大學(xué)物理試題庫(kù)及答案詳解考試必備[213頁(yè)]

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 -1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t 質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v ,速率為v,t 至(t t)時(shí)間內(nèi)的位移為r, 路程為s, 位矢大小的變化量為r ( 或稱r),平均速度為,平均速率為(1) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) r= s = r(B) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= ds dr(C) r r s,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr ds(D) r s r,當(dāng)t0 時(shí)有dr= dr = ds(2) 根據(jù)上述情況,則必有()(A) = ,= (B) , (C) = , (D) ,= 分析與解(1) 質(zhì)點(diǎn)在t 至(t t)時(shí)間內(nèi)沿曲線從P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示, 其中路程s PP, 位移大小rPP,而r r-r表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)但當(dāng)t0 時(shí),點(diǎn)P無限趨近P點(diǎn),則有drds,但卻不等于dr故選(B)(2) 由于r s,故,即但由于drds,故,即由此可見,應(yīng)選(C)1 -2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r(x,y)的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即(1)；(2)；(3)；(4)下述判斷正確的是()(A) 只有(1)(2)正確 (B) 只有(2)正確(C) 只有(2)(3)正確 (D) 只有(3)(4)正確分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解故選(D)1 -3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r 表示位置矢量, v表示速度,a表示加速度,s 表示路程, a表示切向加速度對(duì)下列表達(dá)式,即(1)d v /dt a；(2)dr/dt v；(3)ds/dt v；(4)d v /dta下述判斷正確的是()(A) 只有(1)、(4)是對(duì)的 (B) 只有(2)、(4)是對(duì)的(C) 只有(2)是對(duì)的 (D) 只有(3)是對(duì)的分析與解表示切向加速度a,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr(如題1 -2 所述)；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度a因此只有(3) 式表達(dá)是正確的故選(D)1 -4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有()(A) 切向加速度一定改變,法向加速度也改變(B) 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變(C) 切向加速度可能不變,法向加速度不變(D) 切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量a起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的至于a是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), a為一不為零的恒量,當(dāng)a改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)由此可見,應(yīng)選(B) *1 -5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)設(shè)該人以勻速率v0 收繩,繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作()(A) 勻加速運(yùn)動(dòng), (B) 勻減速運(yùn)動(dòng), (C) 變加速運(yùn)動(dòng),(D) 變減速運(yùn)動(dòng), (E) 勻速直線運(yùn)動(dòng),分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t 時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為,其中繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間t 而變化小船速度,式中表示繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x 軸負(fù)向由速度表達(dá)式,可判斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)故選(C)討論有人會(huì)將繩子速率v0按x、y 兩個(gè)方向分解,則小船速度,這樣做對(duì)嗎？1 -6已知質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為,式中x 的單位為m,t 的單位為 s求：(1) 質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0 s內(nèi)的位移的大?。?2) 質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過的路程；(3) t4 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)的位移x 的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了為此,需根據(jù)來確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp ,求出0tp 和tpt 內(nèi)的位移大小x1 、x2 ,則t 時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t 4.0 s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算解(1) 質(zhì)點(diǎn)在4.0 s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為 (t0不合題意)則所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0 s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 (3) t4.0 s時(shí)1 -7一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸方向作直線運(yùn)動(dòng),其速度與時(shí)間的關(guān)系如圖(a)所示設(shè)t0 時(shí),x0試根據(jù)已知的v-t 圖,畫出a-t 圖以及x -t 圖分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中v-t曲線的斜率為加速度的大小(圖中AB、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC 的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng))加速度為恒量,在a-t 圖上是平行于t 軸的直線,由v-t 圖中求出各段的斜率,即可作出a-t 圖線又由速度的定義可知,x-t 曲線的斜率為速度的大小因此,勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x -t 圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的xt 圖為t 的二次曲線根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程xx(t),求出不同時(shí)刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出x-t 圖解將曲線分為AB、BC、CD 三個(gè)過程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為 (勻加速直線運(yùn)動(dòng)) (勻速直線運(yùn)動(dòng)) (勻減速直線運(yùn)動(dòng))根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t 圖圖(B)在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有由此,可計(jì)算在02和46時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作02和46時(shí)間內(nèi)的x -t 圖在24時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)是作的勻速直線運(yùn)動(dòng), 其x -t 圖是斜率k20的一段直線圖(c)1 -8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,式中r 的單位為m,t 的單位為求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2) t 0 及t 2時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；(3) 由t 0 到t 2內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移r 和徑向增量r； *(4) 2 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到對(duì)于r、r、r、s 來說,物理含義不同,可根據(jù)其定義計(jì)算其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求解(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示(2) 將t 0和t 2分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點(diǎn),即為t 0和t 2時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置(3) 由位移表達(dá)式,得其中位移大小而徑向增量*(4) 如圖(B)所示,所求s 即為圖中PQ段長(zhǎng)度,先在其間任意處取AB 微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2內(nèi)路程為1 -9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中x,y 的單位為m,t 的單位為試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為當(dāng)t 