九年級數(shù)學(xué) 第12講 幾何問題探究-其它類型問題教案.doc

幾何問題探究其它類型問題知識點(diǎn)相似三角形的性質(zhì)與判定；相似三角形的綜合；三角函數(shù)；教學(xué)目標(biāo)熟練掌握圖形相似的證明方法；教學(xué)重點(diǎn)能夠靈活的運(yùn)用圖形的性質(zhì)去證明與三角函數(shù)、角等相關(guān)問題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用相似、旋轉(zhuǎn)、全等證明方法探究與三角函數(shù)、角等相關(guān)問題；教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入幾何在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，在全國各地的中考?shù)學(xué)試卷中圖形與幾何的探究問題占到20%到30%的比重。主要考查了圖形的一些基本性質(zhì)，借助圖形的變換（平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、相似變換）進(jìn)行線段和角的一些相關(guān)問題的探討，主要考查了學(xué)生的觀察能力、空間想象能力、動手操作能力以及所學(xué)幾何基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用能力。解決幾何綜合問題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識積累的基礎(chǔ)上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線，在遇到特定條件時能夠及時聯(lián)想到對應(yīng)的模型，找到“新”問題與“舊“模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步探究綜合問題。注重對基本模型及輔助線的積累是非常必要的。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)相似三角形的概念及性質(zhì)1. 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例注： 對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊 順序性：相似三角形的相似比是有順序的 兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣 全等三角形是相似比為1的相似三角形二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例2. 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計(jì)算周長、邊長等三、知識講解考點(diǎn)1 兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系在數(shù)量關(guān)系的猜想中，證明兩條線段相等的情況較多，有時也出現(xiàn)證明兩條線段的倍數(shù)關(guān)系，如AB=2CD或AB=CD等。在證明兩條線短相等的過程中，可以根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)證明兩條線段相等，也可以證明兩個三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明兩條線段相等。證明兩條線段的倍分關(guān)系時，利用構(gòu)造基本圖形模型證明，具體情況如下：1.利用三角形的中位線或直角三角形證明a=b；2.利用等腰三角形證明a=b；3.利用含30角的直角三角形證明a=b等；考點(diǎn)2 兩條線段之間的位置關(guān)系 在位置關(guān)系猜想中，兩條線段是垂直關(guān)系還是平行關(guān)系一目了然，關(guān)鍵是如何證明，方法如下：1.在證明垂直關(guān)系時，由垂直定義，即兩條線段相交，所夾的角是90，一般利用直角三角形的兩個銳角互余的角度進(jìn)行證明；2.在證明兩條線段平行時，大多是根據(jù)平行線的判定方法進(jìn)行證明即可；總之證明位置關(guān)系，需要根據(jù)圖形的性質(zhì)，利用三角形全等進(jìn)行證明，有時利用相似。在解答時，根據(jù)具體的題目條件，分解出基本圖形，靈活掌握并選擇方法證明?？键c(diǎn)3 相似三角形的判定定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似考點(diǎn)4 銳角三角函數(shù)的定義、表達(dá)式及關(guān)系四、例題精析例1 如圖1，ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF=FE；（1）圖1中是否存在與BDE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）求證BE=EC；（3）若將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”和“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF=FE”分別改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”和“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)，且DF=kFE”，其他條件不變（如圖2）；當(dāng)AB=1，ABC=a時，求BE的長（用含k、a的式子表示）；例2已知：如圖1所示，RtABC與RtADE中，ACB=AED=90，AC=k BC，AE=k DE，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，探索COE、ADE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論。