2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx

第三章 概率1辨析頻率與概率概率與頻率雖只有一字之差，但意義大不相同，同時(shí)二者之間又有一定的聯(lián)系下面和同學(xué)們一起認(rèn)識(shí)一下這對(duì)“孿生兄弟”一、頻率與概率的區(qū)別頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它的值等于隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比頻率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到的某事件發(fā)生的頻率不一定相同而概率是一個(gè)確定的值，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)，與試驗(yàn)次數(shù)也無關(guān)例1連續(xù)拋擲一枚硬幣10次，落地后正面向上出現(xiàn)了6次，設(shè)“拋一次硬幣，正面向上”為事件A，則下列說法正確的有_P(A)；P(A)；再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)還是6；事件A發(fā)生的頻率為；無論哪一次拋，硬幣落地后正面向上的概率相同解析正確在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為，再連續(xù)拋擲該硬幣10次，落地后出現(xiàn)正面的次數(shù)不確定答案點(diǎn)評(píng)頻率的隨機(jī)性和概率的確定性是二者的本質(zhì)區(qū)別二、頻率與概率的聯(lián)系1在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)由于事件的隨機(jī)性，有時(shí)候頻率也可能出現(xiàn)偏離該“常數(shù)”較大的情形，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種情形出現(xiàn)的可能性會(huì)減小概率是頻率的穩(wěn)定值，可看作是頻率在理論上的平均值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小2在實(shí)際問題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切的得到，因此我們常常通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來估計(jì)概率例2一個(gè)不透明的袋中裝有大小質(zhì)地相同的紅、白兩種顏色的小球，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，每次從袋中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻后再摸試驗(yàn)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：摸球次數(shù)306090120150180210270300摸到紅球的次數(shù)6253138455367摸到紅球的頻率0.3000.247(1)將表格補(bǔ)充完整；(所求頻率保留3位小數(shù))(2)估計(jì)從中隨機(jī)摸一個(gè)球，求摸到紅球的概率P.(保留2位小數(shù))解(1)第二行依次填：18,74.第三行依次填：0.200,0.278,0.258,0.253,0.250，0.252，0.248.(2)由(1)知，雖然抽取次數(shù)不同，所得頻率值不同，但隨試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在常數(shù)0.250附近擺動(dòng)，故P0.25.點(diǎn)評(píng)只有當(dāng)頻率值在某一常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，才能將此常數(shù)近似看作該事件發(fā)生的概率現(xiàn)實(shí)生活中很多事件的概率是難以確切得到的，鑒于隨機(jī)事件的發(fā)生帶有隨機(jī)性的同時(shí)又存在一定的規(guī)律性，故一般通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件的頻率來估計(jì)概率.2概率加法公式應(yīng)用點(diǎn)撥概率的加法公式是計(jì)算概率的一個(gè)最基本的公式，根據(jù)它可以計(jì)算一些復(fù)雜事件的概率概率的加法公式可推廣為若事件A1，A2，An彼此互斥(兩兩互斥)，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各個(gè)事件發(fā)生的概率之和用此公式時(shí)，同學(xué)們首先要判斷事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式下面舉例說明概率加法公式的應(yīng)用一、計(jì)算互斥事件和的概率例1由經(jīng)驗(yàn)得知，某市某大型超市付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.100.160.300.30.100.04求：(1)至多2人排隊(duì)的概率；(2)至少2人排隊(duì)的概率解(1)記“沒有人排隊(duì)”為事件A，“1人排隊(duì)”為事件B，“2人排隊(duì)”為事件C，則A，B，C彼此互斥P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.100.160.300.56.