2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形 專題突破一 三角形中的隱含條件學案（含解析）新人教B版必修5.docx

專題突破一三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于公式較多且性質(zhì)靈活，解題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)勗诮馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘隱含條件1.兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍解設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.c>b>a，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理得cosC<0.k24k12<0，解得2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k(k2)>k4，k>2，綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.反思感悟雖然是任意兩邊之和大于第三邊，但實際應(yīng)用時通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就可以跟蹤訓練1在ABC中，AB6，AC8，第三邊上的中線ADx，則x的取值范圍是_答案(1,7)解析以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，則BEAC8.AE2x.由解得1x7.x的取值范圍是(1,7)隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍例2已知ABC中，B30，AB2，AC2，則ABC的面積是_答案2或解析由正弦定理，得sinC.C60或C120.當C60時，A90，則SABCABACsinA2；當C120時，A30，則SABCABACsinA.ABC的面積是2或.反思感悟利用正弦定理解決“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”問題時，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準確出錯跟蹤訓練2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，則B_.答案或解析由正弦定理，得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB.0B，sinB0.sinAcosCcosAsinC，sin(AC)，sin(B).sinB.又B(0，)，B或B.例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.，試判斷三角形的形狀解由和正弦定理，得，又A，B(0，)，即sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，2A2B或2A2B.AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟在ABC中，sin Asin BAB是成立的，但sin 2Asin 2B2A2B或2A2B180.跟蹤訓練3ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ca2acos B，則B2A_.答案0解析由正弦定理，得sinCsinA2sinAcosB.ABC，C(AB)，sinCsinAsin(AB)sinAsinAcosBcosAsinBsinA2sinAcosB，sinBcosAcosBsinAsinA，sin(BA)sinA.A，B(0，)BAA或BAA(舍)B2A0.例4在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.B3A，求的取值范圍解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A，AB4A<180，0<A<45，<cosA<1，1<4cos2A1<3，1<<3.反思感悟解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導致解題失敗跟蹤訓練4若在銳角ABC中，B2A，則A的取值范圍是_答案解析由ABC為銳角三角形，得解得A.例5設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2bsinA.(1)求B的大?。?2)求cosAsinC的取值范圍解(1)由正弦定理及a2bsinA得，2b，sinB，又B，B.(2)由ABC為銳角三角形，得解得A，cosAsinCcosAsinsin，A.sin，sin.cosAsinC的取值范圍為.反思感悟事實上，銳角三角形三個內(nèi)角均為銳角對角A的范圍都有影響，故CABA.由此得A.跟蹤訓練5銳角ABC中，B60，b，求ABC面積S的取值范圍解由正弦定理，asin Asin A2sin A.同理c2sin C，Sacsin B2sin A2sin Csin 60sin Asin C，ABC，CABA.又A，C為銳角，0<A<，<A<，Ssin Asinsin Asin Acos Asin2Asin 2Asin，<A<，<2A<，<sin1，<sin.即S的取值范圍為.1在ABC中，必有()AsinAsinB0BsinAcosB0CsinAcosB0DcosAcosB0答案D解析在ABC中，AB，0AB.cosAcos(B)cosB.cosAcosB0.2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c<bcosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析由已知得sinC<sinBcosA，sin(AB)<sinBcosA，sinAcosBcosAsinB<sinBcosA，又sinA>0，cosB<0，B為鈍角，故ABC為鈍角三角形3在ABC中，已知sinA，cosB，則cosC_.答案解析若A為鈍角，由sinA，知A.又由cosB.知B.從而AB.與ABC矛盾A為銳角，cosA.由cosB，得sinB.cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB).4在ABC中，C120，ca，則a與b的大小關(guān)系是a_b.