九年級數(shù)學 第1講 二次函數(shù)探究-二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題教案.doc

二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題知識點二次函數(shù)綜合；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)；教學目標1. 熟練運用所學知識解決二次函數(shù)綜合問題2靈活運用數(shù)形結(jié)合思想教學重點巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想解決綜合問題；教學難點靈活運用技巧及方法解決綜合問題；教學過程一、課堂導入二次函數(shù)的綜合問題是中考壓軸題?？碱}型之一，難度較大。主要考查形式為二次函數(shù)與一些簡單幾何圖形的點存在性問題，既考查了學生的數(shù)形結(jié)合能力，又考查學生的計算能力。此類問題出現(xiàn)后，大多學生都無從下手，主要是學生的綜合能力、解題技巧及實戰(zhàn)經(jīng)驗不足所致。就本節(jié)二次函數(shù)與相似三角形的點存在性問題，主要考查了學生能否將相似三角形的性質(zhì)與判定融入到二次函數(shù)，在函數(shù)圖像中構(gòu)造相似圖形的能力。二、復習預習勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知直角三角形的一邊和另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題3.逆定理：如果三角形的三邊長：a，b，c，則有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。4.用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意：（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊為c。（2）驗證c2和a2+b2是否具有相等的關(guān)系，若a2+b2=c2，則ABC是以C為直角的直角三角形。三、知識講解考點1 二次函數(shù)的基礎知識1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且a0），那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變量的二次式，二次項系數(shù)必須是非零實數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù)當b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（xh）2+k，通常要知道頂點坐標或?qū)ΨQ軸才能求出此解析式；交點式：y=a（xx1）（xx2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（，）對于y=a（xh）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數(shù)的圖像為拋物線，因此關(guān)鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點考點2 相似三角形的概念及其性質(zhì)1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對應角相等；(2)相似三角形的對應邊成比例；(3)相似三角形的對應高線的比,對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形的周長比等于相似比；(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方.考點3 探究三角形相似的一般思路解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標準，一般涉及到動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：（1）假設結(jié)論成立，分情況討論。探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應角（尤其是以文字形式出現(xiàn)讓證明兩個三角形相似的題目）或涉及到動點問題，因動點問題中點的位置不確定，此時應考慮不同的對應關(guān)系，從而分情況討論；（2）確定分類標準：在分類時，先要找出分類的標準，看兩個三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角來分類討論；（3）建立關(guān)系式并計算。由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來（其長度多借助勾股定理運算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標；四、例題精析考點一 在函數(shù)中運用“SAS”判定定理構(gòu)造相似三角形例1 直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90后得到COD，拋物線yax2bxc經(jīng)過A、C、D三點(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；(2) 求經(jīng)過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由例2如圖，已知點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點A的對應點為A，點B的對應點為B，若四邊形A ABB為菱形，求平移后拋物線的表達式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線AB 的交點為C，試在x軸上找一個點D，使得以點B、C、D為頂點的三角形與ABC相似考點二 運用相似三角形的性質(zhì)解決二次函數(shù)綜合問題例3如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點（1）直線AB總經(jīng)過一個定點C，請直接出點C坐標；（2）當k=時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使ABP的面積等于5；（3）若在拋物線上存在定點D使ADB=90，求點D到直線AB的最大距離 例4如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=x2+bx+c（c0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CAx軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD（1）若點A的坐標是（4，4）求b，c的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標；若不存在，請說明理由課程小結(jié)有針對性的對勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及二次函數(shù)的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題提供有利的依據(jù)。在探究二次函數(shù)與相似三角形的綜合問題時，抓住已有的信息及條件在函數(shù)圖像中構(gòu)造出相似三角形，并能運用相似三角形的性質(zhì)解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關(guān)鍵。