k2)x24k2x2k220.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ中點為N(x0，y0)，則x1x2，所以y1y2k(x1x22)，所以x0，y0，即N.因為MPQ是以M為頂點的等腰三角形，所以MNPQ，即1.所以m.設(shè)點M到直線l：kxyk0的距離為d，則d2<，所以d.(或k2且m，所以d2m(1m)<d.即點M到直線l的距離的取值范圍是.