2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第7講 空間中角與距離的計(jì)算課時(shí)作業(yè) 理.doc

第7講空間中角與距離的計(jì)算1如圖X871，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，若E，F(xiàn)分別是BC，DD1的中點(diǎn)，則B1到平面ABF的距離為()A. B. C. D. 圖X871 圖X8722(2016年黑龍江哈爾濱六中統(tǒng)測(cè))如圖X872，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，BAC，AC4，AA14，M為AA1的中點(diǎn)，P為BM的中點(diǎn)，Q在線段CA1上，A1Q3QC.則異面直線PQ與AC所成角的正弦值為()A. B. C. D.3如圖X873，在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正切值是()A. B. C. D. 圖X873 圖X8744若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為()A. B. C. D.5已知在矩形ABCD中，AB1，BC，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為_6如圖X874，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2 ，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_7(2017年山東)如圖X875，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，G是的中點(diǎn)(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且APBE，求CBP的大??；(2)當(dāng)AB3，AD2時(shí)，求二面角EAGC的大小圖X8758(2017年廣東深圳一模)如圖X876，四邊形ABCD為菱形，四邊形ACFE為平行四邊形，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)G，ABBD2，AE，EADEAB.(1)證明：平面ACFE平面ABCD；(2)若AE與平面ABCD所成角為60，求二面角BEFD的余弦值圖X8769(2016年新課標(biāo))如圖X877，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到 DEF的位置，OD.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值圖X877第7講空間中角與距離的計(jì)算1D2C解析：以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立如圖D156所示的空間直角坐標(biāo)系，圖D156則由題意，得A(0,4,0)，C(0,0,0)，B(4 ，0,0)，M(0,4,2)，A1(0，4,4)，P(2 ，2,1)則(0,4,4)(0,1,1)Q(0,1,1)，(0，4,0)，(2 ，1,0)設(shè)異面直線PQ與AC所成角為，cos |cos，|，sin .故選C.3B解析：BB1與平面ACD1所成角即DD1 與平面ACD1所成角，即DD1O，其正切值是 .4B解析：方法一(間接法)，由正三棱柱的所有棱長都相等，依據(jù)題設(shè)條件，可知B1D平面ACD，B1DDC.故B1DC為直角三角形不妨設(shè)棱長為1，則有AD，B1D，DC.設(shè)A到平面B1DC的距離為h，則有，hB1DSADC.h.h.設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為，則sin .方法二(向量法)，如圖D157，取AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系圖D157不妨設(shè)各棱長為2，則有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)設(shè)n(x，y，z)為平面B1CD的法向量，則有n(0,2,1)設(shè)直線AD與平面B1DC所成的角為，sin cos A，n.5.解析：過B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N.則可求得AM，BM，CN，DN，MN1.|2|2|2|2|22()21222(000).|.6.解析：方法一，如圖D158，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C1(0,0, 2 )點(diǎn)C1在側(cè)面ABB1A1內(nèi)的射影為點(diǎn)C2.圖D158(2,0,2 )，.設(shè)直線AC1與平面ABB1A1所成的角為，則cos .又，所以.方法二，取A1B1的中點(diǎn)H，連接AH，由題意易知C1H平面ABB1A1，C1AH即為AC1與平面ABB1A1所成的角在RtC1HA中，C1H，C1A2 ，C1AH，即AC1與側(cè)面ABB1A所成角為.7解：(1)因?yàn)锳PBE，ABBE，又AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)方法一，取的中點(diǎn)H，連接EH，GH，CH，如圖D159.因?yàn)镋BC120，所以四邊形為BEHC為菱形所以AEGEACGC.取AG中點(diǎn)M，連接EM，CM，EC.則EMAG，CMAG.所以EMC為所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2 .在BEC中，由于EBC120，由余弦定理，得EC22222222cos 12012，所以EC2 .因此EMC為等邊三角形故所求的角為60. 圖D159 圖D160方法二，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖D160所示的空間直角坐標(biāo)系由題意，得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面AEG的一個(gè)法向量由可得取z12，得平面AEG的一個(gè)法向量m(3，2)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACG的一個(gè)法向量由可得取z22，可得平面ACG的一個(gè)法向量n(3，2)所以cosm，n.因此所求的角為60.8(1)證明：連接EG，四邊形ABCD為菱形，ADAB，BDAC，DGGB.在EAD和EAB中，ADAB，AEAE，EADEAB，EADEAB.EDEB.BDEG.ACEGG，BD平面ACFE.BD平面ABCD，平面ACFE平面ABCD.(2)解：方法一，如圖D161，過G作EF的垂線，垂足為M，連接MB，MG，MD，易得EAC為AE與平面ABCD所成的角EAC60.EFGM，EFBD，EF平面BDM，DMB為二面角BEFD的平面角可求得MG，DMBM，在DMB中由余弦定理，可得cos BMD，二面角BEFD的余弦值為. 圖D161 圖D162方法二，如圖D162，在平面ABCD內(nèi)，過G作AC的垂線，交EF于M點(diǎn)，由(1)可知，平面ACFE平面ABCD，MG平面ABCD.直線GM，GA，GB兩兩互相垂直分別GA，GB，GM為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz，易得EAC為AE與平面ABCD所成的角，EAC60.則D(0，1,0)，B(0,1,0)，E，F(xiàn).則(2，0,0)，.設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則n0，n0.x0，且xyz0.取z2，可得平面BEF的一個(gè)法向量為n(0,3,2)同理可求得平面DEF的一個(gè)法向量為m(0,3，2)cos n，m.二面角BEFD的余弦值為.9(1)證明：由已知，得ACBD，ADCD.又由AECF，得.故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6，得DOBO4.由EFAC，得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是OH1，DH2OH2321210DO2.故DHOH.又DHEF，而OHEFH.所以DH平面ABCD.圖D163(2)解：如圖D163，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Hxyz，則H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)所以(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)設(shè)m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，則即所以可以取m(4,3，5)設(shè)n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，則即所以可以取n(0，3,1)于是cosm，n， sinm，n.因此二面角BDAC的正弦值是.