九年級(jí)數(shù)學(xué) 第7講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與圖形面積的綜合問(wèn)題教案.doc

二次函數(shù)與圖形面積的綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)；教學(xué)目標(biāo)1. 熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決二次函數(shù)綜合問(wèn)題2靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)重點(diǎn)巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問(wèn)題；教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用技巧及方法解決綜合問(wèn)題；知識(shí)講解探究圖形面積的一般思路要求三角形或四邊形的面積的最大值或是最小值，解決這類問(wèn)題的基本步驟：（1）首先要確定所求三角形或四邊形面積最值，可設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)個(gè)時(shí)間t或動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（t，at2+bt+c）（2）求三角形面積最值時(shí)要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高，此時(shí)就先證明涉及到底和高的三角形與已知線段長(zhǎng)度的三角形相似，從而求得用含t的代數(shù)式表示底和高；求四邊形的面積最值時(shí)，常用到的方法是利用割補(bǔ)法將四邊形分成兩個(gè)三角形，從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段；（3）用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出圖形的面積；（4）用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求最大值或是最小值。例題精析例1如圖， ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)的圖像與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖像上，且該二次函數(shù)圖像上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形（1）試求b、c的值，并寫(xiě)出該二次函數(shù)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從A到D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，由PQAC？當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最??？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？例2如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC、AC（1）求AB和OC的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)D設(shè)AE的長(zhǎng)為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）例3如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=CP，連接PQ，設(shè)CP=m，CPQ的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出m為何值時(shí)，S取得最大值；當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸l上若存在點(diǎn)F，使FDQ為直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例4如圖，已知拋物線y=x2x3與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C（1）直接寫(xiě)出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得MAD的面積與CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由課程小結(jié)有針對(duì)性的對(duì)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，有助于為研究二次函數(shù)與圖形面積的綜合問(wèn)題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與圖形面積的綜合問(wèn)題時(shí)，抓住已有的信息及條件用所設(shè)未知數(shù)來(lái)表示出圖形的面積，并能運(yùn)用二次函數(shù)的最值來(lái)解決問(wèn)題，掌握此類問(wèn)題的解題思路及技巧是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。例1【規(guī)范解答】（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C關(guān)于OA對(duì)稱，所以B(4,0)，BC8因?yàn)锳D/BC，ADBC，所以D(8,3)將B(4,0)、D(8,3)分別代入，得解得，c3所以該二次函數(shù)的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t如圖2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO當(dāng)PQAC時(shí)，所以解得圖2 圖3如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QHAD，垂足為H由于SAPQ，SACD，所以S四邊形PDCQSACDSAPQ所以當(dāng)AP時(shí)，四邊形PDCQ的最小值是【總結(jié)與反思】1求拋物線的解析式需要代入B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)由點(diǎn)C的坐標(biāo)得到，點(diǎn)D的坐標(biāo)由ADBC可以得到2設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長(zhǎng)表示出來(lái)3四邊形PDCQ的面積最小，就是APQ的面積最大例2【規(guī)范解答】（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如圖2，因?yàn)镈E/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范圍是0m9圖2 圖3（3）如圖2，因?yàn)镈E/CB，所以因?yàn)镃DE與ADE是同高三角形，所以所以當(dāng)時(shí)，CDE的面積最大，最大值為此時(shí)E是AB的中點(diǎn)，如圖3，作EHCB，垂足為H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，當(dāng)E與BC相切時(shí)，所以【總結(jié)與反思】1ADE與ACB相似，面積比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方2CDE與ADE是同高三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比例3【規(guī)范解答】（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線 c8，解得 b， c8 ，拋物線的解析式為（2）OA=8，OC=6過(guò)點(diǎn)Q作QEBC與E點(diǎn)，則當(dāng)m=5時(shí)，S取最大值；在拋物線對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)F，使FDQ為直角三角形，拋物線的解析式為的對(duì)稱軸為，D的坐標(biāo)為（3，8），Q（3，4），當(dāng)FDQ=90時(shí)，F(xiàn)1（ ，8），當(dāng)FQD=90時(shí)，則F2（ ，4），當(dāng)DFQ=90時(shí)，設(shè)F（，n），則FD2+FQ2=DQ2，即，解得：，F(xiàn)3（ ，），F(xiàn)4（，），滿足條件的點(diǎn)F共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為F1（ ，8），F(xiàn)2（，4），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（，）【總結(jié)與反思】1. 將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可求得拋物線的解析式；2. 先用m 表示出QE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)，化簡(jiǎn)為頂點(diǎn)式，便可求出S的最大值；直接寫(xiě)出滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)即可，注意不要漏寫(xiě)例4【規(guī)范解答】解：（1）y=x2x3，當(dāng)y=0時(shí)， x2x3=0，解得x1=2，x2=4當(dāng)x=0，y=3A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；（2）y=x2x3，對(duì)稱軸為直線x=1AD在x軸上，點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)MAD的面積與CAD的面積相等時(shí)，分兩種情況：點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知點(diǎn)M與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，根據(jù)三角形的等面積法，可知M點(diǎn)到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離3當(dāng)y=4時(shí)， x2x3=3，解得x1=1+，x2=1，M點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，3）或（1，3）綜上所述，所求M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）或（1+，3）或（1，3）；（3）結(jié)論：存在如圖所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：若BCAP1，此時(shí)梯形為ABCP1由點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，可知BCx軸，則P1與D點(diǎn)重合，P1（2，0）P1A=6，BC=2，P1ABC，四邊形ABCP1為梯形；若ABCP2，此時(shí)梯形為ABCP2A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），直線AB的解析式為y=x6，可設(shè)直線CP2的解析式為y=x+n，將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，3）代入，得b=3，直線CP2的解析式為y=x3點(diǎn)P2在拋物線y=x2x3上，x2x3=x3，化簡(jiǎn)得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CP2解析式求得縱坐標(biāo)為6，P2（6，6）ABCP2，ABCP2，四邊形ABCP2為梯形綜上所述，在拋物線上存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（6，6）【總結(jié)與反思】1. 令y=0，解方程x2x3=0可得到A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；令x=0，求出y=3，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)；2. 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知在在x軸下方對(duì)稱軸右側(cè)也存在這樣的一個(gè)點(diǎn)；再根據(jù)三角形的等面積法，在x軸上方，存在兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)分別到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸的距離；3. 根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖所示：若BCAP1，確定梯形ABCP1此時(shí)P1與D點(diǎn)重合，即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；若ABCP2，確定梯形ABCP2先求出直線CP2的解析式，再聯(lián)立拋物線與直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)