2022年中考數(shù)學(xué)考前專(zhuān)題輔導(dǎo) 一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題

課 題 一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題授課日期及時(shí)段 教學(xué)目的1、掌握列方程解應(yīng)用題的一般步驟;2、掌握諸如行程問(wèn)題、等積變形、調(diào)配問(wèn)題、利率問(wèn)題、工程問(wèn)題這些常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，列出方程。教學(xué)內(nèi)容一、問(wèn)題解決：（一）檢查并講評(píng)上次布置的作業(yè) 上次作業(yè)是關(guān)于一元一次方程的習(xí)題，包括一元一次方程的概念、簡(jiǎn)單計(jì)算等，檢查學(xué)生完成情況，對(duì)作業(yè)進(jìn)行講解。 （二）處理學(xué)生日校布置的作業(yè)，講解疑難問(wèn)題 查看學(xué)生日校作業(yè)完成質(zhì)量，對(duì)其錯(cuò)題進(jìn)行點(diǎn)撥，解決學(xué)生日校作業(yè)中的疑難問(wèn)題。二、知識(shí)點(diǎn)梳理： （一）一元一次方程的應(yīng)用問(wèn)題包括：1、行程問(wèn)題：（1）相遇問(wèn)題： 快行距慢行距原距（2）追及問(wèn)題： 快行距慢行距原距（3）航行問(wèn)題：順?biāo)L(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 逆水（風(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度2、工程問(wèn)題：工程問(wèn)題的基本量有：工作量、工作效率、工作時(shí)間。關(guān)系式為：工作量=工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間=工作效率=3、利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)100% 利息本金利率期數(shù) （二）一元一次方程解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：1、 審題：分析題意，找出題中的數(shù)量關(guān)系及其關(guān)系；2、 設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示（例如x）；3、 列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程；4、 解方程：求出未知數(shù)的值；5、 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫(xiě)出三、例題講解：考點(diǎn)1:一元一次方程在行程問(wèn)題上的應(yīng)用例1：某隊(duì)伍450米長(zhǎng)，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問(wèn)往返共需多少時(shí)間？ 解：這一問(wèn)題實(shí)際上分為兩個(gè)過(guò)程：從排尾到排頭的過(guò)程是一個(gè)追及過(guò)程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過(guò)程則是一個(gè)相遇過(guò)程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。在追及過(guò)程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問(wèn)題中的相等關(guān)系“追趕者的路程被追者的路程=原來(lái)相隔的路程”，有：3x1.5x=450 x=300 在相遇過(guò)程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問(wèn)題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 y=100，故往返共需的時(shí)間為 x+y=300+100=400（秒） 答：往返時(shí)間共需要400秒變式：有一火車(chē)以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng) 解：設(shè)第一鐵橋的長(zhǎng)為x米，那么第二鐵橋的長(zhǎng)為（2x-50）米，過(guò)完第一鐵橋所需的時(shí)間為分 則過(guò)完第二鐵橋所需的時(shí)間為分 依題意，可列出方程 += 解方程x+50=2x-50得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一鐵橋長(zhǎng)100米，第二鐵橋長(zhǎng)150米考點(diǎn)2：一元一次方程在利潤(rùn)問(wèn)題上的應(yīng)用 例1：某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元 （1）若家電商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案 （2）若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷(xiāo)售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷(xiāo)售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷(xiāo)售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？ 解：按購(gòu)A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，設(shè)購(gòu)A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái) （1）當(dāng)選購(gòu)A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購(gòu)（50-x）臺(tái)，可得方程 1500x+2100（50-x）=90000 即5x+7（50-x）=300 2x=50 x=25 50-x=25當(dāng)選購(gòu)A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購(gòu)（50-x）臺(tái)， 可得方程1500x+2500（50-x）=90000+5（50-x）=1800得 x=35 所以50-x=15 當(dāng)購(gòu)B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為（50-y）臺(tái) 可得方程2100y+2500（50-y）=90000 21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意 由此可選擇兩種方案：一是購(gòu)A，B兩種電視機(jī)25臺(tái)；二是購(gòu)A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái) （2）若選擇（1）中的方案，可獲利 15025+25015=8750（元） 若選擇（1）中的方案，可獲利 15035+25015=9000（元）9000>8750 故為了獲利最多，選擇第二種方案變式：一牛奶制品廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售鮮奶，每噸可獲利500元；若將鮮奶制成奶粉銷(xiāo)售，每加工1噸鮮奶可獲利2000元；若將鮮奶制成酸奶銷(xiāo)售，每加工1噸鮮奶可獲利1200元。該廠的生產(chǎn)能力是：若專(zhuān)門(mén)生產(chǎn)奶粉，則每天可用去鮮奶1噸；若專(zhuān)門(mén)生產(chǎn)酸奶，則每天可用去鮮奶3噸，由于受設(shè)備和人員的限制，奶粉和酸奶不能同時(shí)生產(chǎn)，為保證生產(chǎn)質(zhì)量，這批鮮奶必須在不超過(guò)4天的時(shí)間內(nèi)全部銷(xiāo)售或加工完畢，請(qǐng)問(wèn)：你能設(shè)計(jì)出哪幾種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案獲利最大，最大利潤(rùn)是多少？ 