空間幾何體的表面積與體積2013屆高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí).ppt

第四十四講空間幾何體的表面積與體積,回歸課本,1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和,表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.,3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積S圓柱側(cè)=2rl,S柱=2r(r+l);S圓錐側(cè)=rl,S錐=r(r+l);S圓臺側(cè)=(r+r)l,S臺=(r2+r2+rl+rl).,4.柱、錐、臺體的體積V長方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐=,V臺=(S+S+)h.這是柱體錐體臺體統(tǒng)一計算公式,特別的圓柱圓錐圓臺還可以分別寫成:V圓柱=r2h,V圓錐=r2h,V圓臺=h(r2+rr+r2).,5.球的體積及球的表面積設(shè)球的半徑為R,V球=R3,S球=4R2.,考點陪練,答案:D,2.圓臺上、下底面面積分別是、4,側(cè)面積是6,這個圓臺的體積是(),答案:D,3.用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為,則球的體積為(),答案:B,4.(2010廣州一模)如果一個幾何體的三視圖如下圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是()A.(80+16)cm2B.96cm2C.(96+16)cm2D.112cm2,解析:將幾何體還原,如圖:該幾何體是由邊長為4的正方體和一個底面邊長為4高為2的正四棱錐構(gòu)成的,在正四棱錐中,可得,四棱錐的表面積為S1=44正方體除去一個面的表面積為S2=542=80,所以此幾何體的表面積答案:A,5.(2010山東臨沂二模)有一個正三棱柱,其三視圖如圖,則其體積等于(),解析:由圖知該幾何體為底面為正三角形的三棱柱,底面三角形高為2,三棱柱的高為故體積為答案:D,類型一棱柱棱錐棱臺的表面積體積解題準(zhǔn)備:求解有關(guān)多面體表面積問題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其特征幾何圖形,從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長等幾何元素間的關(guān)系,如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等.,1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系,可表示為,2.解決不規(guī)則幾何體的問題應(yīng)注意應(yīng)用以下方法:(1)幾何體的“分割”依據(jù)已知幾何體的特征,將其分割成若干個易于求體積的幾何體,進而求解.(2)幾何體的“補形”有時為了計算方便,可將幾何體補成易求體積的幾何體,如長方體、正方體等.,【典例1】如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,若EF分別為ABAC的中點,平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1V2的兩部分,那么V1：V2=_.,解析設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.EF分別為ABAC的中點,答案7：5.,類型二圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積解題準(zhǔn)備:1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積,因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及解決相關(guān)問題的關(guān)鍵.,2.計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.,【典例2】已知底面半徑為,母線長為的圓柱,挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點,下底面為底面的圓錐,求所得幾何體的表面積和體積.,解如圖,圓柱一個底面的面積為S底=r2=()2=3(cm3).圓柱側(cè)面面積為:S柱側(cè)=2(cm2).所挖圓錐的母線長為=3(cm).,類型三球的表面積、體積解題準(zhǔn)備:球的表面積與體積都只與半徑R有關(guān),是以R為自變量的函數(shù),一個球的半徑給定,它的表面積、體積隨之確定,反過來,給定一個球的表面積或體積,這個球的半徑也就確定了.,【典例3】如圖,正三棱錐的高為1,底面邊長為內(nèi)有一個球與它的四個面都相切.求:(1)棱錐的全面積;(2)內(nèi)切球的表面積與體積.,(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O,連接OPOAOBOC,而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC,類型四由幾何體的三視圖求幾何體的表面積與體積解題準(zhǔn)備:已知空間幾何體的三視圖求表面積體積是高考考查的熱點,對三視圖的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.主要體現(xiàn)在以下兩個方面的應(yīng)用:一是數(shù)據(jù)的給出,通過三視圖的長寬高對應(yīng)出空間幾何體的相關(guān)長寬高,從而求表面積和體積,但是要注意三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對應(yīng),識圖時注意甄別.