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2019高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 新人教B版選修2-2.doc

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2019高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 新人教B版選修2-2.doc

2.3數(shù)學歸納法1了解數(shù)學歸納法的原理,能用數(shù)學歸納法證明一些簡單命題2理解數(shù)學歸納法兩個步驟的作用,進一步規(guī)范書寫的語言結(jié)構(gòu)數(shù)學歸納法一個與自然數(shù)相關的命題,如果(1)當n取第一個值n0時命題成立;(2)在假設當nk(kN,且kn0)時命題成立的前提下,推出當n_時命題也成立,那么可以斷定,這個命題對n取第一個值后面的所有正整數(shù)成立數(shù)學歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關的命題的一種方法,它是一種完全歸納法,是對不完全歸納法的完善證明分兩步,其中第一步是命題成立的基礎,稱為“歸納奠基”;第二步解決的是延續(xù)性問題,又稱“歸納遞推”運用數(shù)學歸納法證明有關命題時應注意以下幾點:(1)兩個步驟缺一不可;(2)在第一步中,n的初始值不一定從1取起,也不一定只取一個數(shù)(有時需取nn0,n01等),證明應視具體情況而定;(3)第二步中,證明nk1時命題成立,必須使用歸納假設,否則就會打破數(shù)學歸納法步驟間的嚴密邏輯關系,造成推理無效;(4)證明nk1時命題成立,要明確求證的目標形式,一般要湊出歸納假設里給出的形式,以便使用歸納假設,然后再去湊出當nk1時的結(jié)論,這樣就能有效減少論證的盲目性【做一做】對于不等式n1(nN),某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下:(1)當n1時,11,不等式成立(2)假設當nk(kN)時,不等式成立,即k1,則當nk1時,(k1)1,當nk1時,不等式成立上述證法()A過程全部正確Bn1時驗證不正確C歸納假設不正確D從nk到nk1的推理不正確1利用數(shù)學歸納法證明問題時有哪些注意事項?剖析:(1)用數(shù)學歸納法證明有關命題的關鍵在第二步,即nk1時命題為什么成立?nk1時命題成立是利用假設nk時命題成立,根據(jù)有關的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學結(jié)論推證出來的,而不是直接代入,否則nk1時命題成立也成假設了,命題并沒有得到證明(2)用數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題,但并不是所有的正整數(shù)問題都能用數(shù)學歸納法證明,學習時要具體問題具體分析2運用數(shù)學歸納法時易犯的錯誤有哪些?剖析:(1)對項數(shù)估算的錯誤,特別是尋找nk與nk1的關系時,項數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(2)沒有利用歸納假設:歸納假設是必須要用的假設是起橋梁作用的,橋梁斷了就通不過去了(3)關鍵步驟含糊不清,“假設nk時結(jié)論成立,利用此假設證明nk1時結(jié)論也成立”是數(shù)學歸納法的關鍵一步,也是證明問題中最重要的環(huán)節(jié),對推導的過程要把步驟寫完整,注意證明過程的嚴謹性、規(guī)范性題型一 用數(shù)學歸納法證明恒等式【例題1】用數(shù)學歸納法證明1.分析:左邊式子的特點為:各項分母依次為1,2,3,2n,右邊式子的特點為:分母由n1開始,依次增大1,一直到2n,共n項反思:理解等式的特點:在等式左邊,當n取一個值時,對應兩項,即;在等式右邊,當n取一個值時,對應一項無論n取何值,應保證等式左邊有2n項,而等式右邊有n項,然后再按數(shù)學歸納法的步驟要求給出證明題型二 用數(shù)學歸納法證明不等式【例題2】已知a0,b0,n1,nN,用數(shù)學歸納法證明:n.反思:應用數(shù)學歸納法證明不等式時,往往通過拼湊項或拆項用上歸納假設,再應用放縮法或其他證明不等式的方法證得nk1時命題成立題型三 歸納猜想證明【例題3】某數(shù)列的第一項為1,并且對所有的自然數(shù)n2,數(shù)列的前n項之積為n2.