【志鴻優(yōu)化設計】2013-2014學年七年級數(shù)學上冊第1章1正數(shù)和負數(shù)例題與講解滬

1.1正數(shù)和負數(shù)1相反意義的量(1)生活中存在大量具有相反意義的量生活中，有許許多多具有相反意義的詞語，例如向東和向西、西北和東南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和虧本、買進和賣出等.生活中 存在著數(shù)不清的具有相反意義的量，如前進3 m與后退5 m，收入300元與支出80元等.(2)具有相反意義的量的特點1具有相反意義的量是成對出現(xiàn)的，單獨一個量不能成為相反意義的量；2與一個量成相反意義的量不止一個，如與上升2 m成相反意義的量就很多，如：下降1 m,下降0.2 m等；3相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義相反；二是它們都具有數(shù)量.如前進8m與前進5m,上升與下降都不是相反意義的量，因為前者意義不相反，后者缺少數(shù)量；4相反意義的量中的兩個量必須是同類量，如節(jié)約汽油3噸與浪費1噸水就不是具有相反意義的量.(3)應用方法相反意義的量可用正數(shù)和負數(shù)表示.至于哪一種量為正， 可以自由確定，當已知一個量用正數(shù)表示時，與其相反意義的量就用負數(shù)表示，反之亦然.習慣上把“前進、上升、零上 溫度、增加”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、零下溫度、減少”等規(guī)定為負.談重點對相反意義的量的理解表示相反意義的量必須具有相反的意義，且數(shù)量必須帶單位.表示相反意義的量的數(shù)值可以不同.【例1-1】 添上恰當?shù)脑~，使前后構成具有相反意義的量.(1)庫存增加1 000千克與_500千克；(2)商店買進50支鉛筆與_20支鉛筆；(3)股票上漲a元與_b元.解析：所填的詞必須使前后的量具有相反的意義.增加與減少、買進與賣出、上漲與下跌分別具有相反的意義.答案：減少賣出下跌【例1-2(1)如果零上3C記為+3C,那么8C表示的意義是_ ；(2)如果下降3米記為3米，那么上升5米應記為_ ；(3)如果前進5千米，記為+5千米，那么后退6千米應記為 _；支出10元人民幣記賬為一10元，那么+20元表示的意義是 _ ；(5)某倉庫運出貨物20千克記為20千克，那么運進35千克貨物應記為 _.解析：(1)零上3C記作+3C,即“ + ”號表示“零上”，那么與它相反意義的量“零下”就記作“ ”；(2)本小題的“”號表示“下降”，因此，“上升”應記為“ + ”，也就是說，具有 相反意義的兩個量，把其中的一個規(guī)定為正時，那么另一個即為負；(3)(5)小題類似.答案：(1)零下8C(2)+5米(3)6千米(4)收入20元人民幣(5)+35千克析規(guī)律正數(shù)、負數(shù)的實際應用本題中的“零上、上升、前進、收入、運進”表示的量均為正數(shù)，與它們意義相反的量 則都用負數(shù)表示.2.正數(shù)與負數(shù)(1)正數(shù)的概念：為了表示某一問題中具有相反意義的兩種量，我們把其中一種意義的量，如零上溫度、高于海平面高度等規(guī)定為正的，用原來熟悉的數(shù)如1,6,7,9,8 844來表示它們，這樣的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)的前面也可添上正號“ + ”，如+1, +5,+16,通常情況下，正數(shù)前的正號可省略不寫.(2)負數(shù)的概念：把與正數(shù)相反意義的量，如零下溫度、低于海平面高度等規(guī)定為負的，用在正數(shù)前面添上負號“”的數(shù)，如3,14,155來表示它們，這樣的數(shù)叫做負數(shù).(3)關于正數(shù)和負數(shù)的幾點說明1正數(shù)前面的“ + ”號可以省略，如+3前面的“ + ”號可省略不寫；負數(shù)前面的“一”號不能省略，如負5寫作一5.2正數(shù)和負數(shù)是相對而言的，取決于作為基準的量，但一般情況下，人們習慣這樣來規(guī) 定正數(shù)和負數(shù)：收入為正，支出為負；零上為正，零下為負；高出海平面高度為正，低于海平面高度為負.3判斷一個數(shù)是否是負數(shù)，關鍵是看是否正數(shù)前面帶有“-”號，而不是看它是否有 “”號.