中考數學試題分類匯編 考點37 銳角三角函數和解直角三角形（含解析）.doc

xx中考數學試題分類匯編：考點37銳角三角函數和解直角三角形一選擇題（共15小題）1（xx柳州）如圖，在RtABC中，C=90，BC=4，AC=3，則sinB=（）ABCD【分析】首先利用勾股定理計算出AB長，再計算sinB即可【解答】解：C=90，BC=4，AC=3，AB=5，sinB=，故選：A2（xx孝感）如圖，在RtABC中，C=90，AB=10，AC=8，則sinA等于（）ABCD【分析】先根據勾股定理求得BC=6，再由正弦函數的定義求解可得【解答】解：在RtABC中，AB=10、AC=8，BC=6，sinA=，故選：A3（xx大慶）2cos60=（）A1BCD【分析】直接利用特殊角的三角函數值進而計算得出答案【解答】解：2cos60=2=1故選：A4（xx天津）cos30的值等于（）ABC1D【分析】根據特殊角的三角函數值直接解答即可【解答】解：cos30=故選：B5（xx貴陽）如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tanBAC的值為（）AB1CD【分析】連接BC，由網格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到ABC為等腰直角三角形，即可求出所求【解答】解：連接BC，由網格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，ABC為等腰直角三角形，BAC=45，則tanBAC=1，故選：B6（xx金華）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得ABC=，ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為（）ABCD【分析】在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題；【解答】解：在RtABC中，AB=，在RtACD中，AD=，AB：AD=： =，故選：B7（xx宜昌）如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C，測得PC=100米，PCA=35，則小河寬PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【分析】根據正切函數可求小河寬PA的長度【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河寬PA=PCtanPCA=100tan35米故選：C8（xx威海）如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數y=4xx2刻畫，斜坡可以用一次函數y=x刻畫，下列結論錯誤的是（）A當小球拋出高度達到7.5m時，小球水平距O點水平距離為3mB小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢C小球落地點距O點水平距離為7米D斜坡的坡度為1：2【分析】求出當y=7.5時，x的值，判定A；根據二次函數的性質求出對稱軸，根據二次函數性質判斷B；求出拋物線與直線的交點，判斷C，根據直線解析式和坡度的定義判斷D【解答】解：當y=7.5時，7.5=4xx2，整理得x28x+15=0，解得，x1=3，x2=5，當小球拋出高度達到7.5m時，小球水平距O點水平距離為3m或5側面cm，A錯誤，符合題意；y=4xx2=（x4）2+8，則拋物線的對稱軸為x=4，當x4時，y隨x的增大而減小，即小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢，B正確，不符合題意；，解得，則小球落地點距O點水平距離為7米，C正確，不符合題意；斜坡可以用一次函數y=x刻畫，斜坡的坡度為1：2，D正確，不符合題意；故選：A9（xx淄博）一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米在用科學計算器求坡角的度數時，具體按鍵順序是（）ABCD【分析】先利用正弦的定義得到sinA=0.15，然后利用計算器求銳角【解答】解：sinA=0.15，所以用科學計算器求這條斜道傾斜角的度數時，按鍵順序為故選：A10（xx重慶）如圖，旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角AED=58，升旗臺底部到教學樓底部的距離DE=7米，升旗臺坡面CD的坡度i=1：0.75，坡長CD=2米，若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米，則旗桿AB的高度約為（）（參考數據：sin580.85，cos580.53，tan581.6）A12.6米B13.1米C14.7米D16.3米【分析】如圖延長AB交ED的延長線于M，作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCDJ中求出CJ、DJ，再根據，tanAEM=構建方程即可解決問題；【解答】解：如圖延長AB交ED的延長線于M，作CJDM于J則四邊形BMJC是矩形在RtCJD中， =，設CJ=4k，DJ=3k，則有9k2+16k2=4，k=，BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，在RtAEM中，tanAEM=，1.6=，解得AB13.1（米），故選：B11（xx重慶）如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達點C，再經過一段坡度（或坡比）為i=1：0.