(2)記“至少2人排隊(duì)”為事件D，“少于2人排隊(duì)”為事件AB，那么事件D與事件AB是對(duì)立事件，則P(D)P()1P(A)P(B)1(0.100.16)0.74.點(diǎn)評(píng)應(yīng)用概率加法公式求概率的前提有兩個(gè)：一是所求事件是幾個(gè)事件的和，二是這幾個(gè)事件彼此互斥在應(yīng)用概率加法公式前，一定要弄清各事件之間的關(guān)系，把一個(gè)事件分拆為幾個(gè)彼此互斥的事件的和，再應(yīng)用公式求解所求概率二、求解“至少”與“至多”型問題例2甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參加一等級(jí)考試，已知恰有1人過關(guān)(事件A)的概率為0.198，恰有2人過關(guān)(事件B)的概率為0.38，恰有3人過關(guān)(事件C)的概率為0.302,4人都過關(guān)(事件D)的概率為0.084.求：(1)至少有2人過關(guān)的概率P1；(2)至多有3人過關(guān)的概率P2.分析“至少有2人過關(guān)”即事件BCD.“至多有3人過關(guān)”即事件A，B，C與事件“4人均未過關(guān)”的并事件，其對(duì)立事件為D.(注意“4人均未過關(guān)”這種可能情況)解由條件知，事件A，B，C，D彼此互斥(1)P1P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.766.(2)P2P()1P(D)10.0840.916.點(diǎn)評(píng)處理“至多”“至少”型問題，既可以分情況討論，也可以從反面考慮，即借助對(duì)立事件的概率間接求解當(dāng)事件包含的情況較多時(shí)，常利用P(A)1P()求P(A)三、列方程求解概率問題例3某班級(jí)同學(xué)的血型分別為A型、B型、AB型、O型，從中任取一名同學(xué)，其血型為AB型的概率為0.09，為A型或O型的概率為0.61，為B型或O型的概率為0.6，試求任取一人，血型為A型、B型、O型的概率各是多少？分析設(shè)出所求事件的概率，將題中涉及到的事件用所求事件表示出來，借助這些事件的概率及公式，列方程求解即可解記“任取一人，血型為A型”，“任取一人，血型為B型”，“任取一人，血型為AB型”，“任取一人，血型為O型”分別為事件E，F(xiàn)，G，H，顯然事件E，F(xiàn)，G，H兩兩互斥故解得所以任取一人，血型為A型、B型、O型的概率分別為0.31、0.3、0.3.點(diǎn)評(píng)本題很好地應(yīng)用了全體事件的和為必然事件這一點(diǎn)挖掘題目中的隱含條件并合理利用是解決某些問題的關(guān)鍵，同學(xué)們應(yīng)注重這種能力的培養(yǎng).3隨機(jī)事件的概率結(jié)論1概率大的隨機(jī)事件不一定意味著肯定發(fā)生在一次試驗(yàn)中，概率大的隨機(jī)事件的發(fā)生不一定優(yōu)于概率小的隨機(jī)事件的發(fā)生釋義對(duì)于概率的大小問題，只能說明相對(duì)于同一隨機(jī)事件而言，概率大的發(fā)生的可能性大，概率小的發(fā)生的可能性小例1在一次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是0.3，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率是0.7，你認(rèn)為如果做一次試驗(yàn)，可能出現(xiàn)B不發(fā)生A發(fā)生的現(xiàn)象嗎？為什么？解這是可能的因?yàn)殡S機(jī)事件B的發(fā)生概率大于隨機(jī)事件A的發(fā)生概率，但并不意味著在一次試驗(yàn)中隨機(jī)事件B的發(fā)生一定優(yōu)于隨機(jī)事件A的發(fā)生，隨機(jī)事件的發(fā)生是不確定的結(jié)語結(jié)論1實(shí)現(xiàn)實(shí)際生活中小概率事件發(fā)生的可能性對(duì)于概率問題，必須注意的是概率是相對(duì)于大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下得到的理論值，但在少數(shù)的有限試驗(yàn)中，概率不一樣的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性無法確定結(jié)論2概率是由巨大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)論，是一種大的整