數(shù)學強化班(武忠祥)-高數(shù)第三章 一元函數(shù)積分學

數(shù)學強化班(武忠祥)-高數(shù)第三章 一元函數(shù)積分學 第三章 一元函數(shù)積分學 第一節(jié) 不定積分 1兩個概念: 1）原函數(shù)： F (x) f(x) 2）不定積分： f(x)dx F(x) C 2基本積分公式： 1) 3) dxxdx22 2) C. ln|x x a| C 2222aa xx a dx1xdx1a x C. ln| 4) a2 x2a a2 x22aa x| C. a 5) secxdx ln|secx tanx| C. 6) cscxdx ln|cscx cotx| C. 3三種主要積分法 1）第一類換元法（湊微分法） 若 f(u)du F(u) C,則 f( (x) (x)dx F( (x) C 2）其次類換元法： f(x)dxx (t) f( (t) (t)dt F(t) C F( i) 1 (x) C a2 x2,x asint(acost)ii)a2 x2,x atantx2 a2,x asect 3）分部積分法 udv uv vdu“適用兩類不同函數(shù)相乘” x p(x)edx,n x pn(x)sin xdx, n x p(x)cos x,en sin xdx， n n e cos xdx, p(x)lnxdx, p(x)arctanxdx, p(x)arcsinxdx 4三類常見可積函數(shù)積分 1）有理函數(shù)積分 R(x)dx （1）部分分式法（一般方法）； （2）簡潔方法（湊微分絳冪）； 2) 三角有理式積分 R(sinx,cosx)dx （1）萬能代換（一般方法） 令tan t x2 （2）簡潔方法 （三角變形，換元，分部） 3) 簡潔無理函數(shù)積分 R(x, )dxcx d 令 ax b t cx d 例一 基本題 例3.1 I dx dx4x x2 dx4 (x 2)2 x 2 c 2 解法1 I 解法2 I 2d(x)x 2 c 2dx cosx 例3.2 I 解 I dxcosxdxdsinxd 2 cosx cos2x (1 sin2x) 1 sin2x dtdt11 2 ( )dt 42222 1 t(1 t)(1 t)1 t1 tdx sinx t 2 例3.3 I x5 x 2 解法1 令x tant ，則 dx sec2tdt tan5t sec2tdt I tan4t (tant sect)dt tan4td(sect) sect (sect 1)d(sect) (u 1)du (u sect) 22 2 2 12531 =(8 4x2 3x4) x2 c 15 =u5 u2 u c 1x4dx2 解法2 I x4d( x2) 2 x2 =x4 x2 4x3 x2dx =x4 x2 2(x2 1) 1 x2d(1 x2) =x4 x2 (1 x2)例3.4 I 45 4 (1 x2) c 3 e 1 x xex 解 I 2 xdex 1 2xex 1 2 ex 1dx 2t2x e 1dx （令e 1 t） 2 1 t x =2t 2arctant C 則 I 2xx 1 4x 1 4arctanx 1 c 例3.5 lnx dx 解法1 原式=2 lnxd =2lnx 2 x x xt2 dx t2 2 xt 1 =2dt 2 =2t ln dt t2 1 t 1 C t 1 x 1 C 1 原式=2lnx 4 2ln解法2 令 t，則 ln(t2 1) 2tdt 2 ln(t2 1)dt 原式= t2t2 =2tln(t 1) 2 2dt t 1 2 =2lnx 4 2ln 1 C 1 arctanex dx 例3.6 2x e 解法1 原式= 1 arctanexde 2x 2 1 2x1e xx = earctane 221 e2x 1 2x1dexx = earctane 2x 22e(1 e2x) = e 2xarctanex e x arctanex C 解法2 令ex t，則 原式= 12 arctant11 arctantd t3 2 t2 = = arctant11 dt 222 2t(1 t)2t arctant11 arctant c 2 2t22t 1 = e 2xarctanex e x arctanex C 2 1 dx 例3.7 I x x9 dxx7dx1du8 解法1 I （令x u） x(1 x)x(1 x)8u(1 u)(1 x8)x8dx 1x7 dx 解法2 I 88 x(1 x) x1 x 1dx 81 解法3 I ln|1 x 8| c 8 81 x8x9(1 8)x dx 1 x41 x4 x2 x2dx1dx3 dx dx 例3.8 I 6626 1 x1 x1 x31 x 例3.9 I dx 1 sinx 解法1I 解法2I 1 sinx1dcosx dx cos2x cos2x cos2x dxdx x tan C x 24 1 cos x 2cos2 2 42 x2dt2t t dx sinx 21 t21 t2 2dt1dt 2 2I 2 C C (1 t)21 t1 t21 1 tan2 1 t2dx 例3.10 1 sinx cosxx 解 令ta t，則 2 解法3令tan 2dt原式= 2t1 t2 1 2 1 t2 t2dt 1 t ln(1 t) C x =ln(1 tan) C 2dx 例3.11 I 4 sinx cosx =解法1I sinxdxdcosxdu sin2x cos4x (1 cos2x)cos4x (1 u2)u4（令cosx u） (1 u4) u4 (1 u)u 解法2 sin2x cos2xsinxdx1sin2x cos2xI dx dx sinx cos4x cos4xsinxcos2x3cos3x sinx cos2x1sinxdxdx 32 3cosxcosxsinx 1 dx 例3.12 I asinx bcosx dx1 ctgx c 解 1）若a 0, b 0 I 2 asin2xa2 11 dx tgx c 2) 若a 0, b 0 I 2 22 bcosxb 3）若a 0, b 0 I dxdu cos2x(b2 a2tg2x) b2 a2u2（令tanx u） 例3.13 1x 1 xx 1dx。 