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D，然后再沿水平方向向右行走40米到達點E（A，B，C，D，E均在同一平面內）在E處測得建筑物頂端A的仰角為24，則建筑物AB的高度約為（參考數據：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米B22.4米C27.4米D28.8米【分析】作BMED交ED的延長線于M，CNDM于N首先解直角三角形RtCDN，求出CN，DN，再根據tan24=，構建方程即可解決問題；【解答】解：作BMED交ED的延長線于M，CNDM于N在RtCDN中，=，設CN=4k，DN=3k，CD=10，（3k）2+（4k）2=100，k=2，CN=8，DN=6，四邊形BMNC是矩形，BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在RtAEM中，tan24=，0.45=，AB=21.7（米），故選：A12（xx長春）如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發(fā)，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為，則A、B兩地之間的距離為（）A800sin米B800tan米C米D米【分析】在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，根據tan=，即可解決問題；【解答】解：在RtABC中，CAB=90，B=，AC=800米，tan=，AB=故選：D13（xx香坊區(qū)）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30，看這棟樓底部C的俯角為60，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）A160米B（60+160）C160米D360米【分析】首先過點A作ADBC于點D，根據題意得BAD=30，CAD=60，AD=120m，然后利用三角函數求解即可求得答案【解答】解：過點A作ADBC于點D，則BAD=30，CAD=60，AD=120m，在RtABD中，BD=ADtan30=120=40（m），在RtACD中，CD=ADtan60=120=120（m），BC=BD+CD=160（m）故選：C14（xx綿陽）一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15方向，那么海島B離此航線的最近距離是（）（結果保留小數點后兩位）（參考數據：1.732，1.414）A4.64海里B5.49海里C6.12海里D6.21海里【分析】根據題意畫出圖形，結合圖形知BAC=30、ACB=15，作BDAC于點D，以點B為頂點、BC為邊，在ABC內部作CBE=ACB=15，設BD=x，則AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，據此得出AC=2x+2x，根據題意列出方程，求解可得【解答】解：如圖所示，由題意知，BAC=30、ACB=15，作BDAC于點D，以點B為頂點、BC為邊，在ABC內部作CBE=ACB=15，則BED=30，BE=CE，設BD=x，則AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，AC=AD+DE+CE=2x+2x，AC=30，2x+2x=30，解得：x=5.49，故選：B15（xx蘇州）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務，當海監(jiān)船由西向東航行至A處時，測得島嶼P恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行1小時到達B處，測得島嶼P在其北偏西30方向，保持航向不變又航行2小時到達C處，此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離（即PC的長）為（）A40海里B60海里C20海里D40海里【分析】首先證明PB=BC，推出C=30，可得PC=2PA，求出PA即可解決問題；【解答】解：在RtPAB中，APB=30，PB=2AB，由題意BC=2AB，PB=BC，C=CPB，ABP=C+CPB=60，C=30，PC=2PA，PA=ABtan60，PC=220=40（海里），故選：D二填空題（共17小題）16（xx北京）如圖所示的網格是正方形網格，BACDAE（填“”，“=”或“”）【分析】作輔助線，構建三角形及高線NP，先利用面積法求高線PN=，再分別求BAC、DAE的正弦，根據正弦值隨著角度的增大而增大，作判斷【解答】解：連接NH，BC，過N作NPAD于P，SANH=2211=AHNP，=PN，PN=，RtANP中，sinNAP=0.6，RtABC中，sinBAC=0.6，正弦值隨著角度的增大而增大，BACDAE，故答案為：17（xx濱州）在ABC中，C=90，若tanA=，則sinB=【分析】直接根據題意表示出三角形的各邊，進而利用銳角三角函數關系得出答案【解答】解：如圖所示：C=90，tanA=，設BC=x，則AC=2x，故AB=x，則sinB=故答案為：18（xx泰安）如圖，在ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