高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題對(duì)點(diǎn)練16 空間中的平行與垂直 理

專題對(duì)點(diǎn)練16空間中的平行與垂直1.(2017江蘇無(wú)錫一模,16)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,E是棱AB上一點(diǎn),且OE平面BCC1B1.(1)求證:E是AB的中點(diǎn);(2)若AC1A1B,求證:AC1BC.證明 (1)連接BC1,取AB的中點(diǎn)E.側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,O為AC1的中點(diǎn).E是AB的中點(diǎn),OEBC1.OE平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,OE平面BCC1B1.OE平面BCC1B1,E,E重合,E是AB的中點(diǎn).(2)側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1A1C.AC1A1B,A1CA1B=A1,A1C平面A1BC,A1B平面A1BC,AC1平面A1BC,BC平面A1BC,AC1BC.2.(2017江蘇南京三模,15)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F分別為BC,CD上的點(diǎn),且BD平面AEF.(1)求證:EF平面ABD;(2)若AE平面BCD,BDCD,求證:平面AEF平面ACD.證明 (1)BD平面AEF,BD平面BCD,平面BCD平面AEF=EF,BDEF.又BD平面ABD,EF平面ABD,EF平面ABD.(2)AE平面BCD,CD平面BCD,AECD.由(1)可知BDEF.BDCD,EFCD.又AEEF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,CD平面AEF.又CD平面ACD,平面AEF平面ACD.3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC為等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A,C1C,BC的中點(diǎn),求證:(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.證明 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,不妨設(shè)AB=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).(1)取AB的中點(diǎn)為N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0),DE=NC,DENC.NC平面ABC,DE平面ABC,DE平面ABC.(2)B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0).B1FEF=(-2)2+2(-2)+(-4)(-2)=0,B1FAF=(-2)2+22+(-4)0=0.B1FEF,B1FAF,即B1FEF,B1FAF.又AFEF=F,B1F平面AEF.4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,點(diǎn)E在線段BB1上,且EB1=1,D,F,G分別為CC1,C1B1,C1A1的中點(diǎn).求證:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.證明 (1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BC,BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),C1(0,2,4).設(shè)BA=a,則A(a,0,0),所以BA=(a,0,0),BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2),B1DBA=0,B1DBD=0+4-4=0,即B1DBA,B1DBD.又BABD=B,BA,BD平面ABD,因此B1D平面ABD.(2)由(1)知,E(0,0,3),Ga2,1,4,F(0,1,4),則EG=a2,1,1,EF=(0,1,1),B1DEG=0+2-2=0,B1DEF=0+2-2=0,即B1DEG,B1DEF.又EGEF=E,EG,EF平面EGF,因此B1D平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF平面ABD.5.(2017北京房山一模,理16)如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,BAD=60,將BCD沿對(duì)角線BD折起到BCD的位置,使平面BCD平面ABD,E是BD的中點(diǎn),FA平面ABD,且FA=23,如圖2.(1)求證:FA平面BCD;(2)求平面ABD與平面FBC所成角的余弦值;(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)M,使得CM平面FBC?若存在,求AMAD的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明 BC=CD,E為BD的中點(diǎn),CEBD.又平面BCD平面ABD,且平面BCD平面ABD=BD,CE平面ABD.FA平面ABD,FACE.又CE平面BCD,FA平面BCD,FA平面BCD.