體的趨勢(shì)；而頻率是數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，是一種具體的趨勢(shì)和規(guī)律概率可以看作頻率在理論上的期望值釋義概率與頻率的關(guān)系是整體與具體、理論與實(shí)踐、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)的關(guān)系，頻率隨著隨機(jī)事件次數(shù)的增加會(huì)趨向于概率在處理具體的隨機(jī)事件時(shí)，用概率作指導(dǎo)，以頻率為依據(jù)例2在某次射擊比賽中，甲運(yùn)動(dòng)員在決賽中以0.2環(huán)的微弱優(yōu)勢(shì)戰(zhàn)勝了乙運(yùn)動(dòng)員，摘得該項(xiàng)的金牌下表是兩人在參賽前訓(xùn)練中擊中10環(huán)以上的次數(shù)統(tǒng)計(jì)：甲運(yùn)動(dòng)員：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)以上的次數(shù)m9174492179450擊中10環(huán)以上的頻率乙運(yùn)動(dòng)員：射擊次數(shù)n102050100200500擊中10環(huán)以上的次數(shù)m8194493177453擊中10環(huán)以上的頻率請(qǐng)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)回答以下問題：(1)分別計(jì)算出兩位運(yùn)動(dòng)員擊中10環(huán)以上的頻率；(2)根據(jù)(1)中計(jì)算的結(jié)果預(yù)測(cè)兩位運(yùn)動(dòng)員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率解(1)兩運(yùn)動(dòng)員擊中10環(huán)以上的頻率分別為：甲：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；乙：0.8,0.95,0.88,0.93,0.885,0.906；(2)由(1)中的數(shù)據(jù)可知兩位運(yùn)動(dòng)員擊中10環(huán)以上的頻率都集中在0.9這個(gè)數(shù)的附近，所以可以預(yù)測(cè)兩位運(yùn)動(dòng)員在該比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率為0.9，即兩人的實(shí)力相當(dāng)結(jié)語結(jié)論2實(shí)現(xiàn)頻率與概率既有聯(lián)系又有區(qū)別，頻率隨著隨機(jī)事件的試驗(yàn)次數(shù)的不斷增加而趨向于概率結(jié)論3兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立釋義對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例，兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件，而兩個(gè)對(duì)立事件必為互斥事件例3一個(gè)不透明的袋中裝入4個(gè)白球與4個(gè)黑球，從中任意摸出3個(gè)球(1)可能發(fā)生哪些事件？(2)指出其中每個(gè)事件的互斥事件；(3)事件“至少摸出1個(gè)白球”是哪幾個(gè)事件的和事件？它的對(duì)立事件是哪個(gè)事件？解(1)以白球或黑球的個(gè)數(shù)作為討論標(biāo)準(zhǔn)，可能發(fā)生下列事件：摸出3個(gè)白球，記為事件A；摸出2個(gè)白球，1個(gè)黑球，記為事件B；摸出1個(gè)白球，2個(gè)黑球，記為事件C；摸出3個(gè)黑球，記為事件D；(2)事件A，B，C，D彼此互斥；(3)“至少摸出1個(gè)白球”的事件為A，B，C的和事件，即“至少摸出1個(gè)白球”的對(duì)立事件是D.結(jié)語結(jié)論3實(shí)現(xiàn)對(duì)立事件與互斥事件的聯(lián)系與區(qū)別特別在解答一些問題時(shí)，在把復(fù)雜事件加以分解的事件個(gè)數(shù)不是太多的情況下，可以把所有的事件羅列下來，結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念加以辨析.4點(diǎn)擊互斥事件一、互斥事件、對(duì)立事件的概念1“互斥事件”和“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，也就是說互斥事件至多有一個(gè)發(fā)生，也有可能兩個(gè)都不發(fā)生，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件因此，對(duì)立事件必須是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，也就是說對(duì)立事件是互斥事件的充分不必要條件2從集合的角度理解：兩個(gè)互斥事件對(duì)應(yīng)的基本