，點D是AC邊上的動點（不與點C重合），過D作DEBC，垂足為E，點F是BD的中點，連接EF，設CD=x，DEF的面積為S，則S與x之間的函數關系式為S=x2【分析】可在直角三角形CED中，根據DE、CE的長，求出BED的面積即可解決問題【解答】解：（1）在RtCDE中，tanC=，CD=xDE=x，CE=x，BE=10x，SBED=（10x）x=x2+3xDF=BF，S=SBED=x2，故答案為S=x219（xx無錫）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，則ABC的面積等于15或10【分析】作ADBC交BC（或BC延長線）于點D，分AB、AC位于AD異側和同側兩種情況，先在RtABD中求得AD、BD的值，再在RtACD中利用勾股定理求得CD的長，繼而就兩種情況分別求出BC的長，根據三角形的面積公式求解可得【解答】解：作ADBC交BC（或BC延長線）于點D，如圖1，當AB、AC位于AD異側時，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，則BC=BD+CD=6，SABC=BCAD=65=15；如圖2，當AB、AC在AD的同側時，由知，BD=5，CD=，則BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10綜上，ABC的面積是15或10，故答案為15或1020（xx香坊區(qū)）如圖，在ABC中，AB=AC，tanACB=2，D在ABC內部，且AD=CD，ADC=90，連接BD，若BCD的面積為10，則AD的長為5【分析】作輔助線，構建全等三角形和高線DH，設CM=a，根據等腰直角三角形的性質和三角函數表示AC和AM的長，根據三角形面積表示DH的長，證明ADGCDH（AAS），可得DG=DH=MG=，AG=CH=a+，根據AM=AG+MG，列方程可得結論【解答】解：過D作DHBC于H，過A作AMBC于M，過D作DGAM于G，設CM=a，AB=AC，BC=2CM=2a，tanACB=2，=2，AM=2a，由勾股定理得：AC=a，SBDC=BCDH=10，=10，DH=，DHM=HMG=MGD=90，四邊形DHMG為矩形，HDG=90=HDC+CDG，DG=HM，DH=MG，ADC=90=ADG+CDG，ADG=CDH，在ADG和CDH中，ADGCDH（AAS），DG=DH=MG=，AG=CH=a+，AM=AG+MG，即2a=a+，a2=20，在RtADC中，AD2+CD2=AC2，AD=CD，2AD2=5a2=100，AD=5或5（舍），故答案為：521（xx眉山）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB、CD相交于點O，則tanAOD=2【分析】首先連接BE，由題意易得BF=CF，ACOBKO，然后由相似三角形的對應邊成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在RtOBF中，即可求得tanBOF的值，繼而求得答案【解答】解：如圖，連接BE，四邊形BCEK是正方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根據題意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案為：222（xx德州）如圖，在44的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，ABC的頂點都在格點上，則BAC的正弦值是【分析】先根據勾股定理的逆定理判斷出ABC的形狀，再由銳角三角函數的定義即可得出結論【解答】解：AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，AC2+BC2=AB2，ABC為直角三角形，且ACB=90，則sinBAC=，故答案為：23（xx齊齊哈爾）四邊形ABCD中，BD是對角線，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=13，則線段CD=17【分析】作AHBD于H，CGBD于G，根據正切的定義分別求出AH、BH，根據勾股定理求出HD，得到BD，根據勾股定理計算即可【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，設AH=3x，則BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，則AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案為：1724（xx廣州）如圖，旗桿高AB=8m，某一時刻，旗桿影子長BC=16m，則tanC=【分析】根據直角三角形的性質解答即可【解答】解：旗桿高AB=8m，旗桿影子長BC=16m，tanC=，故答案為：25（xx棗莊）如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31，AB的長為12米，則大廳兩層之間的高度為6.2米（結果保留兩個有效數字）【參考數據；sin31=0.515，cos31=0.857，tan31=0.601】【分析】根據題意和銳角三角函數可以求得BC的長，從而可以解答本題【解答】解：在RtABC中，ACB=90，BC=ABsinBAC=120.5156.2（米），答：大廳兩層之間的距離BC的長約為6.2米故答案為：6.226（xx廣西）如圖，從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