0 時(shí), vox -10 m-1 , voy 15 m-1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為,則12341(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設(shè)a 與x 軸的夾角為,則-3341(或32619)1 -10一升降機(jī)以加速度1.22 m-2上升,當(dāng)上升速度為2.44 m-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74 m計(jì)算：(1)螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；(2)螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 y1(t)和y2 y2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程解1(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 y2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小ag a,螺絲落至底面時(shí),有(2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為則 1 -11一質(zhì)點(diǎn)P 沿半徑R 3.0 m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0,設(shè)t 0 時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于O 點(diǎn)按(a)圖中所示Oxy 坐標(biāo)系,求(1) 質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢；(2)5時(shí)的速度和加速度分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r r(t)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的Oxy坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程xx(t)和yy(t)來表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x x0 x和y y0 y,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標(biāo)系中,即得Oxy 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度解(1) 如圖(B)所示,在Oxy坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P 的參數(shù)方程為,坐標(biāo)變換后,在Oxy 坐標(biāo)系中有,則質(zhì)點(diǎn)P 的位矢方程為(2) 5時(shí)的速度和加速度分別為 1 -12地面上垂直豎立一高20.0 m 的旗桿,已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方,求在下午200 時(shí),桿頂在地面上的影子的速度的大小在何時(shí)刻桿影伸展至20.0 m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得解設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為shtgt,下午200 時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s h,則即為下午300 時(shí)1 -13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a4 -t2 ,式中a的單位為m-2 ,t的單位為如果當(dāng)t 3時(shí),x9 m,v 2 m-1 ,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決由和可得和如aa(t)或v v(t),則可兩邊直接積分如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分解由分析知,應(yīng)有得 (1)由 得 (2)將t3時(shí),x9 m,v2 m-1代入(1) (2)得v0-1 m-1,x00.75 m于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1 -14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測(cè)得其加速度aA -Bv,式中A、B 為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當(dāng),t時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1 -15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a 6i 4j,式中a的單位為m-2 在t0時(shí),其速度為零,位置矢量r0 10 mi求：(1) 在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；(2) 質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax 和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)讀者不妨自己驗(yàn)證一下解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 0時(shí)v0 0,積分可得又由及初始條件t0 時(shí),r0(10 m)i,積分可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x 103t2y 2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y 2x -20 m這是一個(gè)直線方程直線斜率,3341軌跡如圖所示1 -16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R 的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)由位置A 運(yùn)動(dòng)到位置B,OA 和OB 所對(duì)的圓心角為(1) 試證位置A 和B 之間的平均加速度為；(2) 當(dāng)分別等于90、30、10和1時(shí),平均加速度各為多少？ 并對(duì)結(jié)果加以討論分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為, ,式中v可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而t 可由轉(zhuǎn)過的角度 求出由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在t0 時(shí)的極限值解(1) 由圖(b)可看到v v2 -v1 ,故而所以 (2) 將90,30,10,1分別代入上式,得,以上結(jié)果表明,當(dāng)0 時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度1 -17質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r2.0ti (19.0 -2.0t2 )j,式中r 的單位為m,t的單位為s求：(1)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；(2) 在t11.0s 到t2 2.0s 時(shí)間內(nèi)的平均速度；(3) t1 1.0時(shí)的速度及切向和法向加速度；(4) t 1.0s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式x x(t)和y y(t),從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率,即,它與時(shí)間間隔t 的大小有關(guān),當(dāng)t0 時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量a 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a 和a 得到在求得t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求解(1) 由參數(shù)方程x 2.0t,y 19.0-2.0t2消去t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y 19.0 -0.50x2 (2) 在t1 1.00 到t2 2.0時(shí)間內(nèi)的平均速度(3) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為則t1 1.00時(shí)的速度v(t)t 12.0i -4.0j切向和法向加速度分別為(4) t 1.0質(zhì)點(diǎn)的速度大小為則1 -18飛機(jī)以100 m-1 的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100 m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：(1) 此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？ (2) 投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？