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蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.4直線與圓的位置關(guān)系.ppt

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蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.4直線與圓的位置關(guān)系.ppt

能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系/能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程,判斷兩圓的位置關(guān)系/利用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題/初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想【命題預(yù)測(cè)】這部分知識(shí)是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn),主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、軌跡問(wèn)題及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,第4課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,【應(yīng)試對(duì)策】1代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法,在使用這兩種方法時(shí)要正確進(jìn)行選擇如果是直線和圓相切的問(wèn)題,通??梢岳脠A心到直線的距離和半徑的關(guān)系進(jìn)行判斷;但是直線和圓相交的問(wèn)題通常使用代數(shù)法進(jìn)行解決,在求出弦長(zhǎng)之后再結(jié)合實(shí)際圖形來(lái)解決,特別是利用相關(guān)的直角三角形可以降低運(yùn)算量研究直線與圓的位置關(guān)系時(shí),要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn),這個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)并運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想,這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題時(shí)要注意作圖的準(zhǔn)確性,分類討論時(shí)要做到不重、不漏在對(duì)含有參數(shù)的直線和圓的方程進(jìn)行判斷時(shí),還可以通過(guò)分析直線與圓是否過(guò)定點(diǎn)進(jìn)行判斷,從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.,2判定兩圓位置關(guān)系的難點(diǎn)在于求圓心距及兩圓半徑,一般把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出兩圓圓心,代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出圓心距,然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可有時(shí)候也可以根據(jù)兩圓的實(shí)際圖形及圓的弦所具有的性質(zhì)進(jìn)行判定,但是無(wú)論如何最好先把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,再進(jìn)行下一步的分析對(duì)于求兩圓的切線問(wèn)題通常是根據(jù)實(shí)際圖形,利用代數(shù)與幾何知識(shí)相結(jié)合的方法進(jìn)行求解判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)先求圓的半徑和圓心坐標(biāo),再求兩圓的圓心距,最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對(duì)值的大小關(guān)系兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個(gè)圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的,消去二次項(xiàng)后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程,3過(guò)圓外一點(diǎn)的切線必有兩條,無(wú)論用幾何法還是代數(shù)法,當(dāng)求得的值只有一個(gè)時(shí),則另一條的切線斜率一定不存在,可由數(shù)形結(jié)合法求出確定兩圓的公切線的條數(shù),首先應(yīng)判斷兩圓的位置關(guān)系,從而防止漏解一般地,當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)有一條公切線,外切時(shí)有三條公切線,相交時(shí)有兩條公切線,外離時(shí)有四條公切線,內(nèi)含時(shí)無(wú)公切線切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì)在解題中有著廣泛的運(yùn)用掌握?qǐng)A心距和兩圓半徑的關(guān)系以及圓的平面幾何性質(zhì)對(duì)于解決圓的問(wèn)題起到很重要的作用涉及與圓的弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí),為簡(jiǎn)化運(yùn)算,常利用半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行解題,與圓有關(guān)的最值問(wèn)題解直線與圓的最值問(wèn)題主要有以下兩種思路:(1)代數(shù)法:利用平面幾何中的有關(guān)公式,構(gòu)造函數(shù),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解在轉(zhuǎn)化過(guò)程中常用到向量的數(shù)量積、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識(shí)和方法(2)幾何法:找到所求式的幾何意義,在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系,分析其與圓的位置變化情況,找到最大、最小取值點(diǎn),【知識(shí)拓展】,例如:已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y22,求的最大值此題條件方程“x2y22”的幾何意義是點(diǎn)P(x,y)為圓x2y22上的點(diǎn),則就表示過(guò)點(diǎn)P(x,y)和點(diǎn)M(2,2)的直線的斜率顯然當(dāng)直線MP與圓x2y22相切時(shí),kMP取最值如果要求xy的最值,令xyb,則yxb,那么b表示斜率為1的直線與圓x2y22相交或相切時(shí)直線的縱截距,只要作出圖象即可求出最值,1直線與圓的位置關(guān)系,0,2,2.圓與圓的位置關(guān)系,1(2010栟茶高級(jí)中學(xué)學(xué)情分析)不論k為何實(shí)數(shù),直線ykx1與曲線x2y22axa22a40恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案:1a3,2若直線5x12yc0與圓(x1)2(y1)29相切,則c的值為_(kāi)解析:由題意可得3,c22或c56.答案:22或56,3經(jīng)過(guò)兩圓x2y22x2y70和x2y24x4y80的兩個(gè)交點(diǎn)的直線的方程是_解析:兩圓的方程相減得6x6y10,即6x6y10.此方程表示的曲線過(guò)兩個(gè)圓的交點(diǎn)因此,6x6y10為所求直線方程答案:6x6y10,4若兩圓x2y24與x2y22axa210相內(nèi)切,則a_.解析:圓x2y22axa210可寫成(xa)2y21.兩圓的半徑分別為2,1,兩圓的圓心距為|a|.兩圓內(nèi)切,|a|21,a1.答案:1,5直線xy20截圓x2y24所得劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為_(kāi)解析:圓心到直線xy20的距離為|OH|,由|OA|2,得cosAOH.AOH30,AOB60.