30，從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45，已知甲樓的高AB是120m，則乙樓的高CD是40m（結果保留根號）【分析】利用等腰直角三角形的性質得出AB=AD，再利用銳角三角函數關系得出答案【解答】解：由題意可得：BDA=45，則AB=AD=120m，又CAD=30，在RtADC中，tanCDA=tan30=，解得：CD=40（m），故答案為：4027（xx寧波）如圖，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A，B兩點的俯角分別為45和30若飛機離地面的高度CH為1200米，且點H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為1200（1）米（結果保留根號）【分析】在RtACH和RtHCB中，利用銳角三角函數，用CH表示出AH、BH的長，然后計算出AB的長【解答】解：由于CDHB，CAH=ACD=45，B=BCD=30在RtACH中，CAH=45AH=CH=1200米，在RtHCB，tanB=HB=1200（米）AB=HBHA=12001200=1200（1）米故答案為：1200（1）28（xx黃石）如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45，如果無人機距地面高度CD為米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是100（1+）米（結果保留根號）【分析】如圖，利用平行線的性質得A=60，B=45，在RtACD中利用正切定義可計算出AD=100，在RtBCD中利用等腰直角三角形的性質得BD=CD=100，然后計算AD+BD即可【解答】解：如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45，A=60，B=45，在RtACD中，tanA=，AD=100，在RtBCD中，BD=CD=100，AB=AD+BD=100+100=100（1+）答：A、B兩點間的距離為100（1+）米故答案為100（1+）29（xx咸寧）如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45，測得底部C的俯角為60，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為300m（結果保留整數，1.73）【分析】在RtABD中，根據正切函數求得BD=ADtanBAD，在RtACD中，求得CD=ADtanCAD，再根據BC=BD+CD，代入數據計算即可【解答】解：如圖，在RtABD中，AD=90，BAD=45，BD=AD=110（m），在RtACD中，CAD=60，CD=ADtan60=110=190（m），BC=BD+CD=110+190=300（m）答：該建筑物的高度BC約為300米故答案為30030（xx天門）我國海域遼闊，漁業(yè)資源豐富如圖，現(xiàn)有漁船B在海島A，C附近捕魚作業(yè)，已知海島C位于海島A的北偏東45方向上在漁船B上測得海島A位于漁船B的北偏西30的方向上，此時海島C恰好位于漁船B的正北方向18（1+）n mile處，則海島A，C之間的距離為18n mile【分析】作ADBC于D，根據正弦的定義、正切的定義分別求出BD、CD，根據題意列式計算即可【解答】解：作ADBC于D，設AC=x海里，在RtACD中，AD=ACsinACD=x，則CD=x，在RtABD中，BD=x，則x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之間的距離為18海里故答案為：1831（xx濰坊）如圖，一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行，在A處測得島礁P在東北方向上，繼續(xù)航行1.5小時后到達B處，此時測得島礁P在北偏東30方向，同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60方向為了在臺風到來之前用最短時間到達M處，漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行小時即可到達（結果保留根號）【分析】如圖，過點P作PQAB交AB延長線于點Q，過點M作MNAB交AB延長線于點N，通過解直角AQP、直角BPQ求得PQ的長度，即MN的長度，然后通過解直角BMN求得BM的長度，則易得所需時間【解答】解：如圖，過點P作PQAB交AB延長線于點Q，過點M作MNAB交AB延長線于點N，在直角AQP中，PAQ=45，則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ90在直角BPQ中，BPQ=30，則BQ=PQtan30=PQ（海里），所以 PQ90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角BMN中，MBN=30，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以 =（小時）故答案是：32（xx濟寧）如圖，在一筆直的海岸線l上有相距2km的A，B兩個觀測站，B站在A站的正東方向上，從A站測得船C在北偏東60的方向上，從B站測得船C在北偏東30的方向上，則船C到海岸線l的距離是km【分析】首先由題意可證得：ACB是等腰三角形，即可求得BC的長，然后由在RtCBD中，CD=BCsin60，求得答案【解答】解：過點C作CDAB于點D，根據題意得：CAD=9060=30，CBD=9030=60，ACB=CBDCAD=30，CAB=ACB，BC=AB=2km，在RtCBD中，CD=BCsin60=2=（km）故答案為：三解答題（共18小題）33（xx貴陽）如圖，在RtABC中，以下是小亮探究與之間關系的方法：sinA=，sinB=c=，c=根據你掌握的三角函數知識在圖的銳角ABC中，探究、之間的關系，并寫出探究過程【分析】三式相等，理由為：過A作ADBC，BEAC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數定義表示出AD，在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數定義表示出AD，兩者相等即可得證【解答】解： =，理由為：過A作ADBC，BEAC，在RtABD中，sinB=，即AD=csinB，在RtADC中，sinC=，即AD=bsinC，csinB=bsinC，即=，同理可得=，則=34（xx上海）如圖，已知ABC中，AB=BC=5，tanABC=（1）求邊AC的長；（2）設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求的值【分析】（1）過A作AEBC，在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數定義求出AC的長即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的長，利用銳角三角函數定義求出DF的長，利用勾股定理求出BD的長，進而求出AD的長，即可求出所求【解答】解：（1）作A作AEBC，在RtABE中，tanABC=，AB=5，AE=3，BE=4，CE=BCBE=54=1，在RtAEC中，根據勾股定理得：AC=；（2）DF垂直平分BC，BD=CD，BF=CF=，tanDBF=，DF=，在RtBFD中，根據勾股定理得：BD=，AD=5=，則=35（xx自貢）如圖，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求AC和AB的長【分析】如圖作CHAB于H在Rt求出CH、BH，這種RtACH中求出AH、AC即可解決問題；【解答】解：如圖作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+636（xx煙臺）汽車超速行駛是交通安全的重大隱患，為了有效降低交通事故的發(fā)生，許多道路在事故易發(fā)路段設置了區(qū)間測速如圖，學校附近有一條筆直的公路l，其間設有區(qū)間測速，所有車輛限速40千米/小時數學實踐活動小組設計了如下活動：在l上確定A，B兩點，并在AB路段進行區(qū)間測速在l外取一點P，作PCl，垂足為點C測得PC=30米，APC=71，BPC=35上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒，請你用所學的數學知識說明該車是否超速（參考數據：sin350.57，cos350.82，tan350.70，sin710.95，cos710.33，tan712.90）【分析】先求得AC=PCtanAPC=87、BC=PCtanBPC=21，據此得出AB=ACBC=8721=66，從而求得該車通過AB段的車速，比較大小即可得【解答】解：在RtAPC中，AC=PCtanAPC=30tan71302.90=87，在RtBPC中，BC=PCtanBPC=30tan35300.70=21，則AB=ACBC=8721=66，該汽車的實際速度為=11m/s，又40km/h11.1m/s，該車沒有超速37（xx紹興）如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接，圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌MN安裝在窗框上，托懸臂DE安裝在窗扇上，交點A處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點B，C，D始終在一直線上，延長DE交MN于點F已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm（1）窗扇完全打開，張角CAB=85，求此時窗扇與窗框的夾角DFB的度數；（2）窗扇部分打開，張角CAB=60，求此時點A，B之間的距離（精確到0.1cm）（參考數據：1.732，2.449）【分析】（1）根據平行四邊形的判定和性質可以解答本題；（2）根據銳角三角函數和題意可以求得AB的長，從而可以解答本題【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，四邊形ACDE是平行四邊形，ACDE，DFB=CAB，CAB=85，DFB=85；（2）作CGAB于點G，AC=20，CGA=90，CAB=60，CG=，AG=10，BD=40，CD=10，CB=30，BG=，AB=AG+BG=10+1010+102.449=34.4934.5cm，即A、B之間的距離為34.5cm38（xx臨沂）如圖，有一個三角形的鋼架ABC，A=30，C=45，AC=2（+1）m請計算說明，工人師傅搬運此鋼架能否通過一個直徑為2.1m的圓形門？