線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解.ppt

線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/2),2.4.1線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解有遞推法和Z變換法兩種主要方法:Z變換法只能適用于線性定常離散系統(tǒng),遞推法可推廣到時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。下面將分別討論線性定常離散系統(tǒng)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求解。,遞推法(1/10),1.遞推法遞推法亦稱迭代法。用遞推法求解線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)時,只需在狀態(tài)方程中依次令k=0,1,2,從而有x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1),遞推法(2/10),上述遞推計算公式中的第2項為離散卷積,因此有如下另一形式的線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解表達(dá)式,若給出初始狀態(tài)x(0),即可遞推算出x(1),x(2),x(3),重復(fù)以上步驟,可以得到如下線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的遞推求解公式:,遞推法(3/10),或,若初始時刻k0不為0,則上述狀態(tài)方程的解可表達(dá)為:,遞推法(4/10),與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解類似,對線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解,亦可引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。該狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是下列差分方程初始條件的解:(k+1)=G(k)(0)=I用遞推法求解上述定義式,可得(k)=Gk因此,可得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程另一種解表示形式:,遞推法(5/10),比較連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式:連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),初始狀態(tài)的影響,初始時刻后輸入的影響,為脈沖響應(yīng)函數(shù)與輸入的卷積,對上述離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解公式,有如下幾點(diǎn)說明:1.與連續(xù)系統(tǒng)類似,離散系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)也由兩部分組成,一部分為由初始狀態(tài)引起的響應(yīng),與初始時刻后的輸入無關(guān),稱為系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng);另一部分是由初始時刻后的輸入所引起的響應(yīng),與初始時刻的狀態(tài)值無關(guān),稱為系統(tǒng)狀態(tài)的零狀態(tài)響應(yīng)。2.引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概念和表示之后,線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式在形式上一致,都由零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)疊加組成,只是相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)在形式上略有不同,一為求積分(卷積),一為求和(離散卷積),但本質(zhì)是一致的。,3.在由輸入所引起的狀態(tài)響應(yīng)中,第k個時刻的狀態(tài)只取決于此采樣時刻以前的輸入采樣值,而與該時刻的輸入采樣值u(k)無關(guān)。這即為計算機(jī)控制系統(tǒng)固有的一步時滯。,Z變換法(1/7),2.Z變換法已知線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)對上式兩邊求Z變換,可得zX(z)-zx(0)=GX(z)+HU(z)于是(zI-G)X(z)=zx(0)+HU(z)用(zI-G)-1左乘上式的兩邊,有X(z)=(zI-G)-1zx(0)+(zI-G)-1HU(z)對上式進(jìn)行Z反變換,有x(k)=Z-1(zI-G)-1zx(0)+Z-1(zI-G)-1HU(z),Z變換法(2/7),其中W1(z)和W2(z)分別為w1(k)和w2(k)的Z變換。將上述公式推廣到向量函數(shù)和矩陣函數(shù),則可得,離散卷積,在Z反變換中對標(biāo)量函數(shù)存在下述公式和性質(zhì):,Z變換法(3/7)例3-14,該表達(dá)式與前面遞推法求解結(jié)果一致。例已知某系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始狀態(tài)分別為,試求系統(tǒng)狀態(tài)在輸入u(k)=1時的響應(yīng)。,因此,離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解為:,Z變換法(4/7)例3-14,類似地,可繼續(xù)遞推下去,直到求出所需要的時刻的解為止。2.用Z變換法求解。先計算(zI-G)-1,解1.用遞推法求解。分別令k=1,2,3,則由狀態(tài)方程有,Z變換法(5/7)例3-14,因此,有,Z變換法(6/7)例3-14,由Z變換,有u(k)=1U(z)=z/(z-1)因此,有X(z)=(zI-G)-1zx(0)+HU(z),Z變換法(7/7)例3-14,令k=0,1,2,3代入上式,可得,輸出方程的解(1/2),3.輸出方程的解將狀態(tài)方程的解代入如下線性定常離散系統(tǒng)的輸出方程:y(k)=Cx(k)+Du(k)中,可得輸出y(k)的解為,輸出方程的解(2/2),或,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(1/6),2.4.2線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解設(shè)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為式中,初始時刻為k0;初始狀態(tài)為x(k0)。假定系統(tǒng)狀態(tài)方程的解存在且惟一,則解為式中,(k,k0)稱為線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(2/6),線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k,k0)滿足如下矩陣差分方程及初始條件：其解為,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(3/6),與線性定常離散系統(tǒng)類似,線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)求解公式可用迭代法證明。對線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程，依次令k=k0,k0+1,k0+2,從而有,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(4/6),因此有,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(5/6),由上述狀態(tài)方程解公式可知,線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解也包括兩項。其中,第1項是由初始狀態(tài)激勵的,為零輸入響應(yīng),描述了輸入向量為零時系統(tǒng)的自由運(yùn)動。第2項對應(yīng)初始狀態(tài)為零時,由輸入向量激勵的響應(yīng),稱為強(qiáng)迫運(yùn)動或受控運(yùn)動。線性時變離散系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)取決于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(k,k0),而又是由(k,k0)唯一決定的。,線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(6/6),將狀態(tài)響應(yīng)代入輸出方程,得到系統(tǒng)的輸出為,可見,系統(tǒng)的輸出響應(yīng)也是由零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和直接傳輸部分3項組成的。,