辨誤區(qū)正、負數(shù)的意義對于正數(shù)和負數(shù)的意義，不能簡單地理解為帶“ + ”號的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號的數(shù)是負數(shù)而應該理解為“所有大于零的數(shù)都是正數(shù)，所有小于零的數(shù)都是負數(shù)”.【例2】 指出下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？1 1 12,+2,35,204, 0.02,+3.65, 5歹分析：根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的意義來判斷，尤其要弄明白負數(shù)的意義：在正數(shù)前面加上“一”號.1 1解：正數(shù)是：+23,3虧,204,+3.65;1負數(shù)是：2, 0.02, 57.3.零的意義(1) 0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，是我們認識的數(shù)中唯一的一個“中性數(shù)”.(2) 0比任何正數(shù)小，比任何負數(shù)大，它是正數(shù)與負數(shù)的分界.(3) 0在計數(shù)時表示“沒有”.(4) 0是表示具有相反意義量的基準數(shù).此時它不能表示沒有.例如：海拔0米的地方表示它與基準的海平面一樣高，收支平衡可記作0元.辨誤區(qū)正確判斷字母表示的數(shù)的性質(zhì)要特別注意：“大于0”是正數(shù)的本質(zhì)，當用字母表示數(shù)時， 不能只看帶不帶“ + ”號， 不要誤認為“a”前面是正號就是正數(shù)， 也不要以為“a”前面帶有“”號就是負數(shù)， 關 鍵是看這個數(shù)是不是大于0.【例3下列說法正確的是().A.零是正數(shù)不是負數(shù)B.零既不是正數(shù)也不是負數(shù)C.零既是正數(shù)也是負數(shù)D.不是正數(shù)的數(shù)一定是負數(shù)，不是負數(shù)的數(shù)-解析：根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的概念，對選項進行一一分析，排除錯誤答案.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).只有B符合.答案：B4.有理數(shù)(1)有理數(shù)的概念整數(shù)包括正整數(shù)、零和負整數(shù)；分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).(2)有理數(shù)的分類1有理數(shù)可以按照它的定義分為整數(shù)和分數(shù)兩類.即2有理數(shù)還可以按照性質(zhì)分為：正有理數(shù)、零和負有理數(shù)三類.即談重點有理數(shù)的分類既是正數(shù)又是整數(shù)的數(shù)是正整數(shù)，既是負數(shù)又是整數(shù)的數(shù)是負整數(shù)，既是正數(shù)又是分數(shù)的數(shù)是正分數(shù)，既是負數(shù)又是分數(shù)的數(shù)是負分數(shù).【例4把下列各數(shù)填在相應的橫線上：正整數(shù)_;正分數(shù)_;負整數(shù)_;負分數(shù)_.解析：先把有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù)兩類，再把正數(shù)分為正整數(shù)和正分數(shù)兩類，把負數(shù)分為負整數(shù)和負分數(shù)兩類，分別填寫在相應的橫線上.1 1答案：80,234,30.7,3.14,335,10麗，0.88, 7.95正確理解具有相反意義的量的意義在實際生活中，常常把零上溫度、上升的高度、收入、買入物品等規(guī)定為正，而把與它 們意義相反的量規(guī)定為負，用負數(shù)表示.引入負數(shù)后，“0”不再僅僅表示沒有，而是正數(shù)和負數(shù)的分界，具有初始位置的意義.(1)相反意義的量基準明確就是說變化過程方向明確，數(shù)量明確，不受其他數(shù)的影響，也不用關 心起始點，此類問題只要規(guī)定好一個方面為正，則另一個方面為負就可以.