二是揭示空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.包括幾何體的形狀,平行垂直等結(jié)構(gòu)特征,這些正是數(shù)據(jù)運算的依據(jù).,【典例4】一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m):(1)試畫出它的直觀圖;(2)求它的表面積和體積.,分析由三視圖,正確的畫出幾何體的直觀圖,確定幾何體中線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.,解(1)直觀圖如圖所示.,(2)解法一:由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角,且該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長方體的體積的在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1,則AA1EB是正方形,AA1=BE=1在RtBEB1中,BE=1,EB1=1BB1=,幾何體的表面積S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+2(1+2)1+1+1+12=7+(m2).幾何體的體積V=121=(m3),該幾何體的表面積為(7+)m2,體積為m3.,解法二:幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱,其表面積求法同解法一,V直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh=(1+2)11=(m2).幾何體的表面積為(7+)m2,體積為m3.,反思感悟(1)由三視圖畫幾何體的直觀圖,掌握“長對正、寬相等,高平齊”的規(guī)則,是確定幾何體特征的關(guān)鍵.(2)把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體或者是補上一部分使之成為規(guī)則幾何體,是求不規(guī)則幾何體常用方法.,錯源一問題考慮不全【典例1】是否存在這樣的球,在該球內(nèi)有距離為3的兩個平行截面且截面的面積分別為5和8?若存在,求出球面的表面積;若不存在,請說明理由.,錯解假設(shè)存在滿足題意的球,過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2,(r1>r2),由題意可得又此方程無解,所以滿足題意的球不存在.,剖析錯解只考慮了兩個平行截面都在球心同一側(cè)的情形,事實上兩個平行截面不一定都在球心的同一側(cè).,正解假設(shè)存在滿足題意的球.,(1)如果兩個平行截面都在球心的同一側(cè),則解法同錯解.(2)如果兩個平行截面在球心兩側(cè),過圓心與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2(r1<r2).由題意可得又解得R2=9,所以球的表面積S=4R2=36.綜上可得,存在滿足題意的球,該球的表面積為36.,錯源二對三視圖的形成認識不清【典例2】設(shè)某幾何體的三視圖如圖(尺寸的長度單位為m).則該幾何體的體積為_m3.,錯解該幾何體為三棱錐,底面為腰為4,底為3的等腰三角形,高為2.剖析把正視圖看成三棱錐的一個面造成誤解.三視圖中的每一個視圖都是整個幾何體在某一屏幕上的投影,不一定是某個面留下的投影.這類問題不能孤立的分析某一視圖.,正解由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐,由“長對正,寬相等,高平齊”的原則可知三棱錐的高為2,底面三角形的底邊長為4,高為3,則所求棱錐的體積為V=342=4.答案4,技法一等積轉(zhuǎn)化思想方法【典例1】如圖,一個三棱柱容器中盛有水,且側(cè)棱AA1=8,若AA1B1B水平放置時,液面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點,則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時,液面的高為多少?,解當(dāng)AA1B1B水平放置時,縱截面中水的面積占1-所以水的體積與三棱柱體積比為當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時,液面高度為8=6.方法與技巧容器中水的體積不會減少,運用等積思想可不用計算體積,而通過體積比進而化為高度比.,技法二巧解三棱錐的體積【典例2】已知正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,側(cè)棱長都等于a,如圖1,求此三棱錐的體積.,解解法一:設(shè)頂點P在底面ABC上的射影為O,則O為ABC的中心,連接CO延長交AB于M,連接PM,則CMAB且M為AB的中點.在ABC中,易求得,解法二:轉(zhuǎn)換三棱錐頂點,如圖2.因為APPBPC,所以三棱錐APBC的高為PA,底面PBC為直角三角形.所以VPABC=VAPBC=SPBCAP,解法三:由三棱錐PAPBPC,易聯(lián)想到以PBC為底面可以補成三棱柱ABC-PBC,如圖3,它與三棱錐APBC的高均為AP,底面為PBC,易知錐體的體積是與其等底等高的柱體體積的,方法與技巧該題題目雖小,但其解法涵蓋了求解幾何體體積常用的幾種思維方法.解法一是直接法,它是對應(yīng)體積公式的通法;解法二是等體積轉(zhuǎn)化法,針對錐體的幾何特點,變換頂點,體積不變.解法三是補形法,這是直接法遇阻時經(jīng)常采用的間接求解策略.諸如還可將三棱錐補形成為四棱柱,三棱柱補形成為平行六面體等,與此法相對的還有分割法,即將一個幾何體分割成幾部分來進行求解.,