(2)解 以DB所在直線為x軸,AE所在直線為y軸,EC所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),A(0,-3,0),D(-1,0,0),F(0,-3,23),C(0,0,3),BF=(-1,-3,23),BC=(-1,0,3).設(shè)平面FBC的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),則mBF=-x-3y+23z=0,mBC=-x+3z=0,取z=1,則m=(3,1,1).平面ABD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),cos<m,n>=mn|m|n|=151=55.則平面ABD與平面FBC所成角的余弦值為55.(3)解 假設(shè)在線段AD上存在M(x,y,z),使得CM平面FBC,設(shè)AM=AD,則(x,y+3,z)=(-1,3,0)=(-,3,0),x=-,y=3(-1),z=0.而CM=(-,3(-1),-3),由mCM,得-3=3(-1)1=-31,無(wú)解.線段AD上不存在點(diǎn)M,使得CM平面FBC.6.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分別是棱AA1,BB1,A1B1的中點(diǎn).(1)求證:CE平面C1E1F;(2)求證:平面C1E1F平面CEF.證明 以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)BC=1,則C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E11,12,2.(1)設(shè)平面C1E1F的法向量為n=(x,y,z).C1E1=1,-12,0,FC1=(-1,0,1),nC1E1=0,nFC1=0,即x-12y=0,-x+z=0.令x=1,得n=(1,2,1).CE=(1,-1,1),nCE=1-2+1=0,CEn.又CE平面C1E1F,CE平面C1E1F.(2)設(shè)平面EFC的法向量為m=(a,b,c),由EF=(0,1,0),FC=(-1,0,-1),mEF=0,mFC=0,即b=0,-a-c=0.令a=-1,得m=(-1,0,1).mn=1(-1)+20+11=-1+1=0,平面C1E1F平面CEF.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041987.(2017安徽安慶二模,理18)在如圖所示的五面體中,四邊形ABCD為直角梯形,BAD=ADC=2,平面ADE平面ABCD,EF=2DC=4AB=4,ADE是邊長(zhǎng)為2的正三角形.(1)證明:BE平面ACF;(2)求二面角A-BC-F的余弦值.(1)證明 取AD的中點(diǎn)O,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,過(guò)O作AB的平行線為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,1,0),E(0,0,3),A(1,0,0),C(-1,2,0),F(0,4,3),BE=(-1,-1,3),AF=(-1,4,3),AC=(-2,2,0),BEAF=1-4+3=0,BEAC=2-2=0,BEAF,BEAC.又AFAC=A,BE平面ACF.(2)解 BC=(-2,1,0),BF=(-1,3,3).設(shè)平面BCF的法向量n=(x,y,z),則nBC=-2x+y=0,nBF=-x+3y+3z=0,取x=1,得n=1,2,-53.易知平面ABC的一個(gè)法向量m=(0,0,1).設(shè)二面角A-BC-F的平面角為,則cos =mn|m|n|=-5311+4+253=-104.二面角A-BC-F的余弦值為-104.導(dǎo)學(xué)號(hào)168041998.(2017北京西城二模,理16)如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EFCD,ADFC.點(diǎn)M在棱FC上,平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N.(1)求證:ADMN;(2)求證:平面ADMN平面CDEF;(3)若CDEA,EF=ED,CD=2EF,平面ADE平面BCF=l,求二面角A-l-B的大小.(1)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以ADBC,所以AD平面FBC.又因?yàn)槠矫鍭DMN平面FBC=MN,所以ADMN.(2)證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以ADCD.因?yàn)锳DFC,所以AD平面CDEF.所以平面ADMN平面CDEF.(3)解 因?yàn)镋ACD,ADCD,所以CD平面ADE,所以CDDE.由(2)得AD平面CDEF,所以ADDE.所以DA,DC,DE兩兩互相垂直.建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.不妨設(shè)EF=ED=1,則CD=2.設(shè)AD=a(a>0),由題意,得A(a,0,0),B(a,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,1).所以CB=(a,0,0),CF=(0,-1,1).設(shè)平面FBC的法向量為n=(x,y,z),則nCB=0,nCF=0,即ax=0,-y+z=0,令z=1,則y=1.所以n=(0,1,1).又平面ADE的一個(gè)法向量為DC=(0,2,0),所以|cos<n,DC>|=|nDC|n|DC|=22.因?yàn)槎娼茿-l-B的平面角是銳角,所以二面角A-l-B的大小是45.我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。