解析例1（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因為拋物線yax2bxc經(jīng)過A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三點，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點G的坐標為(1，4)（3）如圖2，直線BG的解析式為y3x1，直線CD的解析式為y3x3，因此CD/BG因為圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x1)，那么RtCOD的兩條直角邊的比為13，如果RtABQ與RtCOD相似，存在兩種情況：當時，解得所以，當時，解得所以， 【總結(jié)與反思】1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應線段相等，對應角相等，對應線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點坐標3第（3）題判斷ABQ90是解題的前提4ABQ與COD相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點Q與點B的位置關(guān)系分上下兩種情形，點Q共有4個例2【規(guī)范解答】(1) 因為點A (-2，4) 和點B (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點A (-2，4) 和點B (1，0)，可得AB5因為四邊形A ABB為菱形，所以A ABB AB5因為，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個單位后，對應的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點A (-2，4) 和點B (6，0)，可得A B如圖2，由AM/CN，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在ABC與BCD中，BACCBD如圖3，當時，解得此時OD3，點D的坐標為（3，0）如圖4，當時，解得此時OD，點D的坐標為（，0） 【總結(jié)與反思】1點A與點B的坐標在3個題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計算平移的距離；第（3）題用來求點B 的坐標、AC和BC的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求ABC與BCD相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，BACCBD，因此按照夾角的兩邊對應成比例，分兩種情況討論例3【規(guī)范解答】解：（1）當x=2時，y=（2）k+2k+4=4直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點（2，4）點C的坐標為（2，4）（2）k=，直線的解析式為y=x+3聯(lián)立，解得：或點A的坐標為（3，），點B的坐標為（2，2）過點P作PQy軸，交AB于點Q，過點A作AMPQ，垂足為M，過點B作BNPQ，垂足為N，如圖1所示設點P的橫坐標為a，則點Q的橫坐標為AyP=a2，yQ=a+3點P在直線AB下方，PQ=yQyP=a+3a2AM+NB=a（3）+2a=5SAPB=SAPQ+SBPQ=PQAM+PQBN=PQ（AM+BN）=（a+3a2）5=5整理得：a2+a2=0解得：a1=2，a2=1當a=2時，yP=（2）2=2此時點P的坐標為（2，2）當a=1時，yP=12=此時點P的坐標為（1，）符合要求的點P的坐標為（2，2）或（1，）（3）過點D作x軸的平行線EF，作AEEF，垂足為E，作BFEF，垂足為F，如圖2AEEF，BFEF，AED=BFD=90ADB=90，ADE=90BDF=DBFAED=BFD，ADE=DBF，AEDDFB設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，則點A、B、D的縱坐標分別為m2、n2、t2AE=yAyE=m2t2BF=yByF=n2t2ED=xDxE=tm，DF=xFxD=nt，=化簡得：mn+（m+n）t+t2+4=0點A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交點，m、n是方程kx+2k+4=x2即x22kx4k8=0兩根m+n=2k，mn=4k84k8+2kt+t2+4=0，即t2+2kt4k4=0即（t2）（t+2k+2）=0t1=2，t2=2k2（舍）定點D的坐標為（2，2）過點D作x軸的平行線DG，過點C作CGDG，垂足為G，如圖3所示點C（2，4），點D（2，2），CG=42=2，DG=2（2）=4CGDG，DC=2過點D作DHAB，垂足為H，如圖3所示，DHDCDH2當DH與DC重合即DCAB時，點D到直線AB的距離最大，最大值為2點D到直線AB的最大距離為2【總結(jié)與反思】（1）要求定點的坐標，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關(guān)即可（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點A、B的坐標設出點P的橫坐標為a，運用割補法用a的代數(shù)式表示APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標（3）設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，從條件ADB=90出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點D的坐標由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題例4【規(guī)范解答】（1）ACx軸，A點坐標為（4，4）點C的坐標是（0，4）把A、C代入yx2+bx+c得， 得，解得；四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由得拋物線的解析式為yx24x+4，頂點D的坐標為（2，8），過D點作DEAB于點E，則DE=OC=4，AE=2，AC=4，BC=AC=2，AE=BCACx軸，AED=BCO=90，AEDBCO，AD=BODAE=BCO，ADBO，四邊形AOBD是平行四邊形（2）存在，點A的坐標可以是（2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需AOB=BCO=90，ABO=OBC，ABOOBC，=，又AB=AC+BC=3BC，OB=BC，在RtOBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，C點是拋物線與y軸交點，OC=c，A點坐標為（c，c），頂點橫坐標=c，b=c，將A點代入可得c=+cc+c，橫坐標為c，縱坐標為c即可，令c=2，A點坐標可以為（2，2）或者（2，2）【總結(jié)與反思】（1）將拋物線上的點的坐標代入拋物線即可求出b、c的值； 求證AD=BO和ADBO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90可以求得ABOOBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標為c，縱坐標為C