(3) 物品投出2.0后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角或由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得解(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x vt,y 1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v100 ms-1 ,飛機(jī)離地面的高度y100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為1 -19如圖(a)所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O 處,已知斜坡傾角為,炮身與斜坡的夾角為,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力求：(1)炮彈落地點(diǎn)P 與點(diǎn)O 的距離OP；(2) 欲使炮彈能垂直擊中坡面證明和必須滿足并與v0 無關(guān)分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問,如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來并不容易現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x 和y 兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cos和v0sin,其加速度分別為gsin和gcos在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y 0,則x OP如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx 0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解由于本題中加速度g 為恒矢量故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖如圖(B)所示,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)(1)解1由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)令y 0 求得時(shí)間t 后再代入式(1)得解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y 0 和vx 0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知只要角和滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無關(guān)討論如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下1 -20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,(1) 當(dāng)傘繞傘柄以勻角速旋轉(zhuǎn)時(shí),求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；(2) 讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮解(1) 如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(0 45)其上有大量小孔噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0 從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上則以角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題1 -21一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0 m 處以20.0 m-1 的初速率罰任意球,已知球門高為3.44 m若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？ (足球可視為質(zhì)點(diǎn)) 分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到由于水平距離x 已知,球門高度又限定了在y 方向的范圍,故只需將x、y 值代入即可求出解取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程,消去t 得軌跡方程以x 25.0 m,v 20.0 m-1 及3.44 my0 代入后,可解得71111 699227922 1889如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角(如圖所示)如果以7111或 18.89踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制, 角也并非能取71.11與18.89之間的任何值當(dāng)傾角取值為27.92 6992時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果1 -22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0 、b 都是常量(1) 求t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；(2) t 為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當(dāng)加速度達(dá)到b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)由給定的運(yùn)動(dòng)方程s s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量sst -s0因圓周長(zhǎng)為2R,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1 -23一半徑為0.50 m 的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),其角速度與時(shí)間的平方成正比在t2.0 時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0 m-1求：(1) 該輪在t0.5的角速度,輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；(2)該點(diǎn)在2.0內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系kt2依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,(t)確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移解因R v,由題意t2 得比例系數(shù)所以 則t0.5 時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度1 -24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10 m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為,式中 的單位為rad,t 的單位為(1) 求在t 2.0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度(2) 當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí), 值為多少？(3) t 為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到解(1) 由于,則角速度在t 2 時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為(2) 當(dāng)時(shí),有,即得 此時(shí)刻的角位置為(3) 要使,則有t 0.551 -25一無風(fēng)的下雨天,一列火車以v120.0 m-1 的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降求雨滴下落的速度v2 (設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng))分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系,火車為動(dòng)參考系v1 為相對(duì) 的速度,v2 為雨滴相對(duì)的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解解以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得1 -26如圖(a)所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速率為v1 ,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前 角,速率為v2,若車后有一長(zhǎng)方形物體,問車速v1為多大時(shí),此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系,汽車為動(dòng)參考系如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2的方向)應(yīng)滿足再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1解由圖(b),有而要使,則1 -27一人能在靜水中以1.10 m-1 的速度劃船前進(jìn)今欲橫渡一寬為1.00 103 m、水流速度為0.55 m-1 的大河(1) 他若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn),那么應(yīng)如何確定劃行方向？ 到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？ (2)如果希望用最短的時(shí)間過河,應(yīng)如何確定劃行方向？ 船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？分析船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度v 決定的由于水流速度u的存在, v與船在靜水中劃行的速度v之間有vu v(如圖所示)若要使船到達(dá)正對(duì)岸,則必須使v沿正對(duì)岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時(shí)間過河,則必須使v 有極大值解(1) 由vu v可知,則船到達(dá)正對(duì)岸所需時(shí)間為(2) 由于,在劃速v一定的條件下,只有當(dāng)0 時(shí), v 最大(即vv),此時(shí),船過河時(shí)間td /v,船到達(dá)距正對(duì)岸為l 的下游處,且有1 -28 一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)觀察者O 運(yùn)動(dòng), 在任意時(shí)刻t , 其位置為x vt , ygt2 /2,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線若另一觀察者O以速率v 沿x 軸正向相對(duì)于O 運(yùn)動(dòng)試問質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O的軌跡和加速度如何？