解：生產(chǎn)方案如下： （1） 將9噸鮮奶全部制成酸奶，則可獲利12009=10800（元）。 （2） 4天內(nèi)全部生產(chǎn)奶粉，則有鮮奶得不到加工而浪費(fèi)，且利潤(rùn)僅為 20004=80000（元） （3） 4天中，用x天生產(chǎn)酸奶，用(4-x)天生產(chǎn)奶粉，并保證9噸鮮奶如期加工完畢。 由題意，得3x+（4-x）1=9 解得 x=2.5 4-X=1.5(天) 故在4天中,用2.5天生產(chǎn)酸奶,用1.5天生產(chǎn)奶粉,則2.531200+1.512000=12000(元)答：第3種方案獲利最大，最大利潤(rùn)為12000元。 考點(diǎn)3：一元一次方程在工程問(wèn)題上的應(yīng)用 例1：加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問(wèn)乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？解：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 +=1 x =8 答：乙需要工作8天后再繼續(xù)加工才可以正好按期完成任務(wù)。變式：一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開(kāi)需10小時(shí)注滿一池水，乙單獨(dú)開(kāi)需6小時(shí)注滿一池水，丙單獨(dú)開(kāi)15小時(shí)放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開(kāi)，需多少時(shí)間注滿水池？解：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為、（進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)小時(shí)可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、，由三水管完成整體工作量1，有 +1 x = 5答：需5小時(shí)注滿水池。 四、隨堂練習(xí)：練習(xí)1：汽車(chē)從A地到B地，若每小時(shí)行駛40km，就要晚到半小時(shí)：若每小時(shí)行駛45km，就可以 早到半小時(shí)。求A、B 兩地的距離。分析：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問(wèn)題，我們通常都稱(chēng)其為“先后問(wèn)題”。在這類(lèi)問(wèn)題中主要考慮時(shí)間量，考察兩者的時(shí)間關(guān)系，從相隔的時(shí)間上找出相等關(guān)系。解：設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)；速度為45 km/小時(shí)，則時(shí)間為小時(shí)，又早到與晚到之間相隔1小時(shí)，故有 = 1 x = 360 練習(xí)2：收割一塊麥地，每小時(shí)割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)割完。收割了后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來(lái)的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工。求這塊麥地有多少畝？解：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時(shí)，割完x畝預(yù)計(jì)時(shí)間為小時(shí)，收割畝工作時(shí)間為/4=小時(shí)；改用新式工具后，工作效率為1.54=6畝/小時(shí)，割完剩下畝時(shí)間為/6=小時(shí)，則實(shí)際用的時(shí)間為（+）小時(shí)，依題意“比預(yù)計(jì)時(shí)間提前1小時(shí)完工”有（+）=1 x =36答：這塊麥地有36畝。練習(xí)3：某商店先在廣州以每件15元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種商品10件，后來(lái)又到深圳以每件12.5元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷(xiāo)售這種商品時(shí)，要獲利12，那么這種商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定多少？解：設(shè)銷(xiāo)售價(jià)每件x 元，銷(xiāo)售收入則為（10+40）x元，而成本（進(jìn)價(jià)）為（510+4012.5），利潤(rùn)率為12，利潤(rùn)為（510+4012.5）12。由關(guān)系式有（10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12 x=14.56答：這種商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)該定14.56元。 五、課堂小結(jié)： 這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容呢？ 1、如何利用一元一次方程解決實(shí)際生活中的行程問(wèn)題； 2、如何利用一元一次方程解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)問(wèn)題； 3、如何利用一元一次方程解決實(shí)際生活中的工程問(wèn)題。 六、課后習(xí)題： 1、國(guó)家規(guī)定存款利息的納稅辦法是：利息稅=利息20，銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率為1.98，今年小剛?cè)〕鲆荒甑狡诘谋窘鸺袄r(shí)，繳納了3.96元利息稅，則小剛一年前存入銀行的錢(qián)為 .2、某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價(jià)七五折出售，則賠25元，而按定價(jià)的九折出售將賺20元。問(wèn)這種商品的定價(jià)是多少？3、甲、乙兩人從相距為180千米的A，B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車(chē)，乙騎摩托車(chē)，沿同一條路線相向勻速行駛.已知甲的速度為15千米/時(shí)，乙的速度為45千米/時(shí).經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩人相遇？4、小明把壓歲錢(qián)按定期一年存入銀行.到期支取時(shí)，扣除利息稅后小明實(shí)得本利和為507.92元.問(wèn)小明存入銀行的壓歲錢(qián)有多少元？5、 小明，小穎二人分別后，沿著鐵軌反向而行，此時(shí)，一列火車(chē)勻速地向小明迎面駛來(lái)，列車(chē)在小明身旁開(kāi)過(guò)，用了15秒；然后在小穎身旁開(kāi)過(guò)用了17秒.已知兩.人的步行速度都是3.6千米4,時(shí)，問(wèn)這列火車(chē)有多長(zhǎng)? 6、某工廠現(xiàn)有某種原料庫(kù)存1200噸，可以用來(lái)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品需這種原料2噸，生產(chǎn)費(fèi)用1000元；每生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品需這種原料2.5噸，生產(chǎn)費(fèi)用900元.可用來(lái)生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的資金為53萬(wàn)元.問(wèn)A，B兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少?lài)嵅拍苁箮?kù)存原料和資金恰好用完? 答案：1、1000元 2、300元 3、3小時(shí) 4、500元 5、255米 6、A種產(chǎn)品生產(chǎn)350噸，B種產(chǎn)品生產(chǎn)200噸.