說明：如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選?。?）和（2）中的條件，選（1）中的條件完成解答滿分為7分；選（2）中的條件完成解答滿分為4分。（1） 點(diǎn)E在CA延長線上（圖2）；（2） K=1，點(diǎn)E在CA延長線上（圖3）；例3如圖1，ABC為等腰直角三角形，ACB=90，F(xiàn)是AC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD（1）猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；將圖1中的正方形CDEF，繞著點(diǎn)C按順時針（或逆時針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、圖3的情形圖2中BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，請你判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)O，連接BD、AF，求BD2+AF2的值例4在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，將COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到C1OD1，旋轉(zhuǎn)角為（090），連接AC1、BD1，AC1與BD1交于點(diǎn)P；（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形；求證AOC1BOD1；請直接寫出AC1 與BD1的位置關(guān)系；（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，設(shè)AC1=k BD1；判斷AC1與BD1的位置關(guān)系，說明理由，并求出k的值；（3） 如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形，AC=5，BD=10，連接DD1，設(shè)AC1=kBD1；請直接寫出k的值和AC12+（kDD1）2的值；課程小結(jié)本節(jié)課主要針對與三角函數(shù)相關(guān)問題、與角相關(guān)等幾何問題進(jìn)行了探究。若遇到與三角函數(shù)相關(guān)問題時，只需將所研究的角放入直角三角形中，由已知角確定相應(yīng)的三角函數(shù)表示；若遇到與角相關(guān)問題時，只需通過全等變換或是相似變換得出角的結(jié)論，有時也需注意題干中所給的信息。幾何問題的探究是一個長期積累的過程，注重幾何知識的綜合運(yùn)用，積累基本型是重中之重。例1【規(guī)范解答】（1）DCA=BDE；證明：AB=AC，DC=DE，ABC=ACB，DEC=DCE，BDE=DECDBC=DCEACB=DCA（2）過點(diǎn)E作EGAC，交AB于點(diǎn)G，如圖1，則有DAC=DGE，在DCA和EDG中，DCAEDG（AAS）DA=EG，CA=DG，DG=AB，DA=BGAFEG，DF=EF，DA=AG，AG=BG，EGAC，BE=EC.（3）過點(diǎn)E作EGAC，交AB的延長線于點(diǎn)G，如圖2，AB=AC，DC=DE，ABC=ACB，DEC=DCE，BDE=DBCDEC=ACBDCE=DCAACEG，DAC=DGE，在DCA和EDG中，DCAEDG（AAS）DA=EG，CA=DG，DG=AB=1，AFEG，ADFGDE，DF=kFE，DE=EFDF=（1k）EF，AD=，GE=AD=過點(diǎn)A作AHBC，垂足為H，如圖2，AB=AC，AHBC，BH=CH，BC=2BH，AB=1，ABC=，BH=ABcosABH=cosBC=2cos，ACEG，ABCGBE，BE=，BE的長為【總結(jié)與反思】（1）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題；（2）過點(diǎn)E作EGAC，交AB于點(diǎn)G，如圖1，要證BE=CE，只需證BG=AG，由DF=FE可證到DA=AG，只需證到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可；只需證明DCAEDG即可解決問題；（3）過點(diǎn)A作AHBC，垂足為H，如圖2，可求出BC=2cos；過點(diǎn)E作EGAC，交AB的延長線于點(diǎn)G，易證DCAEDG，則有DA=EG，CA=DG=1；易證ADFGDE，則有；由DF=kFE可得DE=EFDF=（1k）EF；從而可以求得AD=，即GE=；易證ABCGBE，則有，從而可以求出BE例2【規(guī)范解答】證明：如圖1，取AD、AB中點(diǎn)M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO相交于點(diǎn)F，則：EM=DM=MA，CN=AN=BN，AME=2ADE，ANC=2ABC，O為BD中點(diǎn)OM=AN=CN，OMAN，ON=AM=EM，ONAD，四邊形ANOM為平行四邊形，AMO=ANO，AFE=NOE，ACB=AED=90，AC=kBC，AE=kDE，RtABCRtADE，ADE=ABC，AME=ANC，EMO=ONC，EMOONC，NOC=MEO，AFE=AME+MEONOE=COE+NOC，COE=AME，COE=2ADE，選擇條件（1）證明：延長EO交CB的延長線于點(diǎn)F，ACB=AED=90，EDCF，DEO=F，EDO=FBOO為BD中點(diǎn)，DO=BO，EDOFBO，ED=FB，EO=FO，ACB=90，CO=OF=EOF=OCF，COE=F+OCF=2F，AC=kBC，AE=kDE，CE=AC+AE，CF=BC+BF，EA：CE=ED：CF=1：（K+1），ACB=AED=90，EADCEF，ADE=F，COE=