【分析】過B作BDAC于D，解直角三角形求出AD=xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方程的解即可【解答】解：工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門，理由是：過B作BDAC于D，ABBD，BCBD，ACAB，求出DB長和2.1m比較即可，設BD=xm，A=30，C=45，DC=BD=xm，AD=BD=xm，AC=2（+1）m，x+x=2（+1），x=2，即BD=2m2.1m，工人師傅搬運此鋼架能通過一個直徑為2.1m的圓形門39（xx長沙）為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建如圖，A、B兩地之間有一座山汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛已知BC=80千米，A=45，B=30（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？（2）開通隧道后，汽車從A地到B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米）（參考數據：141，1.73）【分析】（1）過點C作AB的垂線CD，垂足為D，在直角ACD中，解直角三角形求出CD，進而解答即可；（2）在直角CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，進而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程【解答】解：（1）過點C作AB的垂線CD，垂足為D，ABCD，sin30=，BC=80千米，CD=BCsin30=80（千米），AC=（千米），AC+BC=80+40401.41+80=136.4（千米），答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）cos30=，BC=80（千米），BD=BCcos30=80（千米），tan45=，CD=40（千米），AD=（千米），AB=AD+BD=40+4040+401.73=109.2（千米），汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BCAB=136.4109.2=27.2（千米）答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米40（xx白銀）隨著中國經濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式如圖，A，B兩地被大山阻隔，由A地到B地需要繞行C地，若打通穿山隧道，建成A，B兩地的直達高鐵，可以縮短從A地到B地的路程已知：CAB=30，CBA=45，AC=640公里，求隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短多少公里？（參考數據：1.7，1.4）【分析】過點C作CDAB于點D，利用銳角三角函數的定義求出CD及AD的長，進而可得出結論【解答】解：過點C作CDAB于點D，在RtADC和RtBCD中，CAB=30，CBA=45，AC=640，CD=320，AD=320，BD=CD=320，BC=320，AC+BC=640+3201088，AB=AD+BD=320+320864，1088864=224（公里），答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里41（xx隨州）隨州市新水一橋（如圖1）設計靈感來源于市花蘭花，采用蝴蝶蘭斜拉橋方案，設計長度為258米，寬32米，為雙向六車道，2018年4月3日通車斜拉橋又稱斜張橋，主要由索塔、主梁、斜拉索組成某座斜拉橋的部分截面圖如圖2所示，索塔AB和斜拉索（圖中只畫出最短的斜拉索DE和最長的斜拉索AC）均在同一水平面內，BC在水平橋面上已知ABC=DEB=45，ACB=30，BE=6米，AB=5BD（1）求最短的斜拉索DE的長；（2）求最長的斜拉索AC的長【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質計算DE的長；（2）作AHBC于H，如圖2，由于BD=DE=3，則AB=3BD=15，在RtABH中，根據等腰直角三角形的性質可計算出BH=AH=15，然后在RtACH中利用含30度的直角三角形三邊的關系即可得到AC的長【解答】解：（1）ABC=DEB=45，BDE為等腰直角三角形，DE=BE=6=3答：最短的斜拉索DE的長為3m；（2）作AHBC于H，如圖2，BD=DE=3，AB=3BD=53=15，在RtABH中，B=45，BH=AH=AB=15=15，在RtACH中，C=30，AC=2AH=30答：最長的斜拉索AC的長為30m42（xx遵義）如圖，吊車在水平地面上吊起貨物時，吊繩BC與地面保持垂直，吊臂AB與水平線的夾角為64，吊臂底部A距地面1.5m（計算結果精確到0.1m，參考數據sin640.90，cos640.44，tan642.05）（1）當吊臂底部A與貨物的水平距離AC為5m時，吊臂AB的長為11.4m（2）如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少？（吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計）【分析】（1）根據直角三角形的性質和三角函數解答即可；（2）過點D作DH地面于H，利用直角三角形的性質和三角函數解答即可【解答】解：（1）在RtABC中，BAC=64，AC=5m，AB=（m）；故答案為：11.4；（2）過點D作DH地面于H，交水平線于點E，在RtADE中，AD=20m，DAE=64，EH=1.5m，DE=sin64AD200.918（m），即DH=DE+EH=18+1.5=19.5（m），答：如果該吊車吊臂的最大長度AD為20m，那么從地面上吊起貨物的最大高度是19.5m43（xx資陽）如圖是小紅在一次放風箏活動中某時段的示意圖，她在A處時的風箏線（整個過程中風箏線近似地看作直線）與水平線構成30角，線段AA1表示小紅身高1.5米（1）當風箏的水平距離AC=18米時，求此時風箏線AD的長度；（2）當她從點A跑動9米到達點B處時，風箏線與水平線構成45角，此時風箏到達點E處，風箏的水平移動距離CF=10米，這一過程中風箏線的長度保持不變，求風箏原來的高度C1D【分析】（1）在RtACD中，由AD=可得答案；（2）設AF=x米，則BF=AB+AF=9+x，在RtBEF中求得AD=BE=18+x，由cosCAD=可建立關于x的方程，解之求得x的值，即可得出AD的長，繼而根據CD=ADsinCAD求得CD從而得出答案【解答】解：（1）在RtACD中，cosCAD=，AC=18、CAD=30，AD=12（米），答：此時風箏線AD的長度為12米；（2）設AF=x米，則BF=AB+AF=9+x（米），在RtBEF中，BE=18+x（米），由題意知AD=BE=18+x（米），CF=10，AC=AF+CF=10+x，由cosCAD=可得=，解得：x=3+2，則AD=18+（3+2）=24+3，CD=ADsinCAD=（24+3）=，則C1D=CD+C1C=+=，答：風箏原來的高度C1D為米44（xx山西）祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成，全橋共設13對直線型斜拉索，造型新穎，是“三晉大地”的一種象征某數學“綜合與實踐”小組的同學把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測量測量結果如下表項目內容課題測量斜拉索頂端到橋面的距離測量示意圖說明：兩側最長斜拉索AC，BC相交于點C，分別與橋面交于A，B兩點，且點A，B，C在同一豎直平面內測量數據A的度數B的度數AB的長度3828234米（1）請幫助該小組根據上表中的測量數據，求斜拉索頂端點C到AB的距離（參考數據：sin380.6，cos380.8，tan380.8，sin280.5，cos280.9，tan280.5）（2）該小組要寫出一份完整的課題活動報告，除上表的項目外，你認為還需要補充哪些項目（寫出一個即可）【分析】（1）過點C作CDAB于點D解直角三角形求出DC即可；（2）還需要補充的項目可為：測量工具，計算過程，人員分工，指導教師，活動感受等【解答】解：（1）過點C作CDAB于點D設CD=x米，在RtADC中，ADC=90，A=38，在RtBDC中，BDC=90，B=28，AD+BD=AB=234，解得x=72答：斜拉索頂端點C到AB的距離為72米（2）還需要補充的項目可為：測量工具，計算過程，人員分工，指導教師，活動感受等（答案不唯一）45（xx常德）圖1是一商場的推拉門，已知門的寬度AD=2米，且兩扇門的大小相同（即AB=CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉37，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉45，其示意圖如圖2，求此時B與C之間的距離（結果保留一位小數）（參考數據：sin370.6，cos370.8，1.4）【分析】作BEAD于點E，作CFAD于點F，延長FC到點M，使得BE=CM，則EM=BC，在RtABE、RtCDF中可求出AE、BE、DF、FC的長度，進而可得出EF的長度，再在RtMEF中利用勾股定理即可求出EM的長，此題得解【解答】解：作BEAD于點E，作CFAD于點F，延長FC到點M，使得BE=CM，如圖所示AB=CD，AB+CD=AD=2，AB=CD=1在RtABE中，AB=1，A=37，BE=ABsinA0.6，AE=ABcosA0.8在RtCDF中，CD=1，D=45，CF=CDsinD0.7，DF=CDcosD0.7BEAD，CFAD，BECM，又BE=CM，四邊形BEMC為平行四邊形，BC=EM，CM=BE在RtMEF中，EF=ADAEDF=0.5，F(xiàn)M=CF+CM=1.3，EM=1.4，B與C之間的距離約為1.4米46（xx臺州）圖1是一輛吊車的實物圖，圖2是其工作示意圖，AC是可以伸縮的起重臂，其轉動點A離地面BD的高度AH為3.4m當起重臂AC長度為9m，張角HAC為118時，求操作平臺C離地面的高度（結果保留小數點后一位：參考數據：sin280.47，cos280.88，tan280.53）【分析】作CEBD于F，AFCE于F，如圖2，易得四邊形AHEF為矩形，則EF=AH=3.4m，HAF=90，再計算出CAF=28，則在RtACF中利用正弦可計算出CF，然后計算CF+EF即可【解答】解：作CEBD于F，AFCE于F，如圖2，易得四邊形AHEF為矩形，EF=AH=3.4m，HAF=90，CAF=CAHHAF=11890=28，在RtACF中，sinCAF=，CF=9sin28=90.47=4.23，CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m），答：操作平臺C離地面的高度為7.6m47（xx岳陽）圖1是某小區(qū)入口實景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖已知入口BC寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