(2)相反意義的量基準不明確有些數(shù)據(jù)型的量，起點不是以0開始的，則需要把某一個數(shù)值視為基準點0，如平均數(shù)等，以這個基準值為界，以上的記為“ + ”，以下的記為“一”.把具有相反意義的量的表示方法和取“標準”(或“起始”位置)等知識結合在一起，綜合性較強，是近幾年中考的熱點之一.【例51】 某項科學研究，以45分鐘為一個時間單位，并記每天上午10時為0,10時以前記為負，10時以后記為正，例如，9:15記為一1,10:45記為1等等.依次類推， 上午7:00應記為().A. 3B.4 C.2.15D.7.45解析：本題中的標準是上午10時為0，表示方法是10時以前記為負，10時以后記為正， 要求用新規(guī)定來表示7:00.7:00至U 10:00是180分鐘，180-45=4,因為7:00在10:00以前，所以7:00應記為一4.答案：B【例52】一個物體可以左右移動，若規(guī)定向右移動為正，則向右移動10 m應記作，向左移動4 m應記作_ , 8 m表示物體 _,0 m表 示 物 體_，向左移動一2 m就是向_ 移動2 m.解析：正、負數(shù)可以表示具有相反意義的量，若向右記為“正”，那么向左則記為“負”；或者說若正數(shù)表示向“右”，那么負數(shù)表示向“左”，零表示不動.答案：+10 m4 m向左移動8 m原地不動 右【例53】 小王騎車向東走了10千米，又向西走了5千米.怎樣用正負數(shù)表示？解：若規(guī)定向東為正，則小王騎車向東走了10千米，表示為+10千米，向西走了5千米，可表示為5千米；若規(guī)定向西為正，則小王騎車向東走了10千米，表示為10千米，向西走了5千米，可表示為+5千米.6.有理數(shù)的分類有理數(shù)有兩種基本的分類方法，一種分類根據(jù)定義，另一種分類根據(jù)數(shù)的符號，即有理數(shù)的性質(zhì).不論哪種分類形式都要有明確分類的依據(jù)，分類時要做到不重不漏，兩種分類形式不能混淆.必須弄清楚非負數(shù)和非正數(shù)的范圍.正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)；負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，即為自然數(shù)；負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).注意：“小數(shù)”屬于分數(shù)；“自然數(shù)”屬于整數(shù).35,0.7,80,1909，0.8 8,0,3.14,-7.9,234,3 3, 10.在所有含“正”“負”字眼的數(shù)集中，都不能出現(xiàn)“0”.因為“0”既不是正數(shù)也不是負數(shù).【例6】把下列各數(shù)填在相應的括號內(nèi):1133,2, -1,4,0.58,0, -3.141 592 6,0.618, 5.23.Iyj整數(shù)：;負數(shù)：;分數(shù)：;非負有理數(shù)：;負分數(shù)：.答案：整數(shù)：3,2, 1,0,; 1 負數(shù)：3,1,4, 0.58, 3.141 592 6，;；113分數(shù)：4，0.58, 3.141 592 6,0.618,-9,5.23,I非負有理數(shù)：吃,、，1 J負分數(shù)：，一；，一47.正負數(shù)在實際生活中的應用(1)在股票交易中的應用日常生活中水位的變化，股市行情變化，溫度升降等都可以用正數(shù)和負數(shù)表示，不僅能表示出變化的方向，而且還能表示出變化幅度的大小.例如：在股市上，上漲記為+ ”， 下跌記為“ ”，不漲不跌記為“0”.(2)在產(chǎn)品檢測中的應用某一產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，都有一定的指標數(shù)值，而實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，可能在這一標準上 下波動，波動值在規(guī)定的范圍內(nèi)稱為合格，超出了規(guī)定值，則不合格，某糧店出售的某種品牌的面粉袋上標有質(zhì)量為(250.2) kg的字樣，從中可以看出，在這袋面粉中，最多可以超出標準質(zhì)量0.2 kg，最低低于標準質(zhì)量0.2 kg，它的標準值是25 kg.