高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 兩角差的余弦公式學(xué)案 新人教A版必修4

3.1.1兩角差的余弦公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程(重點(diǎn))2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟(難點(diǎn))3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號(hào)特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算(重點(diǎn)、易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知兩角差的余弦公式公式cos()cos_cos_sin_sin_適用條件公式中的角，都是任意角公式結(jié)構(gòu)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)cos(6030)cos 60cos 30.()(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，cos()cos cos 都不成立()(3)對(duì)任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立()(4)cos 30cos 120sin 30sin 1200.()解析(1)錯(cuò)誤cos(6030)cos 30cos 60cos 30.(2)錯(cuò)誤當(dāng)45，45時(shí)，cos()cos(4545)cos(90)0，cos cos cos(45)cos 450，此時(shí)cos()cos cos .(3)正確結(jié)論為兩角差的余弦公式(4)正確cos 30cos 120sin 30sin 120cos(12030)cos 900.答案(1)(2)(3)(4)2cos(15)的值是()A.B.C. D.Dcos(15)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.3cos 65cos 20sin 65sin 20_.cos 65cos 20sin 65sin 20cos(6520)cos 45.合 作 探 究攻 重 難給角求值問(wèn)題(1)cos的值為()ABCD(2)求下列各式的值：cos 75cos 15sin 75sin 195；sin 46cos 14sin 44cos 76；cos 15sin 15. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352295】(1)D(1)coscoscoscoscoscossinsin.(2)cos 75cos 15sin 75sin 195cos 75cos 15sin 75sin(18015)cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 60.sin 46cos 14sin 44cos 76sin(9044)cos 14sin 44cos(9014)cos 44cos 14sin 44sin 14cos(4414)cos 30.cos 15sin 15cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.規(guī)律方法1.解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問(wèn)題的一般思路是：(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值2兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：(1)同名函數(shù)相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦(2)把所得的積相加跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos21(24)cos 45.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).給值(式)求值問(wèn)題探究問(wèn)題1若已知和的三角函數(shù)值，如何求cos 的值？提示：cos cos()cos()cos sin()sin .2利用()可得cos 等于什么？提示：cos cos()cos cos()sin sin()(1)已知sin sin 1，cos cos ，則cos()()A BC D(2)已知sin，求cos 的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352296】思路探究(1)先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結(jié)合平方關(guān)系和公式C()求cos()(2)由已知角與所求角的關(guān)系即尋找解題思路(1)D(1)因?yàn)閟in sin 1，所以sin22sin sin sin22，因?yàn)閏os cos ，所以cos22cos cos cos22，兩式相加得12cos()11所以2cos()所以cos().(2)，cos.，cos coscoscossinsin.母題探究：1.將例2(2)的條件改為“sin，且<<”，如何解答？解sin，且<<，<<，cos，cos coscoscos sinsin .2將例2(2)的條件改為“sin，”，求cos的值解，又sin0，0，cos，coscoscoscossin.規(guī)律方法給值求值問(wèn)題的解題策略(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意觀(guān)察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過(guò)程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角.常見(jiàn)角的變換有：()；2()()；2()().給值求角問(wèn)題已知sin()，cos()，0，求角的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352297】思路探究解因?yàn)閟in()，所以sin .因?yàn)?，所以cos .因?yàn)閏os()，且0，所以0，所以sin()，所以cos cos()cos cos()sin sin().因?yàn)?，所以.規(guī)律方法已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案.跟蹤訓(xùn)練2已知，均為銳角，且cos ，cos ，求的值解，均為銳角，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin <sin ，0<<<，<<0，故.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1sin 14cos 16sin 76cos 74() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352298】ABCDBsin 14cos 76，cos 74sin 16原式cos 76cos 16sin 76sin 16cos(7616)cos 60.2若sin sin 1，則cos()的值為()A0B1 C1D1B由sin sin 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.3已知為銳角，為第三象限角，且cos ，sin ，則cos()的值為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352299】A BC DA為銳角，cos ，sin ，為第三象限角，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin .4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.原式cos(35)(25)cos(60)cos 60.5已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352300】解因?yàn)閟in ，180270，所以cos .因?yàn)閟in ，90180，所以cos ，所以cos()cos cos sin sin .6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375