2ADE選擇條件（2）證明：延長EO交CB的延長線于點(diǎn)FACB=AED=90AE=DE，EDCF，ADE=45，DEO=F，EDO=FBOO為BD中點(diǎn)，DO=BO，EDOFBO，ED=FB，EO=FO，AC=BC，AE=DE，CE=CFCOEF，COE=90，COE=2ADE【總結(jié)與反思】（1）取AD、AB中點(diǎn)M、N，連接EM、MO、ON、CN，AD與EO相交于點(diǎn)F，先證明RtABCRtADE，然后證明EMOONC即可證明；（2）延長EO交CB的延長線于點(diǎn)F，證明EDOFBO，ED=FB，EO=FO，由AC=BC，AE=DE，可得CE=CF，從而COEF，可得COE=90，可得COE=2ADE例3【規(guī)范解答】解：（1）BF=AD，BFAD；BF=AD，BFAD仍然成立，證明：ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC，四邊形CDEF是正方形，CD=CF，F(xiàn)CD=90，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，在BCF和ACD中，BCFACD（SAS），BF=AD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD；（2）證明：連接DF，四邊形CDEF是矩形，F(xiàn)CD=90，又ACB=90，ACB=FCD，ACB+ACF=FCD+ACF，即BCF=ACD，AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BCFACD，CBF=CAD，又BHC=AHO，CBH+BHC=90，CAD+AHO=90，AOH=90，BFAD，BOD=AOB=90，BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB2=AC2+BC2=32+42=25，在RtFCD中，F(xiàn)CD=90，CD=，CF=1，BD2+AF2=【總結(jié)與反思】（1）證BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；證BCFACD推出CAD=FBC，BF=AD，即可得出結(jié)論；（2）連接FD，根據(jù)（1）得出BOAD，根據(jù)勾股定理得出BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，推出BD2+AF2=AB2+DF2，即可求出答案例4【規(guī)范解答】（1）證明如圖1，四邊形ABCD是正方形，OC=OA=OD=OB，ACBD，AOB=COD=90，COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到C1OD1，O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，O C1=O D1，AO C1=BO D1=90+AOD1，在AO C1和BOD1中，AO C1BOD1（SAS）；AC1BD1；（2）AC1BD1理由如下如圖2，四邊形ABCD是菱形，OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD，AOB=COD=90，COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到C1OD1，O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，O C1=OA，O D1=OB，AO C1=BO D1，AO C1BOD1，O AC1=OB D1，又AOB=90，O AB+ABP+OB D1=90，O AB+ABP+O AC1=90，APB=90AC1BD1；AO C1BOD1，=，k=；（3）如圖3，與（2）一樣可證明AO C1BOD1，=，k=；COD繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到C1OD1，O D1=OD，而OD=OB，OD1=OB=OD，BDD1為直角三角形，在RtBDD1中，BD12+DD12=BD2=100，（2AC1）2+DD12=100，AC12+（kDD1）2=25【總結(jié)與反思】（1）如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OC=OA=OD=OB，ACBD，則AOB=COD=90，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，則O C1=O D1，利用等角的補(bǔ)角相等得AO C1=BO D1，然后證明AO C1BOD1；由AOB=90，則O AB+ABP+OB D1=90，所以O(shè) AB+ABP+O AC1=90，則APB=90所以AC1BD1；（2）如圖2，根據(jù)菱形的性質(zhì)得OC=OA=AC，OD=OB=BD，ACBD，則AOB=COD=90，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得O C1=OC，O D1=OD，CO C1=DO D1，則O C1=OA，O D1=OB，利用等角的補(bǔ)角相等得AO C1=BO D1，加上，得到AO C1BOD1，得到O AC1=OB D1，由AOB=90得O AB+ABP+OB D1=90，則O AB+ABP+O AC1=90，則APB=90，所以AC1BD1；然后得到=，所以k=；（3）與（2）一樣可證明AO C1BOD1，則=，所以k=；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得O D1=OD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OD=OB，則OD1=OB=OD，于是可判斷BDD1為直角三角形，根據(jù)勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25