事件所組成的集合的交集為空集，并集可能是全集，也可能不是全集；當(dāng)A，B是對(duì)立事件時(shí)，其交集為空集，并集是全集3互斥事件之間的關(guān)系中的“不能同時(shí)發(fā)生”體現(xiàn)了分類討論的原則“不重復(fù)”，而“不遺漏”則表現(xiàn)在所有互斥事件的和是整個(gè)事件(必然事件)二、例題點(diǎn)擊1互斥事件、對(duì)立事件的判斷例1從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥但不對(duì)立的事件是()A至少有1個(gè)紅球與都是紅球B至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球C恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)紅球D至少有1個(gè)黑球與都是紅球解析“從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球”這一事件共包含3個(gè)基本事件：(紅，紅)，(黑，黑)，(紅，黑)，故恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)紅球互斥但不對(duì)立，所以選C.答案C評(píng)注借助于列舉基本事件，結(jié)合定義，易判斷出互斥與對(duì)立事件2互斥事件的計(jì)算例2袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色不全相同的概率解記“3只顏色全相同”為事件A，則所求事件為A的對(duì)立事件因?yàn)椤?只顏色全相同”又可分為“3只全是紅球(事件B)”“3只全是黃球(事件C)”“3只全是白球(事件D)”，且它們彼此互斥，故3只顏色全相同即為事件BCD，由于紅球、黃球、白球的個(gè)數(shù)一樣，故有P(B)P(C)P(D)，所以P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)，因此有P()1.答3只顏色不全相同的概率是.評(píng)注本題可將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，但比較麻煩，故轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件求解，體現(xiàn)了“正難則反”的思想注意“3只顏色全相同”可分為三個(gè)彼此互斥的基本事件，它的對(duì)立事件為“3只顏色不全相同”.5解古典概型的幾個(gè)注意解古典概型問題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)：(1)有限性：做一次試驗(yàn)，可能出現(xiàn)的結(jié)果為有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件(2)等可能性：每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的其計(jì)算公式P(A)也比較簡(jiǎn)單，但是這類問題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，下面說一下在解題中需要注意的幾個(gè)問題注意1有限性和等可能性例1擲兩枚均勻的硬幣，求出現(xiàn)一正一反的概率分析這個(gè)試驗(yàn)的基本事件(所有可能結(jié)果)共有4種：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A“出現(xiàn)一正一反”的所有可能結(jié)果為：(正，反)，(反，正)解P(A).評(píng)注均勻硬幣在拋擲過程中出現(xiàn)正、反面的概率是相等的，并且試驗(yàn)結(jié)果是有限個(gè)注意2計(jì)算基本事件的數(shù)目時(shí)，必須做到不重不漏例2從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，求下列事件的概率：(1)A三個(gè)數(shù)字中不含1和5；(2)B三個(gè)數(shù)字中含1或5分析這個(gè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種解(1)事件A為(2,3,4)，故P(A).(2)事件B的所有可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9種故P(B).