蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件11.1合情推理與演繹推理.ppt

理解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用/了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行簡單推理/了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異,第十一知識塊推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1課時合情推理與演繹推理,合情推理與演繹推理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考重點考查的內(nèi)容之一，幾乎每年都有涉及，主要以填空題的形式出現(xiàn)，考查歸納推理和類比推理的運用以及同學(xué)們的邏輯推理能力,【命題預(yù)測】,1在歸納推理中，前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，在前提真實的情況下，結(jié)論未必真運用歸納推理的一般步驟是：首先，通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；然后，把這種相似性推廣為一個明確表述的一般規(guī)律(猜想)；最后，對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗2運用類比推理，不僅可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的對比，而且可以比較事物的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，同時，類比推理比歸納推理更富有想象，因而也更具有創(chuàng)造性在進(jìn)行類比時要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表現(xiàn)象迷惑，否則，只抓住一點表面的相似甚至假象就去類比，就會犯機(jī)械類比的錯誤,【應(yīng)試對策】,3演繹推理是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得到的結(jié)論就正確在數(shù)學(xué)中，合情推理為我們猜想、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律提供依據(jù)和方法，演繹推理用于證明這些猜想、發(fā)現(xiàn)是否為真，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想4在推理論證的過程中，一個稍復(fù)雜的證明題經(jīng)常要由幾個三段論式才能完成，大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的小括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采取某種簡明的格式,合情推理的應(yīng)用合情推理主要包括歸納推理和類比推理在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向(2)合情推理的過程概括為：,【知識拓展】,(3)合情推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)在能力高考的要求下，推理方法顯得更加重要在復(fù)習(xí)中要把推理方法形成自己的解決問題的意識，使得問題的解決有章有法，得心應(yīng)手,注意(1)歸納推理分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識功能，對科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一(2)類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如我們拿分式同分?jǐn)?shù)來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)真理,1歸納推理(1)歸納推理的定義從個別事實中推演出的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理(2)歸納推理的思維過程大致如圖,一般,2類比推理(1)根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也具有相同或，這樣的推理稱為類比推理(2)類比推理的思維過程是：思考：歸納推理和類比推理的特點與區(qū)別是什么？提示：兩種推理的特點與區(qū)別：類比推理和歸納推理的結(jié)論都是有待于證明的歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理,相似的性質(zhì),3演繹推理(1)演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，按照嚴(yán)格的步驟得到的推理過程(2)主要形式是三段論式推理(3)三段論的常用格式為MP(M是P),新結(jié)論,SP(S是P)其中，是，它提供了一個一般性的原理；是，它指出了一個特殊對象；是，它是根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷,SM(S是M),大前提,小前提,結(jié)論,1(江蘇省高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)已知如下結(jié)論：“等邊三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和等于此三角形的高”，將結(jié)論拓展到空間中的正四面體(棱長都相等的三棱錐)，可得出的正確結(jié)論是：_.答案：正四面體內(nèi)任意一點到各個面的距離之和等于此正四面體的高,2“金導(dǎo)電、銀導(dǎo)電、銅導(dǎo)電、錫導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電”此推理方法是_解析：由特殊到一般的推理答案：歸納推理,3把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖)：試求第七個三角形數(shù)是_解析：第七個三角形數(shù)為：123456728.答案：28,4一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為_答案：一切奇數(shù)都不能被2整除，(大前提),21001是奇數(shù)，(小前提)，21001不能被2整除(結(jié)論),5函數(shù)f(x)由下表定義：若a11，a25，an2f(an)(nN)，則a2011的值是_解析：a11，a25，an2f(an)(nN)，a3f(a1)f(1)3，a4f(a2)f(5)1，a5f(a3)f(3)5，由此可知，數(shù)列an是以3為周期的數(shù)列，a2011a67031a11，故應(yīng)填1.答案：1,1歸納推理的特點：(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或試驗的基礎(chǔ)之上的2歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題,解：在an中，a11，a2，a3，a4，所以猜想an的通項公式an.