分析該問題涉及到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性如何將已知質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于觀察者O 的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到相對(duì)于觀察者O的運(yùn)動(dòng)中去,其實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系O 中一動(dòng)點(diǎn)(x,y)變換至系O中的點(diǎn)(x,y)由于觀察者O相對(duì)于觀察者O 作勻速運(yùn)動(dòng),因此,該坐標(biāo)變換是線性的解取Oxy 和Oxy分別為觀察者O 和觀察者O所在的坐標(biāo)系,且使Ox 和Ox兩軸平行在t 0 時(shí),兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合由坐標(biāo)變換得xx - v t v t - v t 0yy 1/2 gt2加速度 由此可見,動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于系O是在y 方向作勻變速直線運(yùn)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果第二章牛頓定律2 -1如圖(a)所示,質(zhì)量為m 的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí),它的加速度的大小為()(A) gsin (B) gcos (C) gtan (D) gcot 分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力F (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot ,故選(D)求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征 2 -2用水平力FN把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止當(dāng)FN逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力Ff的大小()(A) 不為零,但保持不變(B) 隨FN成正比地增大(C) 開始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(D) 無法確定分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值FN范圍內(nèi)取值當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)2 -3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()(A) 不得小于(B) 必須等于(C) 不得大于 (D) 還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m 決定分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為FN由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為vRg因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑應(yīng)選(C)2 -4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則()(A) 它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(B) 它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C) 它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(D) 它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)重力的切向分量(m gcos ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨 角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B)2 -5圖(a)示系統(tǒng)置于以a 1/4 g 的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B 兩物體質(zhì)量相同均為m,A 所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力,則繩中張力為()(A) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2mg分析與解本題可考慮對(duì)A、B 兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解此時(shí)A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a為A、B 兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma為慣性力對(duì)A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得F 5/8 mg故選(A)討論對(duì)于習(xí)題2 -5 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對(duì)地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同其中aA 應(yīng)斜向上對(duì)aA 、aB 、a 和a之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁有興趣的讀者不妨自己嘗試一下2 -6圖示一斜面,傾角為,底邊AB 長(zhǎng)為l 2.1 m,質(zhì)量為m 的物體從題2 -6 圖斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為0.14試問,當(dāng)為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？ 其數(shù)值為多少？分析動(dòng)力學(xué)問題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)情況；(2) 已知物體的運(yùn)動(dòng)情況來分析其所受的力當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問題并無截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來本題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t),然后運(yùn)用對(duì)t 求極值的方法即可得出數(shù)值來解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O 位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有則 (2)為使下滑的時(shí)間最短,可令,由式(2)有則可得 ,此時(shí) 2 -7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空甲塊質(zhì)量為m1 2.00 102 kg,乙塊質(zhì)量為m2 1.00 102 kg設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力：(1) 兩物塊以10.0 m-2 的加速度上升；(2) 兩物塊以1.0 m-2 的加速度上升從本題的結(jié)果,你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體處理動(dòng)力學(xué)問題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力解按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為Oy 軸正方向(如圖所示)當(dāng)框架以加速度a 上升時(shí),有F -(m1 m2 )g (m1 m2 )a (1)FN2 - m2 g m2 a (2)解上述方程,得F (m1 m2 )(g a) (3)FN2 m2 (g a) (4)(1) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 10 m-2 上升時(shí),由式(3)可得繩所受張力的值為F 5.94 103 N乙對(duì)甲的作用力為FN2 -FN2 -m2 (g a) -1.98 103 N(2) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a 1 m-2 上升時(shí),得繩張力的值為F 3.24 103 N此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為FN2 -1.08 103 N由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全2 -8如圖(a)所示,已知兩物體A、B 的質(zhì)量均為m 3.0kg 物體A 以加速度a 1.0 m-2 運(yùn)動(dòng),求物體B 與桌面間的摩擦力(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì))分析該題為連接體問題,同樣可用隔離體法求解分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立同時(shí)也要注意到張力方向是不同的解分別對(duì)物體和滑輪作受力分析圖(b)由牛頓定律分別對(duì)物體A、B 及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有mA g -F mA a (1)F1 -F mB a (2)F -2F1 0 (3)考慮到mA mB m, F F , F1 F1 ,a2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力討論動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：(1) 分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3) 解方程組,得出文字結(jié)果；(4) 核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來2 -9質(zhì)量為m的長(zhǎng)平板A 以速度v在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為m 的木塊B 輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板上,板與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為,求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊B 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A 上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度換以平板為參考系來分析,此時(shí),木塊以初速度-v(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來解將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出解1以地面為參考系,在摩擦力F mg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程F mg ma1F -F ma2a1 和a2 分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a a1 a2 ,木塊相對(duì)平板以初速度- v作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有- v2 2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為W F (s l) -Fl mgs式中l(wèi) 