高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22

第一課導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用核心速填1導(dǎo)數(shù)的概念(1)定義：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率 ，稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0)處的切線斜率2幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)若yf(x)c，則f(x)0.(2)若yf(x)x，則f(x)1.(3)若yf(x)x2，則f(x)2x.(4)若yf(x)，則f(x).(5)若yf(x)，則f(x).3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0.(2)若f(x)x(Q*)，則f(x)x1.(3)若f(x)sin x，則f(x)cos_x.(4)若f(x)cos x ，則f(x)sin_x.(5)若f(x)ax，則f(x)axln_a.(6)若f(x)ex，則f(x)ex.(7)若f(x)logax，則f(x).(8)若f(x)ln x，則f(x).4導(dǎo)數(shù)的運算法則(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3).5復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)記法：yf(g(x)(2)中間變量代換：yf(u)，ug(x)(3)逐層求導(dǎo)法則：yxyu·ux.6函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)極大值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)xa時，f(x)0，當(dāng)xa時，f(x)0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值；極小值：在點xa附近，滿足f(a)f(x)，當(dāng)xa時，f(x)0，當(dāng)xa時，f(x)0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值7求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個為最小值8微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)9定積分的性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx；f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)體系構(gòu)建題型探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(2，6)處的切線方程；(2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標(biāo)；(3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點坐標(biāo)與切線的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：31062107】解(1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在點(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13.切線的方程為y13(x2)(6)，即y13x32.(2)法一：設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f(x0)3x1，直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016.又直線l過點(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.整理得，x8，x02.y0(2)3(2)1626.k3×(2)2113.直線l的方程為y13x，切點坐標(biāo)為(2，26)法二：設(shè)直線l的方程為ykx，切點為(x0，y0)，則k，又kf(x0)3x1，3x1.解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3×(2)2113.直線l的方程為y13x，切點坐標(biāo)為(2，26)(3)切線與直線y3垂直，切線的斜率k4.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則f(x0)3x14，x0±1.或即切點為(1，14)或(1，18)切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.規(guī)律方法1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程yy0f(x0)(xx0)，明確“過點P(x0，y0)的曲線yf(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線yf(x)的切線方程”的異同點.2.圍繞著切點有三個等量關(guān)系：切點(x0，y0)，則kf(x0)，y0f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到.跟蹤訓(xùn)練1直線ykxb與曲線yx3ax1相切于點(2,3)，則b_.解析yx3ax1過點(2,3)，a3，y3x23，ky|x23×439，bykx39×215.答案15函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(1)f(x)是定義在(0，)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf(x)f(x)0，對任意正數(shù)a，b，若ab，則必有() 【導(dǎo)學(xué)號：31062108】Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a)(2)設(shè)f(x)aln x，其中a為常數(shù)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性(1)A令F(x)，則F(x).又當(dāng)x0時，xf(x)f(x)0，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)在(0，)上單調(diào)遞減又ab，F(xiàn)(a)F(b)，bf(a)af(b)，故選A.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)f(x).當(dāng)a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，當(dāng)a時，0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)a時，0，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當(dāng)a0時，0.設(shè)x1，x2(x1x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點，則x1，x2，由x10，所以x(0，x1)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，x(x1，x2)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，x(x2，)時，g(x)0，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，綜上可得：當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時，要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f(x)之間的對應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識求解.求解參數(shù)范圍的步驟為：(1)對含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f(x)；(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f(x)0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f(x)0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；(3)驗證參數(shù)范圍中取等號時，是否恒有f(x)0.若f(x)0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值.跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x3ax2(a1)x1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍解函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)x2axa1.令f(x)0，解得x1或xa1.