的O點處裝有一盞路燈，點O與地面BC的距離為3.3米，燈臂OM長為1.2米（燈罩長度忽略不計），AOM=60（1）求點M到地面的距離；（2）某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進入時，貨車需與護欄CD保持0.65米的安全距離，此時，貨車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由（參考數據：1.73，結果精確到0.01米）【分析】（1）構建直角OMN，求ON的長，相加可得BN的長，即點M到地面的距離；（2）左邊根據要求留0.65米的安全距離，即取CE=0.65，車寬EH=2.55，計算高GH的長即可，與3.5作比較，可得結論【解答】解：（1）如圖，過M作MNAB于N，交BA的延長線于N，RtOMN中，NOM=60，OM=1.2，M=30，ON=OM=0.6，NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即點M到地面的距離是3.9米；（2）取CE=0.65，EH=2.55，HB=3.92.550.65=0.7，過H作GHBC，交OM于G，過O作OPGH于P，GOP=30，tan30=，GP=OP=0.404，GH=3.3+0.404=3.7043.703.5，貨車能安全通過48（xx徐州）如圖，一座堤壩的橫截面是梯形，根據圖中給出的數據，求壩高和壩底寬（精確到0.1m）參考數據：1.414，1.732【分析】利用銳角三角函數，在RtCDE中計算出壩高DE及CE的長，通過矩形ADEF利用等腰直角三角形的邊角關系，求出BF的長，得到壩底的寬【解答】解：在RtCDE中，sinC=，cosC=DE=sin30DC=14=7（m），CE=cos30DC=14=712.12412.12，四邊形AFED是矩形，EF=AD=6m，AF=DE=7m在RtABF中，B=45DE=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）答：該壩的壩高和壩底寬分別為7m和25.1m49（xx河南）“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運動員可根據自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內調節(jié)高、低兩杠間的距離某興趣小組根據高低杠器材的一種截面圖編制了如下數學問題，請你解答如圖所示，底座上A，B兩點間的距離為90cm低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角CAE為82.4，高杠的支架BD與直線AB的夾角DBF為80.3求高、低杠間的水平距離CH的長（結果精確到1cm，參考數據sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.500，sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.850）【分析】利用銳角三角函數，在RtACE和RtDBF中，分別求出AE、BF的長計算出EF通過矩形CEFH得到CH的長【解答】解：在RtACE中，tanCAE=，AE=21（cm）在RtDBF中，tanDBF=，BF=40（cm）EF=EA+AB+BF21+90+40=151（cm）CEEF，CHDF，DFEF四邊形CEFH是矩形，CH=EF=151cm答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm50（xx嘉興）如圖1，滑動調節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB，P為立柱上的滑動調節(jié)點，傘體的截面示意圖為PDE，F(xiàn)為PD的中點，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，DPE=20，當點P位于初始位置P0時，點D與C重合（圖2）根據生活經驗，當太陽光線與PE垂直時，遮陽效果最佳（1）上午10：00時，太陽光線與地面的夾角為65（圖3），為使遮陽效果最佳，點P需從P0上調多少距離？（結果精確到0.1m）（2）中午12：00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點P在（1）的基礎上還需上調多少距離？（結果精確到0.1m）（參考數據：sin700.94，cos700.34，tan702.75，1.41，1.73）【分析】（1）只要證明CFP1是等腰直角三角形，即可解決問題；（2）解直角三角形求出CP2的長即可解決問題；【解答】解：（1）如圖2中，當P位于初始位置時，CP0=2m，如圖3中，上午10：00時，太陽光線與地面的夾角為65，上調的距離為P0P11=90，CAB=90，ABE=65，AP1E=115，CP1E=65，DP1E=20，CP1F=45，CF=P1F=1m，C=CP1F=45，CP1F是等腰直角三角形，P1C=m，P0P1=CP0P1C=20.6m，即為使遮陽效果最佳，點P需從P0上調0.6m（2）如圖4中，中午12：00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點P調到P2處P2EAB，CP2E=CAB=90，DP2E=20，CP2F=70，作FGAC于G，則CP2=2CG=1cos700.68m，P1P2=CP1CP2=0.680.7m，即點P在（1）的基礎上還需上調0.7m