2018-2019學年高中數學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 回歸分析學案 北師大版選修1 -2.docx

1.1回歸分析學習目標1.會建立線性回歸模型分析兩個變量間的相關關系.2.掌握建立線性回歸模型的步驟知識點線性回歸方程思考(1)什么叫回歸分析？(2)回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數值一定是真實值嗎？答案(1)回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法(2)不一定是真實值，利用線性回歸方程求的值，在很多時候是個預報值，例如，人的體重與身高存在一定的線性關系，但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響，如飲食、是否喜歡運動等梳理(1)平均值的符號表示假設樣本點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，在統(tǒng)計上，用表示一組數據x1，x2，xn的平均值，即i；用表示一組數據y1，y2，yn的平均值，即i.(2)參數a，b的求法b，ab.(3)樣本點的中心(，)，回歸直線過樣本點的中心1現(xiàn)實生活中的兩個變量要么是函數關系，要么是相關關系()2散點圖能準確判定兩個變量是否具有線性相關關系()3回歸直線不一定過樣本中的點，但一定過樣本點的中心()類型一概念的理解和判斷例1有下列說法：線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點的數學方法；利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；通過回歸方程ybxa可以估計觀測變量的取值和變化趨勢；因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗其中正確命題的個數是()A1B2C3D4考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案C解析反映的正是最小二乘法思想，正確；反映的是畫散點圖的作用，正確；反映的是回歸方程ybxa的作用，正確；不正確，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關系跟蹤訓練1下列變量關系是相關關系的是()學生的學習時間與學習成績之間的關系；某家庭的收入與支出之間的關系；學生的身高與視力之間的關系；球的體積與半徑之間的關系ABCD考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案A解析對，學習時間影響學生的學習成績，但是學生學習的刻苦程度、學生的學習方法、教師的授課水平等其他因素也影響學生的成績，因此學生的學習時間與學習成績之間具有相關關系；對，家庭收入影響支出，但支出除受收入影響外，還受其他因素影響，故它們是相關關系；對，身高與視力之間互不影響，沒有任何關系；對，球的體積由半徑決定，是一種確定性關系，故它們是函數關系類型二回歸分析例2某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數據：x681012y2356(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程ybxa；(3)試根據求出的線性回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)如圖：(2)iyi6283105126158，9，4，6282102122344，b0.7，ab40.792.3，故線性回歸方程為y0.7x2.3.(3)由(2)中線性回歸方程可知，當x9時，y0.792.34，預測記憶力為9的同學的判斷力約為4.反思與感悟(1)求線性回歸方程的基本步驟列出散點圖，從直觀上分析數據間是否存在線性相關關系計算：，iyi.代入公式求出ybxa中參數b，a的值寫出線性回歸方程并對實際問題作出估計(2)需特別注意的是，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸方程才有實際意義，否則求出的回歸方程毫無意義跟蹤訓練2已知某地區(qū)410歲女孩各自的平均身高數據如下：年齡x/歲45678910身高y/cm100106112116121124130求y對x的線性回歸方程(保留兩位小數)考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解制表i1234567xi45678910yi100106112116121124130xiyi400530672812968111613007，371，iyi5798b4.82，ab4.82781.83.所以線性回歸方程為y81.834.82x.例3某商場經營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數)(元)與日銷售量y(臺)之間有如下關系：x35404550y56412811(1)畫出散點圖，并判斷y與x是否具有線性相關關系；(2)求日銷售量y對銷售單價x的線性回歸方程；(3)設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據(2)寫出P關于x的函數關系式，并預測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤考點線性回歸分析題點回歸直線方程的應用解(1)散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(2)因為(35404550)42.5，(56412811)34.iyi35564041452850115410.3524024525027350.所以b3.ab34(3)42.5161.5.所以線性回歸方程為y161.53x.(3)依題意，有P(161.53x)(x30)3x2251.5x4845324845.