(1)寫出這個數(shù)列的前五項;(2)寫出這個數(shù)列的通項公式并加以證明分析:根據(jù)數(shù)列前五項寫出這個數(shù)列的通項公式,要注意觀察數(shù)列中各項與其序號變化的關系,歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律同時還要特別注意第一項與其他各項的差異,必要時可分段表示證明這個數(shù)列的通項公式可用數(shù)學歸納法反思:先計算出一個數(shù)列的前幾項,用不完全歸納法猜想得到通項公式,再用數(shù)學歸納法給予證明,這是解數(shù)列問題的常見思路題型四 易錯辨析易錯點:在應用數(shù)學歸納法證明問題時兩步缺一不可,且在證明由nk到nk1命題成立時必須用上歸納假設,否則證明過程就是錯誤的【例題4】用數(shù)學歸納法證明:.錯證:(1)當n1時,左邊,右邊,等式成立(2)假設當nk時等式成立,那么當nk1時,直接使用裂項相減法求得,即當nk1時等式成立由(1)和(2),可知等式對一切nN都成立1用數(shù)學歸納法證明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN),從“nk到nk1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C D2平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點個數(shù)記為f(k),則增加一條直線后,它們的交點個數(shù)最多為()Af(k)k Bf(k)1Cf(k)k1 Dkf(k)3利用數(shù)學歸納法證明1(nN,且n2)時,第二步由nk到nk1時不等式左端的變化是()A增加了這一項B增加了和兩項C增加了和兩項,同時減少了這一項D以上都不對4用數(shù)學歸納法證明“若f(n)1,則nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN,且n2)”時,第一步要證的式子是_5在數(shù)列an中,a11,且Sn,Sn1,2S1成等差數(shù)列,則S2,S3,S4分別為_,由此猜想Sn_.答案:基礎知識梳理k1【做一做】D因為從nk到nk1的證明過程中沒有用到歸納假設,故從nk到nk1的推理不正確典型例題領悟【例題1】證明:(1)當n1時,左邊1右邊,等式成立(2)假設nk時等式成立,即1.則當nk1時,左邊1右邊當nk1時等式也成立由(1)和(2),知等式對任意nN都成立【例題2】證明:(1)當n2時,左邊,右邊()2,左邊右邊20,不等式成立(2)假設當nk(kN,k1)時,不等式成立,即k,因為a0,b0,k1,kN,所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)(akbk)0,于是ak1bk1akbabk.當nk1時,k1k,當nk1時,不等式也成立由(1)和(2),知對于a0,b0,n1,nN,不等式n恒成立【例題3】解:(1)已知a11,由題意,得a1a222,a222.a1a2a332,a3.同理,可得a4,a5.因此該數(shù)列的前五項為1,4,.(2)觀察這個數(shù)列的前五項,猜測數(shù)列的通項公式應為an下面用數(shù)學歸納法證明當n2時,an.當n2時,a222,等式成立假設當nk(k2)時,結(jié)論成立,即ak.a1a2ak1(k1)2,a1a2ak1akak1(k1)2,ak1.當nk1時,結(jié)論也成立根據(jù)和,可知當n2時,這個數(shù)列的通項公式是an.an【例題4】錯因分析:由nk到nk1時等式的證明沒有用歸納假設,是典型的套用數(shù)學歸納法的一種偽證正確證法:(1)當n1時,左邊,右邊,等式成立(2)假設當nk時,成立那么當nk1時,當nk1時,等式成立由(1)和(2),可得對一切nN等式都成立隨堂練習鞏固1Bnk時,左邊(k1)(k2)(kk),而nk1時,左邊(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(kk)(2k1)2A第k1條直線與原來k條直線相交,最多有k個交點3C不等式左端共有n1項,且分母是首項為n,公差為1,末項為2n的等差數(shù)列,當nk時,左端為;當nk1時,左端為,對比兩式,可得結(jié)論42f(1)2f(2)起點n02,觀察等式左邊最后一項,將n2代入即可5,由題意,得2Sn1Sn2S1,且S1a11,令式子中的n分別取1,2,3,可得S2,S3,S4,從而猜想Sn.

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