為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有mv(mm) v由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得2 -10如圖(a)所示,在一只半徑為R 的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m 的小鋼球,當(dāng)小球以角速度在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN 的分力來提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨而變的取圖示Oxy 坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度解取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨的變化而變化2 -11火車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高),這個(gè)向心力只能由外軌提供,也就是說外軌會(huì)受到車輪對(duì)它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險(xiǎn)的因此,對(duì)應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑,必須使外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌,稱為外軌超高現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的火車,以速率v 沿半徑為R 的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎,已知路面傾角為,試求：(1) 在此條件下,火車速率v0 為多大時(shí),才能使車輪對(duì)鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？ (2) 如果火車的速率vv0 ,則車輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？分析如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsin 提供(式中 角為路面傾角)從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓與其對(duì)應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必須以規(guī)定的速率v0行駛當(dāng)火車行駛速率vv0 時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如vv0 時(shí),外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補(bǔ)償原向心力的不足,如vv0時(shí),則內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無論哪種情況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全解(1) 以火車為研究對(duì)象,建立如圖所示坐標(biāo)系據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為(2) 當(dāng)vv0 時(shí),根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)vv0 時(shí),根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為2 -12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v 作勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng),每繞一周上升距離為h,如圖所示求壁對(duì)演員和摩托車的作用力分析雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面把演員的運(yùn)動(dòng)速度分解為圖示的v1 和v2 兩個(gè)分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動(dòng)的分速度,其中向心力由筒壁對(duì)演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡如圖(c)所示,其中角為摩托車與筒壁所夾角運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對(duì)象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對(duì)雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角為討論表演飛車走壁時(shí),演員必須控制好運(yùn)動(dòng)速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個(gè)力學(xué)規(guī)律2 -13一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),其受力如圖所示,設(shè)t 0 時(shí),v05m-1 ,x02 m,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m 1kg,試求該質(zhì)點(diǎn)7末的速度和位置坐標(biāo)分析首先應(yīng)由題圖求得兩個(gè)時(shí)間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問,積分時(shí)應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時(shí)間段相應(yīng)的時(shí)刻相對(duì)應(yīng) 解由題圖得由牛頓定律可得兩時(shí)間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為對(duì)0 t 5 時(shí)間段,由得積分后得 再由得積分后得將t 5 代入,得v530 m-1 和x5 68.7 m對(duì)5t 7 時(shí)間段,用同樣方法有得 再由 得x 17.5t2 -0.83t3 -82.5t 147.87將t 7代入分別得v740 m-1 和x7 142 m2 -14一質(zhì)量為10 kg 的質(zhì)點(diǎn)在力F 的作用下沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng),已知F 120t 40,式中F 的單位為N,t 的單位的在t 0 時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于x 5.0 m處,其速度v06.0 m-1 求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置分析這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問題由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度adv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v (t)；由速度的定義vdx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置解因加速度adv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0 0 時(shí)v0 6.0 m-1 ,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得v6.0+4.0t+6.0t2 又因vdx /dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0 0 時(shí)x0 5.0 m,對(duì)上式分離變量后積分,有x 5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t32 -15輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0 103 kg飛機(jī)以55.0 m-1 的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)5.0 102 N-1 ,空氣對(duì)飛機(jī)升力不計(jì),求：(1) 10后飛機(jī)的速率；(2) 飛機(jī)著陸后10內(nèi)滑行的距離分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)其水平方向所受制動(dòng)力F 為變力,且是時(shí)間的函數(shù)在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解解以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件,有得 因此,飛機(jī)著陸10后的速率為v 30 m-1又 故飛機(jī)著陸后10內(nèi)所滑行的距離2 -16質(zhì)量為m 的跳水運(yùn)動(dòng)員,從10.0 m 高臺(tái)上由靜止跳下落入水中高臺(tái)距水面距離為h把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),并略去空氣阻力運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉,水對(duì)其阻力為bv2 ,其中b 為一常量若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Oy 軸,求：(1) 運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y 的函數(shù)關(guān)系；(2) 如b /m 0.40m -1 ,跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0 的1 /10？ (假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等)分析該題可以分為兩個(gè)過程,入水前是自由落體運(yùn)動(dòng),入水后,物體受重力P、浮力F 和水的阻力F的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動(dòng)雖然物體的受力分析比較簡(jiǎn)單,但是,由于變力是速度的函數(shù)(在有些問題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)),對(duì)這類問題列出動(dòng)力學(xué)方程并不復(fù)雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的位置和速度就比較困難了通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程這也成了解題過程中的難點(diǎn)在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定解(1) 運(yùn)動(dòng)員入水前可視為自由落體運(yùn)動(dòng),故入水時(shí)的速度為運(yùn)動(dòng)員入水后,由牛頓定律得P -