所以當x42時，P有最大值，約為426元即預測當銷售單價為42元時，能獲得最大日銷售利潤反思與感悟解答線性回歸題目的關鍵是首先通過散點圖來分析兩變量間的關系是否線性相關，然后再利用求線性回歸方程的公式求解線性回歸方程，在此基礎上，借助線性回歸方程對實際問題進行分析跟蹤訓練3一臺機器由于使用時間較長，生產的零件有一些會缺損，按不同轉速生產出來的零件有缺損的統(tǒng)計數據如下表：轉速x(轉/秒)1614128每小時生產缺損零件數y(件)11985(1)作出散點圖；(2)如果y與x線性相關，求出線性回歸方程；(3)若在實際生產中，允許每小時的產品中有缺損的零件最多為10個，那么，機器的運轉速度應控制在什么范圍？考點線性回歸分析題點回歸直線方程的應用解(1)根據表中的數據畫出散點圖如圖(2)設線性回歸方程為：ybxa，并列表如下：i1234xi1614128yi11985xiyi176126964012.5，8.25，660，iyi438，所以b0.73，a8.250.7312.50.875，所以y0.73x0.875.(3)令0.73x0.87510，解得x<14.915，故機器的運轉速度應控制在15轉/秒內.1某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其線性回歸方程可能是()Ay10x200By10x200Cy10x200Dy10x200考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案A解析因為y與x負相關，所以排除B，D，又因為C項中x>0時，y<0不合題意，所以C錯2如圖四個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是()ABCD考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案B解析由圖易知兩個圖中樣本點在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型3下表是x和y之間的一組數據，則y關于x的回歸直線必過點()x1234y1357A.(2,3) B(1.5,4)C(2.5,4) D(2.5,5)考點線性回歸方程題點樣本點中心的應用答案C解析回歸直線必過樣本點中心(，)，即(2.5,4)4面對競爭日益激烈的消費市場，眾多商家不斷擴大自己的銷售市場，以降低生產成本某白酒釀造企業(yè)市場部對該企業(yè)9月份的產品銷量x(單位：千箱)與單位成本y(單位：元)的資料進行線性回歸分析，結果如下：，71，79，iyi1481，則銷量每增加1000箱，單位成本下降_元考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案1.8182解析由題意知，b1.8182，a71(1.8182)77.36，y關與x的線性回歸方程為y1.8182x77.36，即銷量每增加1千箱，單位成本下降1.8182元5已知x，y之間的一組數據如下表：x0123y1357(1)分別計算：，x1y1x2y2x3y3x4y4，xxxx；(2)已知變量x與y線性相關，求出線性回歸方程考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)1.5，4，x1y1x2y2x3y3x4y40113253734，xxxx0212223214.(2)b2，ab421.51，故線性回歸方程為y2x1.回歸分析的步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是自變量，哪個變量是因變量(2)畫出確定好的因變量關于自變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)(3)由經驗確定回歸方程的類型(如果呈線性關系，則選用線性回歸方程ybxa)(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數一、選擇題1對變量x，y由觀測數據(xi，yi)(i1,2，10)，得散點圖(1)；對變量u，v由觀測數據(ui，vi)(i1,2，10)，得散點圖(2)，由這兩個散點圖可以判斷()A變量x與y正相關，u與v正相關B變量x與y正相關，u與v負相關C變量x與y負相關，u與v正相關D變量x與y負相關，u與v負相關考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案C解析由題圖(1)可知，各點整體呈遞減趨勢，x與y負相關；由題圖(2)可知，各點整體呈遞增趨勢，u與v正相關2某醫(yī)學科研所對人體脂肪含量與年齡這兩個變量研究得到一組隨機樣本數據，運用Excel軟件計算得y0.577x0.448(x為人的年齡，y為人體脂肪含量)對年齡為37歲的人來說，下面說法正確的是()A年齡為37歲的人體內脂肪含量為20.90%B年齡為37歲的人體內脂肪含量約為21.01%C年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量約為20.90%D年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量約為31.5%考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案C解析當x37時，y0.577370.44820.90120.90，由此估計，年齡為37歲的人群中的大部分人的體內脂肪含量約為20.90%.3已知變量x和y滿足關系y0.1x1，變量y與z正相關，下列結論中正確的是()Ax與y負相關，x與z負相關Bx與y正相關，x與z正相關Cx與y正相關，x與z負相關Dx與y負相關，x與z正相關考點回歸分析題點回歸分析的概念和意義答案A解析由正相關和負相關的定義知A正確4某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量(單位：萬盒)的數據如下表所示：x(月份)12345y(萬盒)55668若x，y線性相關，線性回歸方程為y0.7xa，估計該制藥廠6月份生產甲膠囊產量約為()A8.0萬盒B8.1萬盒C8.9萬盒D8.6萬盒考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案B解析回歸直線一定過樣本點中心由已知數據可得3，6，代入回歸方程，可得a0.73.9，即線性回歸方程為y0.7x3.9.