一般把產(chǎn)品的標準 值記為0，在標準值以上的記為正，以下的記為負.解技巧根據(jù)標準數(shù)確定正、負數(shù)抓住標準數(shù)，標準以上記為“ + ”，標準以下記為“-”，即比標準數(shù)量多多少記為 “ + ”的多少，少多少記為“一”的多少.【例71】 股市有風險，投資須謹慎，王先生上周五買進某種股票3 000股，每股16元，下表為本周五個交易日的漲跌情況(單位：元)：星期-一-二二三四五每股漲跌0.81.50.51.10.6相對于前一個交易日，哪天股票是上漲的，哪天是下跌的？ 分析：根據(jù)股票交易表示法，正數(shù)表示上漲，負數(shù)表示下跌. 解：周一、周二、周五這三天是上漲的，周三、周四是下跌的.【例72】 某品牌奶粉標準質(zhì)量是454克，超出2克的記為+2克，若低于標準質(zhì)量3克以上，則視為不合格現(xiàn)抽取10袋進行檢測，結果如下：袋號12345678910記作203435+4+453(1)這10袋中，有幾袋不合格？(2)質(zhì)量最大的是哪袋，實際質(zhì)量是多少？(3)質(zhì)量最小的是哪袋，實際質(zhì)量是多少？分析：此題是在基準數(shù)的 基礎上波動，所以在基準數(shù)的基礎上加減.解：(1)有3袋不合格，分別是第4袋、第6袋和第9袋.(2)質(zhì)量最大的是第7,8袋，實際質(zhì)量均是454+4=458(克)；0.58, 3.141 592 6130,0.618，石，5.23,(3)質(zhì)量最小的是第6,9袋，實際質(zhì)量均為4545=449(克).，8.按規(guī)律排列的有理數(shù)當數(shù)的范圍擴大到有理數(shù)之后，按一定的規(guī)律排列有理數(shù)，就成為考查有理數(shù)的意義以 及分類的有效手段，并且成為中考命題的熱點.研究數(shù)學、學習數(shù)學、應用數(shù)學的過程，實際上就是探索、研究數(shù)學規(guī)律并運用數(shù)學規(guī)律的過程.解決此類問題的關鍵是建立數(shù)與它的序號之間的關系，其中數(shù)的符號是首先要考慮的， 數(shù)的符號一般由數(shù)的序號的奇、偶性來決定.對于數(shù)字規(guī)律性問題，我們要注意觀察各部分數(shù)字的變化規(guī)律以及各數(shù)字之間的關 系.解這一類題目，要用到歸納推理，它是一種重要的數(shù)學思想方法.數(shù)學史上有很多重要的發(fā)現(xiàn)如哥德巴赫猜想、費爾瑪大定理等就是由數(shù)學家的探索、猜想而得到的，學習數(shù)學必 須不斷去探索、猜想、總結規(guī)律，才會有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造.【例8】觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律？請接著寫出后面的三個 數(shù)，并說出第99個數(shù)是什么？第2 013個數(shù)是什么？(1)1，-1,1，-1,1，-1,1，-1 , _(2)1,2,3，一4,5，一6,7，一8, _1 1 1 1 13，4，-5，6，一7，-談重點尋找數(shù)字規(guī)律的方法仔細觀察數(shù)字以及它的符號的特點，把數(shù)和它的序號建立聯(lián)系， 特別注意其中符號的確定方法.1-1,2,分析：(1) (2)小題全部是按正數(shù)、 負數(shù)、正數(shù)、負數(shù)的規(guī)律排列的一組整數(shù),1,(2)去掉數(shù)的符號后是按順序排列的自然數(shù)；的規(guī)律排列的一組分數(shù)，其分母是按順序排列的自然數(shù)，去掉數(shù)的符號后是 數(shù)、正數(shù) 分子是1.解：(1)1，-1,1，第99個數(shù)是1,第2 013個數(shù)是1;(2)9,18,-10,11，第99個數(shù)是99,第2 01 3個數(shù)是2 013;1 1 1 1一9,10,第99個數(shù)是-99第2 013個數(shù)是-20莎99(1)(3)是按負數(shù)、正數(shù)、負即分母就是數(shù)的序旦 號,