答案解析方法一由余弦定理cosC，得cos120，整理得a2b2abb2，ab.方法二由正弦定理，得，整理得sin Asin 30.C120，AB60，A30，B30，ab.5在ABC中，若b2ac，則的取值范圍是_答案解析設(shè)q，則由b2ac，得q.baq，caq2.由得解得q.6在鈍角ABC中，2BAC，C為鈍角，m，則m的取值范圍是_答案(2，)解析由ABC3B，知B.又C，0A，(，)2，m(2，)7在ABC中，若c，C，求ab的取值范圍解C，AB，外接圓直徑2R2.ab2Rsin A2Rsin B2sin Asin B2sin Asinsin.0A，A，sin1.1sin.即ab(1，)一、選擇題1已知三角形三邊之比為578，則最大角與最小角的和為()A90B120C135D150答案B解析設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為，則由余弦定理可得49256480cos ，解得cos ，(0，180)，60.則最大角與最小角的和為18060120.2在ABC中，A，BC3，AB，則C等于()A.或B.C.D.答案C解析由，得sin C.BC3，AB，A>C，則C為銳角，故C.3在ABC中，a15，b20，A30，則cosB等于()AB.CD.答案A解析因為，所以，解得sin B. 因為b>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B.4已知ABC中，sinAsinBsinCk(k1)2k，則k的取值范圍是()A(2，) B(，0) C.D.答案D解析由正弦定理得amk，bm(k1)，c2mk(m>0)，即k>.5在ABC中，三邊長分別為a2，a，a2，最大角的正弦值為，則這個三角形的面積為()A.B.C.D.答案B解析三邊不等，最大角大于60.設(shè)最大角為，故所對的邊長為a2，sin ，120.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故a5，故三邊長為3，5，7，SABC35sin 120.6ABC中，若lgalgclgsinBlg且B，則ABC的形狀是()A等邊三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形答案C解析lg alg clg sin Blg ，sin B，sin B.B，B.，sin Csin Asin，cos C0，C(0，)，C.ABC.ABC是等腰直角三角形故選C.7(2017全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C等于()A.B.C.D.答案B解析因為a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin CsinAcos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角，故sin C0，則sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.從而sin Csin A.由A知，C為銳角，故C.故選B.二、填空題8設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，sinB，C，則b_.答案1解析因為sinB且B(0，)，所以B或.又因為C，所以B，ABC.又因為a，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，則ABC的面積為_答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C，由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0，sin A.由余弦定理得cos A0，cos A，bc，SABCbcsin A.10若ABC的面積為(a2c2b2)，且C為鈍角，則B_；的取值范圍是_答案(2，)解析由余弦定理得a2c2b22accos B.S(a2c2b2)，acsin B2accos B，tan B，又B(0，)，B.又C為鈍角，CA，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.的取值范圍是(2，)三、解答題11在ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C，c，求ABC周長的取值范圍解由正弦定理得2，a2sin A，b2sin B，則ABC的周長為Labc2(sin Asin B)2222sin .0<BA<，0<A<，<A<，<sin1，2<2sin2，ABC周長的取值范圍是(2，212在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因為ac，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.13.(2018河北省衡水中學調(diào)研)如圖，在ABC中，B，D為邊BC上的點，E為AD上的點，且AE8，AC4，CED.(1)求CE的長；(2)若CD5，求cosDAB的值解(1)由題意可得AEC，在AEC中，由余弦定理得AC2AE2CE22AECEcosAEC，所以16064CE28CE，整理得CE28CE960，解得CE4.故CE的長為4.(2)在CDE中，由正弦定理得，即，所以5sinCDE4sin 44，所以sinCDE.因為點D在邊BC上，所以CDE>B，而<，所以CDE只能為鈍角，所以cosCDE，所以cosDABcoscosCDEcossinCDEsin.14(2018福建省三明市第一中學月考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2a2bc，A，則角C等于()A.B.或C.D.答案D解析在ABC中，由余弦定理，得cos A，即，b2c2a2bc，又b2a2bc，c2bcbc，c(1)b<b，ab，cos C，C(0，)，C，故選D.15銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，則b2c2的取值范圍是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析因為(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，A，BC，又ABC為銳角三角形，<B<，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24442cos，又<B<，可得b2c2(5,6