答案:60,直線l:AxByC0(A、B不同時(shí)為零)與圓(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法有:(1)幾何方法:圓心(a,b)到直線AxByC0的距離d,dr直線與圓相離(2)代數(shù)方法:由消元,得到的一元二次方程的判別式為,則>0直線與圓相交;0直線與圓相切;0)有公共點(diǎn),則nm的值為_(kāi)答案:10,1求圓的切線一般有兩種方法,第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來(lái)求切線,這種方法較常用,第二種方法是利用判別式法2處理圓的弦長(zhǎng)的問(wèn)題常用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系來(lái)求,也可以利用公式:弦長(zhǎng)|x1x2|(其中k為弦所在直線的斜率,x1,x2為弦的端點(diǎn)的橫坐標(biāo))來(lái)求,【例3】求與圓C:x2y22x0外切,與直線xy0相切于點(diǎn)(3,)的圓的方程思路點(diǎn)撥:采用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解:圓C可化為(x1)2y21,設(shè)所求圓的圓心為A(a,b),半徑為r(r0),則點(diǎn)A滿足在過(guò)點(diǎn)(3,)且與xy0垂直的直線上,即y=(x3),,化簡(jiǎn)得r2|a3|,當(dāng)a3時(shí),r2(a3),代入解得a4,則b0,r2,所求圓的方程為(x4)2y24,當(dāng)a3時(shí),r2(3a),代入解得a0,則b4,r6,所求圓的方程為x2(y4)236,所以,所求圓的方程為(x4)2y24或x2(y4)236.,變式3:已知兩圓x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切?(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)求m45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)解:兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211,(x5)2(y6)261m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為和.,(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5,故只有5,解得m2510.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0,即4x3y230,公共弦長(zhǎng)為2.,1根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求弦長(zhǎng),一般不用判別式,而是用圓心到直線的距離與半徑大小關(guān)系求解2要注意數(shù)形結(jié)合,充分利用圓的性質(zhì),如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑”“兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線”等等,尋找解題途徑,減少運(yùn)算量,【規(guī)律方法總結(jié)】,3圓與直線l相切的情形圓心到l的距離等于半徑,圓心與切點(diǎn)的連線垂直于l.4圓與直線l相交的情形圓心到l的距離小于半徑,過(guò)圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦;連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦;過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,最短的是垂直于過(guò)此點(diǎn)的直徑的那條弦,最長(zhǎng)的是過(guò)這點(diǎn)的直徑在解有關(guān)圓的解析幾何題時(shí),主動(dòng)地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路,避免冗長(zhǎng)的計(jì)算,【高考真題】【例4】(2009天津卷)若圓x2y24與圓x2y22ay60(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2,則a_.分析:求出兩圓的公共弦所在的直線方程,根據(jù)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)公式列方程求解,規(guī)范解答:兩個(gè)圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y,則圓心(0,0)到直線的距離d,根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)之間的關(guān)系,可得22,又a>0,解得a1.故填1.答案:1,本題給出兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng),說(shuō)明第二個(gè)圓也是定圓,通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識(shí),考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,是一道知識(shí)考查與能力考查并重的試題這類題目也是對(duì)教材題目的適當(dāng)改造,本題設(shè)置了參數(shù),問(wèn)題實(shí)質(zhì)沒(méi)有變化解決這類問(wèn)題的一個(gè)基本方法就是求出兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程,根據(jù)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)公式解決,【課本探源】,【全解密】,兩個(gè)圓的位置關(guān)系兩圓的圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,圓心距|O1O2|d,則兩圓外離d>r1r2;兩圓外切dr1r2;兩圓相交|r1r2|<d<r1r2;兩圓內(nèi)切d|r1r2|;兩圓內(nèi)含0d0)的圓心到公共弦的距離為d2,則d2,兩個(gè)圓的圓心距等于a,而兩圓的圓心距要么等于d1d2,要么等于|d1d2|,顯然本題中兩個(gè)圓的圓心距等于d2d1,即1a,解得a1.本題容易忽視限制條件得到a1,或是出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤等.,【發(fā)散思維】,1判斷圓C1:x2y22x6y260與圓C2:x2y24x2y40的公切線條數(shù)分析:兩圓的公切線條數(shù)是由兩圓的位置關(guān)系決定的,所以,解決此類題目的關(guān)鍵是判斷兩圓的位置關(guān)系,解:將圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程:(x1)2(y3)236,得圓心坐標(biāo)C1(1,3),半徑r16.將圓C2化為標(biāo)準(zhǔn)方程:(x2)2(y1)21,得圓心坐標(biāo)C2(2,1),半徑r21.|C1C2|5,又|C1C2|r1r2|5,即兩圓內(nèi)切圓C1與圓C2有一條公切線,2某河上有一座圓拱橋,其跨度為30m,圓拱高為5m,一船寬為10m,上載有貨物,水面到船頂高為4m,問(wèn):該船能否順利通過(guò)此橋?分析:該船能否順利通過(guò)此橋,就是看點(diǎn)A(5,4)在圓上,還是在圓內(nèi),因此,需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,根據(jù)題中的條件,求出圓的方程,解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則圓心在y軸上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為r,則圓的方程為x2(ya)2r2,代入點(diǎn)(0,5),(15,0),得該圓的方程為x2(y20)2625.船寬10m,高4m,所以,判斷該船能否通過(guò)此橋,即判斷點(diǎn)A(5,4)與圓的位置關(guān)系52(420)2601<625,點(diǎn)(5,4)在圓內(nèi),即該船能順利通過(guò)此橋,

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