證明如下：因為a11，an1，所以，即，所以是以1為首項，公差為的等差數(shù)列，所以，所以通項公式an.,【例1】在數(shù)列an中，a11，an1，nN*，猜想這個數(shù)列的通項公式思路點撥：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項公式,變式1：(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個數(shù)為_,解析：前20行共有正奇數(shù)13539202400(個)，則第21行從左向右的第5個數(shù)是第405個正奇數(shù)，所以這個數(shù)是24051809.答案：809,1類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：(1)找出兩類事物之的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)2類比是科學(xué)研究最普遍的方法之一在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的,【例2】已知圓的方程是x2y2r2(r0)，則經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0 xy0yr2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓1(ab0)類似的性質(zhì)為_,思路點撥：由圓的切線方程與圓的方程的對比，猜想橢圓上一點的切線方程,過橢圓上一點P(x0，y0)的切線方程為1.答案：過橢圓1(ab0)上一點P(x0，y0)的切線方程1,解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換故可得橢圓1類似的性質(zhì)為：,M2與點N1、N2，則三角形面積之比為：若從點O所作的不在同一個平面內(nèi)的三條射線OP、OQ和OR上分別有點P1、P2與點Q1、Q2和R1、R2，則類似的結(jié)論為：_.答案：,變式2：(江蘇靖江調(diào)研)若從點O所作的兩條射線OM、ON上分別有點M1、,在數(shù)學(xué)中，合情推理為我們猜想、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律提供依據(jù)和方法，演繹推理則用于證明這些猜想、發(fā)現(xiàn)是否為真，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理，因此，我們不僅要學(xué)會證明，而且也要學(xué)會猜想,【例3】如圖，已知O是ABC內(nèi)任意一點，連接AO，BO，CO，并延長交對邊于A，B，C，則.這是平面幾何中的一個結(jié)論，其證明常采用“面積法”：.運用類比推理猜想，對于空間中的四面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論，并用“體積法”證明,思路點撥：將邊長擴(kuò)展為面積，將面積擴(kuò)展為體積，即可得到一個類似的結(jié)論和證法,解：如圖，設(shè)O為四面體VBCD內(nèi)任意一點，連接VO，BO，CO，DO，并延長交對面于V，B，C，D.類比關(guān)系為.類比平面幾何中的“面積法”，可用“體積法”來證明(其中h，h為兩個四面體的高)，同理，,變式3：在ABC中，ABAC，ADBC于D，求證：，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由,證明：圖(1)如圖(1)所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，又BC2AB2AC2，所以,猜想：類比ABAC，ADBC猜想四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD，則,如圖(2)，連接BE交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，在RtACD中，AFCD，.故猜想正確,1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為：,【規(guī)律方法總結(jié)】,3演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行4合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)；5在數(shù)學(xué)中，證明命題的正確性都是使用演繹推理，而合情推理不能用作證明.,【例4】在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，P為三角形內(nèi)任一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：把它類比到空間，寫出三棱錐中的類似結(jié)論_,【錯因分析】,從平面到空間的類比時缺乏對應(yīng)特點的分析，在三角形中是其內(nèi)一點到各邊的距離與該邊上的高的比值之和等于1，類比到空間就應(yīng)該是三棱錐內(nèi)一點到各個面的距離與該面上高的比值之和等于1.本題如果不考慮比值的特點，就可能誤以為類比到空間后是面積之比等，從而得到一些錯誤的類比結(jié)論,【答題模板】,解：設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐ABCD四個面上的高，P為三棱錐ABCD內(nèi)任一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是我們可以得到結(jié)論：,【狀元筆記】,類比推理是一種由此及彼的合情推理，“合乎情理”是這種推理的特征，一般的解答思路是進(jìn)行對應(yīng)的類比，如平面上的三角形對應(yīng)空間的三棱錐(四面體)，平面上的面積對應(yīng)于空間的體積等類比推理得到的結(jié)論不一定正確，故這類題目在得到類比的結(jié)論后，還要對類比結(jié)論的正確性作出證明，例如本題中在三角形中的結(jié)論是采用等面積法得到的，在三棱錐中就可以根據(jù)等體積法得到，這樣不但寫出了類比的結(jié)論，并且這個結(jié)論還是一個正確的結(jié)論.,1若記號“”表示兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算，即則兩邊均含有運算符號“”和“”，且對于任意三個實數(shù)a，b，c都能成立的一個等式可以是_,分析：由于本題是探索性和開放性問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索過程，并且答案不唯一,2指出下列推理的兩個步驟分別遵循哪種推理規(guī)則：如右圖，四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，BCAD.又ABC和CDA的三邊對應(yīng)相等，ABCCDA.分析：在推理論證的過程中，一個稍復(fù)雜的證明題經(jīng)常要由幾個三段論式才能完成，大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時也可以省去，而采用某種簡明的推理格式,解：這個證明過程包含著兩個三段論推理，在第一個推理中，暗示著一個一般性原理“平行四邊形的對邊相等”，這個已被證明了的一般定理是大前提，“四邊形ABCD是平行四邊形”是小前提，把一般性原理用于前面的具體情況，于是得到結(jié)論“ABCD，BCAD”；在第二個推理中，大前提是已被證明了的一般定理“有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，小前提是ABCD，BCAD，ACCA，結(jié)論是ABCCDA.,