評(píng)注在計(jì)算事件數(shù)目時(shí)，要做到不重不漏，如B中可分為含1的：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)含5的：(1,2,5)，(1,3,5)，(2,3,5)，(3,4,5)，(1,4,5)，(2,4,5)在歸于集合B中時(shí)，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)這三個(gè)不能重復(fù)計(jì)算注意3利用事件間的關(guān)系例3有3個(gè)完全相同的小球a，b，c，隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子中，求兩個(gè)盒子都不空的概率分析先分析三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本事件，再確定兩個(gè)盒子都不空的對(duì)立事件是至少有一個(gè)盒子為空所包含事件，從而確定該事件的概率解a，b，c三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本事件為：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c兩個(gè)盒子都不空的對(duì)立事件是至少有一個(gè)盒子為空，所包含事件：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共兩個(gè)，故P1.評(píng)注在求解較復(fù)雜事件的概率時(shí)，可將其分解為幾個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件的和事件，由公式P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件，再用公式P(A)1P()求得.6走出解幾何概型的幾個(gè)誤區(qū)幾何概型和古典概型是概率中典型的問題，幾何概型和古典概型有共同點(diǎn)，也有很多不一樣的地方我們?cè)谇蠼鈳缀胃判蛦栴}時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些典型的錯(cuò)誤下面用具體的例子幫你走出誤區(qū)一、若P(A)0，則A未必是不可能事件；若P(A)1，則A未必是必然事件例1有一個(gè)底面是圓形的容器，底面圓半徑是一枚硬幣半徑的10倍，現(xiàn)在把這枚硬幣隨機(jī)地扔進(jìn)容器，求硬幣與底面恰好相切的概率解記“硬幣與底面圓相切”為事件A，由題意知所求問題是以面積為測(cè)度的幾何概型的概率問題，事件A中硬幣的位置可由硬幣的中心確定，當(dāng)硬幣與底面相切時(shí)，硬幣的中心形成一個(gè)圓周(不包括圓周內(nèi)部)，故其對(duì)應(yīng)的面積可以認(rèn)為是0，故P(A)0.點(diǎn)評(píng)在古典概型中，P(A)0A是不可能事件；而在幾何概型P(A)0，則A未必是不可能事件；P(A)1，A也未必是必然事件二、背景相似的問題，當(dāng)試驗(yàn)的角度不同時(shí)，其概率不一樣例2(1)在直角三角形ABC中，A90，ABAC，過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，求BMAB的概率(2)在等腰直角三角形ABC中，A90，在線段BC上取一點(diǎn)M，求BMAB的概率解(1)記“過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BMAB”為事件，由于是過點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，所以射線在BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)ABBM時(shí)BAM67.5，所以P().(2)設(shè)ABAC1，則BC，設(shè)“在線段BC上取一點(diǎn)M，使BMAB”為事件，則P().點(diǎn)評(píng)幾何概型有關(guān)問題，有的背景相似，試驗(yàn)的角度不同時(shí)，其概率是不一樣的三、錯(cuò)用測(cè)度類型例3在區(qū)間0,2中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之和小于1的概率錯(cuò)解兩數(shù)之和小于1，那么每一個(gè)數(shù)是0,1之間，故每一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的概率為，那么所求兩個(gè)數(shù)的概率為.錯(cuò)因分析因?yàn)閮蓴?shù)之和小于1，故兩個(gè)數(shù)之間有相互制約的關(guān)系，即兩個(gè)變量之間不是相互獨(dú)立的，不可將兩個(gè)變量的概率相乘，故這種做法是錯(cuò)誤的，應(yīng)用面積做測(cè)度，計(jì)算概率正確答案設(shè)x，y表示所取的任意兩個(gè)數(shù)，由于x0,2，y0,2，以兩數(shù)x，y為坐標(biāo)的點(diǎn)在以2為邊長(zhǎng)的正方形區(qū)域內(nèi)，設(shè)兩數(shù)和小于1為事件A，則事件A所在區(qū)域?yàn)橹本€xy1的下方且在正方形內(nèi)的陰影區(qū)域P(A).四、忽視等可能例4以等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，則截得弦長(zhǎng)不大于直角邊的概率為多少？錯(cuò)解如圖所示，設(shè)MN是以C為圓心，以MC為半徑的圓所截取的線段，故所求事件發(fā)生的概率為P.