蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件8.3圓的方程.ppt

掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)給定的點(diǎn)、圓的方程，判斷直線和圓的位置關(guān)系，能用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想【命題預(yù)測(cè)】圓的方程是歷年來(lái)高考的一個(gè)考點(diǎn)，利用定義和性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)、解析幾何的基本思想，將所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化后求解，是今后高考命題的方向,第3課時(shí)圓的方程,【應(yīng)試對(duì)策】1圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a，b，r三個(gè)量確定了且r>0，圓的方程就給定了，這就是說(shuō)要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件注意，確定a，b，r可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)求出當(dāng)二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0具有以下條件時(shí)，它才表示圓：(1)x2和y2的系數(shù)相同，不等于零，即AC0；(2)沒(méi)有xy項(xiàng)，即B0；(3)D2E24AF>0.條件(3)通過(guò)將方程兩邊同除以A或C并配方不難得出,2一般來(lái)說(shuō)，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無(wú)直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程圓的一般方程中要加限制條件D2E24F>0.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程；(3)解方程組，求出a，b，r或D，E，F(xiàn)的值，代入所設(shè)方程，就得到要求的方程,3根據(jù)條件選擇圓方程的適當(dāng)形式，并會(huì)利用待定系數(shù)法進(jìn)行圓的方程的求解，同時(shí)，解答圓的問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的平面幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化計(jì)算,【知識(shí)拓展】1圓系方程(1)同心圓系：圓心為(x0，y0)的圓系方程為：(xx0)2(yy0)2r2(r>0)(2)過(guò)兩圓C1：x2y2D1xE1yF10及C2：x2y2D2xE2yF20的公共點(diǎn)的圓系方程為：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0其中若1，則此方程表示過(guò)兩圓C1與C2的交點(diǎn)的圓；當(dāng)1，則此方程表示過(guò)兩圓C1與C2交點(diǎn)的直線,(3)過(guò)直線l：AxByC0與圓C：x2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程為：x2y2DxEyF(AxByC)0.利用圓系可以站在較高的角度來(lái)把握有些問(wèn)題,1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(xa)2(yb)2r2(r>0)叫做以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2圓的一般方程方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)叫做其圓心為，半徑為.,(a，b),圓的一般方程,r,3確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：(1)；(2)；(3),根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組,解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,探究：用待定系數(shù)法求圓的方程，如何根據(jù)已知條件選擇圓的方程？提示：當(dāng)條件中給出的是圓上幾點(diǎn)坐標(biāo)，較適合用一般式，通過(guò)解三元一次方程組求相應(yīng)系數(shù)；當(dāng)條件中給出的是圓心坐標(biāo)或圓心在某條直線上、圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)等條件，適合用標(biāo)準(zhǔn)式，對(duì)于有些題，設(shè)哪種形式都可以，這就要求根據(jù)條件具體問(wèn)題具體分析,4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系：(1)當(dāng)(x0a)2(y0b)2>r2時(shí)，則；(2)當(dāng)(x0a)2(y0b)2r2時(shí)，則；(3)當(dāng)(x0a)2(y0b)2<r2時(shí)，則,點(diǎn)P在圓外,點(diǎn)P在圓上,點(diǎn)P在圓內(nèi),1已知A(4，5)、B(6，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是_解析：所求圓的圓心是(1，3)，半徑是.圓的方程是(x1)2(y3)229.答案：(x1)2(y3)229,2點(diǎn)P(5a1,12a)在圓(x1)2y21的內(nèi)部，則a的取值范圍是_解析：P在圓的內(nèi)部，P到圓心的距離小于半徑，<1.<a<.答案：<a0，解得k>4或k4或k0)，由三個(gè)條件得到關(guān)于D、E、F的一個(gè)三元一次方程組，解方程組確定D、E、F的值,【例1】求與x軸相切，圓心在直線3xy0上，且被直線xy0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程思路點(diǎn)撥：因題中涉及圓心及切線，故設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形式解題較簡(jiǎn)單解：設(shè)所求的圓的方程是(xa)2(yb)2r2，則圓心(a，b)到直線xy0的距離為，r2()2()2，,即2r2(ab)214由于所求的圓與x軸相切，r2b2又因?yàn)樗髨A心在直線3xy0上，3ab0聯(lián)立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圓的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.,變式1：根據(jù)下列條件求圓的方程：(1)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)P(1,1)，并且圓心在直線2x3y10上；(2)已知一圓過(guò)P(4，2)，Q(1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求圓的方程,解：(1)顯然，所求圓的圓心在OP的垂直平分線上，OP的垂直平分線方程為：，即xy10.