把x6代入，可近似得y8.1，故選B.5工人月工資y(單位：元)關于勞動生產率x(單位：千元)的回歸方程為y65080x，下列說法中正確的個數是()勞動生產率為1000元時，工資約為730元；勞動生產率提高1000元，則工資提高80元；勞動生產率提高1000元，則工資提高730元；當月工資為810元時，勞動生產率約為2000元A1B2C3D4考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案C解析代入方程計算可判斷正確6某化工廠為預測某產品的回收率y，而要研究它和原料有效成分含量之間的相關關系，現(xiàn)取了8對觀測值，計算得i52，i228，478，iyi1849，則y與x的線性回歸方程是()Ay11.472.62xBy11.472.62xCy2.6211.47xDy11.472.62x考點線性回歸方程題點求線性回歸方程答案A解析由題中數據，得6.5，28.5，b2.62，ab28.52.626.511.47，y對x的線性回歸方程是y2.62x11.47，故選A.7為研究變量x和y的線性相關性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線l1和l2，兩人計算知相同，也相同，下列正確的是()Al1與l2一定重合Bl1與l2一定平行Cl1與l2相交于點(，)D無法判斷l(xiāng)1和l2是否相交考點回歸直線方程題點樣本點中心的應用答案C解析因為兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數據的平均值都是，對變量y的觀測數據的平均值都是，所以兩組數據的樣本點中心都是(，)，因為回歸直線經過樣本點的中心，所以l1和l2都過(，)二、填空題8某校小賣部為了了解奶茶銷售量y(杯)與氣溫x()之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天賣出的奶茶杯數與當天的氣溫，得到下表中的數據，并根據該樣本數據用最小二乘法建立了線性回歸方程y2x60，則樣本數據中污損的數據y0應為_.氣溫x()1131018杯數yy0343824考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案64解析由表中數據易知10，代入y2x60中，得y40.由40，得y064.9調查某移動公司的三名推銷員，其工作年限與年推銷金額的數據如下表所示.推銷員編號123工作年限x(年)3510年推銷金額y(萬元)234由表中數據算出線性回歸方程ybxa中的b.若該公司第四名推銷員的工作年限為6年，則估計他的年推銷金額約為_萬元考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案3解析6，3，由回歸直線經過樣本點中心可知，該推銷員年推銷金額約為3萬元10某人對一地區(qū)人均工資x(千元)與該地區(qū)人均消費y(千元)進行統(tǒng)計調查，發(fā)現(xiàn)y與x有相關關系，并得到線性回歸方程y0.66x1.562.若該地區(qū)的人均消費水平為7.675千元，則估計該地區(qū)的人均消費額占人均工資收入的百分比約為_(精確到0.1%)考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案82.9%解析當y7.675時，x9.262，所以該地區(qū)的人均消費額占人均工資收入的百分比約為100%82.9%.11某數學老師身高為176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_cm.考點線性回歸分析題點線性回歸方程的應用答案183.5解析記從爺爺起向下各代依次為1,2,3,4,5，用變量x表示，其中5代表孫子各代人的身高為變量y，則有x1234y173170176182計算知2.5，175.25.由回歸系數公式得b3.3，ab175.253.32.5167，線性回歸方程為y3.3x167，當x5時，y3.35167183.5，故預測其孫子的身高為183.5cm.三、解答題12從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數據資料，算得i80，i20，iyi184，720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程ybxa；(2)判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄附：b，ab.考點線性回歸方程題點線性回歸方程的應用解(1)由題意，n10，i80，i20，8，2.又102720108280，iyi10184108224，由此得b0.3，ab20.380.4，故所求線性回歸方程為y0.3x0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b0.30)，故x與y之間是正相關(3)將x7代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄約為y0.370.41.7(千元)13隨著我國經濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20102011201220132014時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關于t的回歸方程ybta；(2)用所求回歸方程預測該地區(qū)2019年(t10)的人民幣儲蓄存款附：回歸方程ybta中，b，ab.考點線性回歸方程題點求線性回歸方程解(1)列表計算如下：itiyittiyi11515226412337921448163255102550153655120此時n5，i3，i7.2.又lttn25553210，ltyiyin120537.212，從而b1.2，ab7.21.233.6，故所求回歸方程為y1.2t3.6.(2)將t10代入回歸方程，可預測該地區(qū)2019年的人民幣儲蓄存款為y1.2103.615.6(千億元)四、探究與拓展14某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求線性回歸方程ybxa，其中b20，ab；(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？(利潤銷售收入成本)解(1)8.5，(908483807568)80.b20，ab，a80208.5250，線性回歸方程為y20x250.(2)設工廠獲得的利潤為L元，則Lx(20x250)4(20x250)202361.25，該產品的單價應定為元，才使工廠獲得的利潤最大