高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用單元測試2 北師大版選修11

6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第四章第四章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 (時間：100 分鐘，滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1使函數(shù)f(x)x 2cos x在0，2上取最大值的x為( ) A0 B.4 C.3 D.2 解析：選 B.f(x)1 2sin x，所以f(x)在0，4上是遞增的，在4，2上是遞減的，所以選 B. 2定義在 R R 上的函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，則關(guān)于x的不等式xf(x)0，又xf(x)0， 所以x(，1) 當x(1，1)時，f(x)0， 又xf(x)0， 所以x(0，1)綜上可知解集為(，1)(0，1)故選 C. 3函數(shù)f(x)xa x在x1，4上是遞減的，則實數(shù)a的最小值為( ) A1 B2 C3 D4 解析：選 D.依題意得，當x1，4時，f(x)1a2x0，即a2x恒成立注意到x1，4時，y2x的最大值是 2 44，因此，實數(shù)a的最小值為 4，選 D. 4已知f(x)x3ax2(a6)x1 有極大值和極小值，則a的取值集合為( ) Aa|1a2 Ba|3a6 Ca|a2 Da|a6 解析：選 D.f(x)3x22ax(a6)， 因為函數(shù)f(x)有極大值和極小值， 所以f(x)0 有兩個不同實根， 即0，(2a)243(a6)0， 解得a6. 5若函數(shù)f(x)12x2mln x在(12，)內(nèi)是遞增的，則實數(shù)m的取值范圍是( ) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 Am14 B0m0 且f(1)0，則f(x)0解集是( ) A(，1) B(0，) C(，1)(0，) D(1，0) 解析：選 C.令F(x)xf(x)，由f(x)xf(x)0 知F(x)0，F(xiàn)(x)在 R R 上是遞增的，又f(1)0，所以F(1)0，當x(，1)時，F(xiàn)(x)xf(x)0； 當x(1，)時，F(xiàn)(x)xf(x)0，若x(1，0時，f(x)0，若x(0，)時f(x)0. 故f(x)0 的解集為(，1)(0，) 8已知函數(shù)g(x)ax3bx2cx(aR R 且a0)，g(1)0，且g(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)0.若方程f(x)0 有兩個實根，則ba的取值范圍為( ) A23，2 B23，1 C23，1 D23，3 解析：選 C.因為g(x)ax3bx2cx， 所以g(1)abc0，即cba. 又f(x)g(x)3ax22bxc， 由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0， 所以(ba)(3b2a)0. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 因為a0，所以(ba1)(3ba2)0， 解得23ba1. 又 3ax22bxc0(a0)的根的判別式(2b)243ac4b212a(ba)4(b32a)23a20，滿足題意，所以ba的取值范圍是23，1 9已知 e 為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，則( ) A當k1 時，f(x)在x1 處取到極小值 B當k1 時，f(x)在x1 處取到極大值 C當k2 時，f(x)在x1 處取到極小值 D當k2 時，f(x)在x1 處取到極大值 解析： 選 C.當k1 時，f(x)(ex1)(x1)， 則f(x)ex(x1)(ex1)exx1，所以f(1)e10，所以f(1)不是極值 當k2 時，f(x)(ex1)(x1)2， 則f(x)ex(x1)22(ex1)(x1)ex(x21)2(x1)(x1)ex(x1)2， 所以f(1)0，且當x1 時，f(x)0；在x1 附近的左側(cè)，f(x)1 時，g(x)0，g(x)是遞增的， 當x1 時，g(x)0，g(x)是遞減的，且x趨于，g(x)趨于 0. g(x)最小g(1)1e，g(0)0，所以f(x)y|xex|的圖像如圖， 由題意知，f(x)有兩個不等正值使方程成立設(shè)為a，b(a1e. 由根與系數(shù)的關(guān)系t240tab01ab， 所以taba1a在(0，1e)是遞減的，a1ae1e，故t(e1e)，即t的取值范圍為(，e21e)所以選 D. 二、填空題(本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在題中的橫線上) 11一個邊長為 12 cm 的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長都為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒，要使方盒的容積最大，x的值應(yīng)為_ 解析：V4x(6x)24(x312x236x)(0 x0)，令f(x)0 得，0 xe12. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 所以f(x)的遞減區(qū)間是(0，e12) 答案：(0，e12)(寫成(0，e12也正確) 13 已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(1， 1)上的奇函數(shù)， 且對于x(1， 1)恒有f(x)0成立，若f(2a22)f(a22a1)0，則實數(shù)a的取值范圍是_ 解析：因為當x(1，1)時，f(x)0， 所以f(x)在(1，1)上是減少的 由題意，得f(2a22)f(a22a1) 又f(x)為奇函數(shù)， 所以f(2a22)f(a22a1)， 即12a221，1a22a1a22a1.所以1a22. 答案：(1，22) 14若函數(shù)f(x)x3x2ax4 在區(qū)間1，1上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為_ 解析：f(x)3x22xa，由題意知f(x)在1，1內(nèi)有一個變號零點，有三種情況： (1)若f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，所以 1a0，即1a0，5a0所以a1. (3)若f（1）0，f（1）0即1a0，5a0無解， 故a的取值范圍是1，5) 答案：1，5) 15已知函數(shù)f(x)13x3x23x43，直線l：9x2yc0，若當x2，2時，函數(shù)yf(x)的圖像恒在直線l的下方，則c的取值范圍是_ 解析：由題意知h(x)f(x)9xc20，h(x)在2，2上是遞增的，h(x)最大h(2)3c20， 所以c0，f(x)是遞增的， 當x(3，1)時，f(x)0，f(x)是遞增的， 所以極大值為f(3)6e3，極小值為f(1)2e. 17(本小題滿分 10 分)已知函數(shù)f(x)x32x24x5. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求f(x)在3，1上的最大值和最小值 解：(1)f(x)x32x24x5， 所以f(x)3x24x4， 令f(x)0，則x23，令f(x)0，則2x23， 所以遞增區(qū)間為(，2)，(23，)，遞減區(qū)間為(2，23) (2)令f(x)0，得x2 或x23， x 3，2) 2 (2，23) 23 (23，1 f(x) 0 0 f(x) 13 9527 所以x2 為極大值點，x23為極小值點， 又f(3)8，f(2)13，f(23)9527，f(1)4， 所以yf(x)在3，1上的最大值為 13，最小值為9527. 18 (本小題滿分 10 分)已知函數(shù)f(x)x1ln x對任意x(0， )，f(x)2bx恒成立，求實數(shù)b的取值范圍 解：依題意對任意x(0，)，f(x)2bx恒成立 等價于x1ln x2bx在(0，)上恒成立 可得b11xln xx在(0，)上恒成立， 令g(x)11xln xx， g(x)ln x2x2， 令g(x)0，得xe2. 列表如下： x (0，e2) e2 (e2，) g(x) 0 g(x) 11e2 所以函數(shù)yg(x)的最小值為g(e2)11e2， 根據(jù)題意b的取值范圍為b|b11e2 19(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)x3ax24x3(xR R) (1)當a2 時，求f(x)在點(1，f(1)處的切線方程； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解：(1)當a2 時，由f(x)x32x24x3 知f(x)3x24x4，f(1)3， 又f(1)2，故所求切線方程為y23(x1)，即 3xy10. (2)由f(x)x3ax24x3 知f(x)3x22ax4， 因為f(x)在區(qū)間(1，2)上是遞減的，所以f(x)0 在(1，2)上恒成立， 即 3x22ax40a2x32x， 設(shè)h(x)2x32x，x(1，2)， 所以ah(x)minh(2)2， 故實數(shù)a的取值范圍為(，2 20(本小題滿分 13 分)如圖，在半徑為 10 3 cm 的半圓形(O為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點A、B在直徑上，點C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗)，記圓柱形罐子的體積為V(cm3) (1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)ADx cm，將V表示為x的函數(shù)； 設(shè)AOD(rad)，將V表示為的函數(shù)； (2)請您用(1)問中的一個函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積 解：(1)AB2（10 3）2x22r，r300 x2， Vf(x)(300 x2)2x1(x3300 x)，0 x10 3. AD10 3sin ，AB20 3cos 2r，r10 3cos ， Vg()(10 3cos )210 3sin 3 000 3sin cos2，02. (2)選用f(x)：f(x)3(x2100) 3(x10)(x10)，0 x10 3， 令f(x)0，則x10. 列表得： x (0，10) 10 (10，10 3) f(x) 0 f(x) 極大值 所以f(x)maxf(10)2 000； 選用g()：令tsin ，02，0t1，h(t)3 000 3t(1t2)， 所以h(t)3 000 3(3t21)9 000 3(t33)(t33)， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 令h(t)0，則t33. 列表得： t (0，33) 33 (33，1) h(t) 0 h(t) 極大值 所以h(t)maxh(33)2 000，即g()max2 000. 即圓柱形罐子的最大體積為2 000.