解方程組，得圓心C的坐標(biāo)為(4，3)又圓的半徑r|OC|5，以所求圓的方程為(x4)2(y3)225.,(2)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得令中的x0，得y2EyF0由已知|y1y2|4，其中y1、y2是方程的兩根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48解組成的方程組得D2，E0，F(xiàn)12或D10，E8，F(xiàn)4，故所求圓的方程為x2y22x120或x2y210 x8y40.,1求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題多采用幾何法，就是利用一些代數(shù)式的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化如(1)形如m的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題；(2)形如taxby的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為直線在y(或x)軸上的截距的最值問(wèn)題；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離平方的最值問(wèn)題2特別要注意下面兩個(gè)代數(shù)式的幾何意義：表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的直線斜率，表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離,【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值,解：原方程化為(x2)2y23，表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓，(1)設(shè)k，即ykx，當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值和最小值，此時(shí)，解之得k.故的最大值為，最小值為.(2)設(shè)yxb，即yxb，當(dāng)yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值和最小值，此時(shí)，即b2.故yx的最大值為2，最小值為2.,(3)x2y2表示圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知它在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.,變式2：已知點(diǎn)P(x，y)是圓(x2)2y21上任意一點(diǎn)(1)求P點(diǎn)到直線3x4y120的距離的最大值和最小值；(2)求x2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值解：(1)圓心C(2,0)到直線3x4y120的距離為dP點(diǎn)到直線3x4y120的距離的最大值為dr1，最小值為dr1.,(2)設(shè)tx2y，則直線x2yt0與圓(x2)2y21有公共點(diǎn)，1.2t2，tmax2，tmin2.故x2y的最大值為2，最小值為2.(3)設(shè)k，則直線kxyk20與圓(x2)2y21有公共點(diǎn)，,求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題，充分利用圓的幾何特征，借助圖形，尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件【例3】(2010山東煙臺(tái)模擬)過(guò)點(diǎn)A(a,0)引圓x2y2a2的弦交圓于P1點(diǎn)，求弦P1A的中點(diǎn)M的軌跡方程思路點(diǎn)撥：有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，大多利用中點(diǎn)與圓心連線垂直于弦的性質(zhì)解決,解：如右圖，M是弦AP1的中點(diǎn)，OMAM，M在以O(shè)A為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則M滿足2y2.M在圓x2y2a2的內(nèi)部，xa，故弦P1A的中點(diǎn)M的軌跡方程為2y2(xa),變式3：由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2y21引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，APB60，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)解析：由題意可知，OA1，APB60APO30，則PO2，設(shè)P(x，y)，則2x2y24.答案：x2y24,【規(guī)律方法總結(jié)】1求一個(gè)圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，待定系數(shù)法是求圓的方程的基本方法，應(yīng)熟練掌握，如果由已知條件易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要圓心坐標(biāo)列方程，常選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果所求圓與圓心、半徑關(guān)系不密切時(shí)(如已知圓過(guò)三點(diǎn)等條件)，常選用圓的一般方程2與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題，可根據(jù)題設(shè)條件選擇適當(dāng)方法(如直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法等)，有時(shí)還需要結(jié)合其他方法，如交軌法、消參法,3處理有關(guān)圓的問(wèn)題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化.,【例4】求圓心在直線5x3y8上，且與兩坐標(biāo)軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【錯(cuò)因分析】本題可以設(shè)出圓心坐標(biāo)、圓的半徑，通過(guò)建立方程組解決圓與兩坐標(biāo)軸相切實(shí)際上是給出了圓心和半徑所滿足的兩個(gè)幾何條件，即圓心到坐標(biāo)軸的距離等于圓的半徑并且圓心的縱橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，本題容易出錯(cuò)的地方就是把這個(gè)條件理解錯(cuò)，以為只要圓心的縱橫坐標(biāo)相等即可，這樣就漏掉了一個(gè)解,【答題模板】解：設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2.圓與兩坐標(biāo)軸相切，ab，r|a|.又圓心(a，b)在直線5x3y8上，5a3b8，,所求圓的方程為：(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.,【狀元筆記】確定圓的要素是圓心和半徑，求圓的方程時(shí)只要把圓心和半徑求出來(lái)即可，一般是根據(jù)題目給出的已知條件通過(guò)聯(lián)立關(guān)于圓心坐標(biāo)和半徑的方程組解決解題時(shí)注意把幾何條件轉(zhuǎn)化為方程組時(shí)要準(zhǔn)確無(wú)誤，幾何條件和代數(shù)方程要等價(jià)，在列出方程組后，解方程組要準(zhǔn)確，防止計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).,1已知兩點(diǎn)P1(4,9)和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程分析：方法一：從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)法解決方法二：直接利用結(jié)論寫(xiě)出圓的方程,解：解法一：設(shè)圓心C(a，b)，半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得a5，b6.又由兩點(diǎn)間的距離公式得r|CP1|，所求圓的方程為(x5)2(y6)210.解法二：以P1P2為直徑的圓的方程為(x4)(x6)(y9)(y3)0，即(x5)2(y6)210.,2已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490表示圓(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求該圓半徑r的取值范圍；(3)求圓心的軌跡方程分析：(1)已知方程是圓，則滿足D2E24F>0，利用此不等式可列出關(guān)于m的不等式，從而求出m的取值范圍；(2)利用公式求出半徑r，再利用二次函數(shù)求出r的取值范圍；(3)利用圓心的公式求出圓心的坐標(biāo)，再消去參數(shù)m，即得圓心的軌跡方程,解：(1)由D2E24F>0即4(m3)24(14m2)24(16m49)>0，所以<m<1.(3)設(shè)圓心C(x，y)，則有消去m可得y4(x3)21，因?yàn)?lt;m<1，所以<x<4，故所求的軌跡方程為y4(x3)21.,