當(dāng)a11，即a2時，函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)，不合題意當(dāng)a11，即a2時，函數(shù)f(x)在(，1)上為增函數(shù)，在(1，a1)上為減函數(shù)，在(a1，)上為增函數(shù)依題意當(dāng)x(1,4)時，f(x)0，當(dāng)x(6，)時，f(x)0.故4a16，即5a7.因此a的取值范圍是5,7函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點P(1,0)且在點P處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值解(1)因為f(x)3x22ax，曲線在P(1,0)處的切線斜率為f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(1,0)點，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.當(dāng)0t2時，在區(qū)間(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2t3時，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.母題探究：(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，若關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個相異的實根，求實數(shù)c的取值范圍解令g(x)f(x)cx33x22c，則g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0；在x(2,3上，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個相異的實根，則解得2c0.規(guī)律方法(1)求極值時一般需確定f(x)0的點和單調(diào)性，對于常見連續(xù)函數(shù)，先確定單調(diào)性即可得極值點，當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時，相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值點.(2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時，對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷，只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得.跟蹤訓(xùn)練3已知a，b為常數(shù)且a0，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函數(shù)f(x)的極大值為2，求a，b間的關(guān)系式；(2)函數(shù)f(x)的極大值為2，且在區(qū)間0,3上的最小值為，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062109】解(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因為a0，所以x1x2.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值所以當(dāng)x1時，f(x)有極大值2，即3a2b3.(2)當(dāng)0a3時，由(1)知，f(x)在0，a)上為減函數(shù)，在(a,3上為增函數(shù)，所以f(a)為最小值，f(a)a3a2b.即a3a2b.又由b，于是有a33a23a260，即(a1)327，所以a2，b.當(dāng)a3時，由(1)知f(x)在0,3上為減函數(shù)，即f(3)為最小值，f(3)，從而求得a，不合題意，舍去綜上，a2，b.生活中的優(yōu)化問題某企業(yè)擬建造如圖1­1所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱體部分每平方米建造費用為3千元，半球體部分每平方米建造費用為4千元設(shè)該容器的總建造費用為y千元圖1­1(1)將y表示成r的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；(2)確定r和l為何值時，該容器的建造費用最小，并求出最小建造費用解由題意可知r2l，l.又圓柱的側(cè)面積為2rl，兩端兩個半球的表面積之和為4r2.所以y×34r2×48r2.又l0r2，所以定義域為(0,2)(2)因為y16r，所以令y0，得2r2；令y0，得0r2.所以當(dāng)r2米時，該容器的建造費用最小，為96千元，此時l米規(guī)律方法解決優(yōu)化問題的步驟(1)要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域.(2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.(3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義.跟蹤訓(xùn)練4現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地，已知輪船的最大航行速度為35海里/小時，A地至B地之間的航行距離約為500海里，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費用為每小時960元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù)；(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？解(1)依題意得y(9600.6x2)300x，函數(shù)的定義域為(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知y300x(0x35)，所以y300.令y0，解得x40或x40(舍去)因為函數(shù)的定義域為(0,35，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值又當(dāng)0x35時，y0，所以y300x在(0,35上單調(diào)遞減，故當(dāng)x35時，函數(shù)y300x取得最小值故為了使全程運輸成本最小，輪船應(yīng)以35海里/小時的速度行駛.函數(shù)方程思想設(shè)函數(shù)f(x)x36x5，xR.(1)求f(x)的極值點；(2)若關(guān)于x的方程f(x)a有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍；(3)已知當(dāng)x(1，)時，f(x)k(x1)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：31062110】解(1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1，x2.當(dāng)x(，)(，)時，f(x)0，當(dāng)x(，) 時，f(x)0，因此x1，x2分別為f(x)的極大值點、極小值點(2)由(1)的分析可知yf(x)圖象的大致形狀及走向如圖所示要使直線ya與yf(x)的圖象有3個不同交點需54f()af()54.則方程f(x)a有3個不同實根時，所求實數(shù)a的取值范圍為(54，54)(3)法一：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，因為x1，所以kx2x5在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范圍是為(，3法二：直線yk(x1)過定點(1,0)且f(1)0，曲線f(x)在點(1,0)處切線斜率f(1)3，由(2)中草圖知要使x(1，)時，f(x)k(x1)恒成立需k3.故實數(shù)k的取值范圍為(，3規(guī)律方法討論方程根的個數(shù)，研究函數(shù)圖象與x軸或某直線的交點個數(shù)、不等式恒成立問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)極(最)值的應(yīng)用.問題破解的方法是根據(jù)題目的要求，借助導(dǎo)數(shù)將函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值列出，然后再借助單調(diào)性和極(最)值情況，畫出函數(shù)圖象的草圖，數(shù)形結(jié)合求解.跟蹤訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)ex，aR，試討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)解函數(shù)f(x)的定義域為x|xa(1)當(dāng)xa時，ex0，xa0，f(x)0，即f(x)在(a，)上無零點(2)當(dāng)xa時，f(x)，令g(x)ex(xa)1，則g(x)ex(xa1)由g(x)0得xa1.當(dāng)xa1時，g(x)0；當(dāng)xa1時，g(x)0，g(x)在(，a1)上單調(diào)遞減，在(a1，)上單調(diào)遞增，g(x)ming(a1)1ea1.當(dāng)a1時，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一零點；當(dāng)a1時，g(a1)1ea10，f(x)沒有零點；當(dāng)a1時，g(a1)1ea10，f(x)有兩個零點我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。