錯(cuò)因分析本試驗(yàn)以直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，因此用圓和線段相交的長(zhǎng)度反映概率，忽視了等可能正確答案以直角頂點(diǎn)為圓心作圓，使這個(gè)圓與斜邊相交，半徑r的取值范圍在CH<rCA；而事件對(duì)應(yīng)的r的取值范圍為CH<rCM，故記所求事件為，則P()，設(shè)AC2，則CH，CM，故P().7概率中的數(shù)學(xué)思想概率的有關(guān)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用非常廣泛，恰當(dāng)合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，可以幫助我們更快、更準(zhǔn)確地解決問題下面舉例說明求解概率問題時(shí)常用的三種思想方法一、數(shù)形結(jié)合思想例1在一次商貿(mào)交易會(huì)上，某商家開展促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)，甲、乙兩人相約參與抽獎(jiǎng)若甲計(jì)劃在9：009：40之間趕到，乙計(jì)劃在9：2010：00之間趕到，求甲比乙提前到達(dá)的概率分析本題屬于幾何概型問題，由于涉及到兩個(gè)變量，故可建立坐標(biāo)系，借助面積來解決解設(shè)兩人到達(dá)的時(shí)間分別為9點(diǎn)到10點(diǎn)之間的第x分鐘、第y分鐘，用(x，y)表示，則所有可能結(jié)果可表示為(x，y)|0x40,20y60記“甲比乙提前到達(dá)”為事件A，則事件A的可能結(jié)果為(x，y)|x<y,0x40,20y60如圖所示，試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閳D中的正方形，而構(gòu)成事件A的區(qū)域是正方形內(nèi)的陰影部分，所以P(A).點(diǎn)評(píng)某些概率問題用常規(guī)方法來解，比較困難，而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，則可以形象地反映概率的本質(zhì)，從而順利解決問題二、轉(zhuǎn)化與化歸思想例2現(xiàn)從5名優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，問其中的甲、乙兩人至多有一人去參加競(jìng)賽的概率是多少？分析對(duì)于這種含有“至多”“至少”等類型的概率問題，我們往往采用“正難則反”原理這里因?yàn)槊棵麑W(xué)生被抽出的概率相等，且所有可能結(jié)果有限，所以為古典概型問題解從5名優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人去參加競(jìng)賽，共有10個(gè)基本事件設(shè)事件A為“甲、乙兩人至多有一人去參加競(jìng)賽”，它的對(duì)立事件是“甲、乙兩人都去參加競(jìng)賽”，而“甲、乙兩人都去參加競(jìng)賽”的抽取方法只有1種，所以P()，故P(A)1P()，即甲、乙兩人至多有一人去參加競(jìng)賽的概率是.點(diǎn)評(píng)從正面求解比較困難時(shí)，可以逆向思考一般我們是先求其對(duì)立事件發(fā)生的概率，再利用P(A)1P()求所求事件的概率三、分類討論思想例3將數(shù)1.5隨機(jī)地分成兩個(gè)正實(shí)數(shù)之和，例如1.1430.357，或者0.60.9，然后對(duì)每一個(gè)數(shù)四舍五入取整數(shù)如在上述第一種分法中取1和0，在第二種分法中取1和1.那么這兩個(gè)整數(shù)之和等于2的概率是多少？分析隨機(jī)地將1.5分成兩個(gè)正實(shí)數(shù)之和，就是在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x，將該區(qū)間分成兩部分，且另一個(gè)數(shù)是1.5x.由于對(duì)x和1.5x取整數(shù)有多種情況，故最好分類討論解若在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)地取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則另一個(gè)數(shù)是y1.5x.若x(0,0.5)，則y(1,1.5)，此時(shí)有011；若x0.5,1，則y0.5,1，此時(shí)有112；若x(1,1.5)，則y(0,0.5)，此時(shí)有101.記事件A為“兩整數(shù)之和等于2”因?yàn)閷?shí)數(shù)x是在區(qū)間(0,1.5)內(nèi)隨機(jī)抽取的，所以屬長(zhǎng)度型幾何概型問題因?yàn)闃?gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度是0.5，所以P(A).點(diǎn)評(píng)概率中的分類討論，一般是對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否滿足事件A進(jìn)行的