x 1 t, x 1 解法1令 t2 原式= 4 2dt 2 (t 1)(t 1) (t2 1) (t2 1)= 2 2 (t 1)(t2 1) =ln 1 t 2arctant c 1 t 1x 1 xx2 1 解法2 原式= = dxx 1 2 dxx2 ()2 x 1x =lnx x2 1 c 例二 變花樣 例3.14 若 xf(x)dx arcsinx c 求I 解 由 xf(x)dx arcsinx c知 1 dx f(x) icn) xf(x) (arcs 1 x 2 則 I 1122dx x xdx (1 x) c f(x)3 ( x2)為f(x)的一個原函數(shù)， 求I xf (x)dx. 例3.15 若lnx 解 I xf (x)dx xf(x) f(x)dx xln(x x2 ln(x x2) C x2 ln(x x) C 2 x xex 例3.16 設F(x)為f(x)的原函數(shù)，且當x 0時，F(xiàn)(x)f(x) ，已知2 2(1 x)F(0) 1,F(x) 0.求f(x). 12xex 解法1由 F(x)f(x) (F(x) 2 22(1 x) xex(x 1) 1xexex F(x) dx edx dx dx (1 x)2(1 x)21 x(1 x)2 2 ex exexex dx dx c 1 x 1 x1 x 1 x 由F(0) 1 c 0 x eee F2(x) F(x) f(x) F (x) 1 x1 x 1 x x x xex1x 解法2 F(x) (xe)d2 1 x(1 x) 2 xexex(1 x) = (1 x) 1 xxex ex c = (1 x)ex c = 1 x ex1xex F(x) ，f(x) . 1 xF(x)2(1 x)2 例3.17 設f (ex) sinx,求f(x)。 解法1 令ex t，則f (t) sinlnt f(t) sinlntdt =tsinlnt tcoslnt dt =tsinlnt tcoslnt tsinlnt dt 則f(t) sinlnt coslnt c 解法2 由f (ex) sinx知 1 t 1t t2 f(ex) sinxdex =exsinx excosxdx =exsinx excosx sinxdex ex 則f(e) sinx cosx c 2 x x f(x) sinlnx coslnx c 2 例3.18 求不定積分 e |x|dx e x c1,x 0, 解 edx x e c2,x 0. |x| e |x|連續(xù),原函數(shù)F(x)必連續(xù), F(x)在x 0連續(xù). x 0 x limF(x) lim( e c1) 1 c1 x 0 x 0 xlimF(x) lim(e c2) 1 c2 x 0 1 c1 1 c2 令 c1 c, 則c2 2 c. e x c,x 0, 故 edx x e 2 c,x 0. |x| 其次節(jié) 定 積 分 1。定義： ba f(x)dx lim f( k) xk 0 k 1 n 2?？煞e性： 1）必要條件：f(x)有界； 2）充分條件:f(x)連續(xù)或僅有有限個第一類間斷點；3。計算： 1） ba f(x)dx F(b) F(a) 2）換元法 3）分部積分法 4）利用奇偶性，周期性 5）利用公式 n 1n 31 ,n偶 (1) 2sinnxdx 2cosnxdx nn 222 00 n 1n 3 2,n奇 nn 23 (2) xf(sinx)dx 2 0 f(sinx)dx 4變上限積分： xa f(t)dt 1) 連續(xù)性：設f(x)在a,b上可積，則2）可導性：設f(x)在a,b上連續(xù)，則 xaxa f(t)dt在a,b上連續(xù)。 f(t)dt在a,b上可導且 ( f(t)dt) f(x). a x 變上限求導的三個類型： (x) (1) f(t)dt f( (x) (x) f( (x) (x) (x) (x)x (2) f(x,t)dt 例1:F(x) (t x)f(t)dx 0 (x) bdx2 (3) f(x,t)dt 例2:sin(x t)dt a0 dx 3）奇偶性：i）若f(x)為奇函數(shù)，則 x0 f(t)dt為偶函數(shù)。 x0 ii）若f(x)為偶函數(shù)，則 f(t)dt為奇函數(shù)。 例1（06年數(shù)二）：設f(x)是奇函數(shù)，除x 0外到處連續(xù)，x 0是第一類間斷點，則 x0 f(t)dt是：(A)連續(xù)的奇函數(shù); (B)在x 0間斷的奇函數(shù); (C)連續(xù)的偶函數(shù); (D)在x 0間斷的偶函數(shù). 12 (x 1),若0 x 1,x 2 例2(01年,數(shù)3，4)設g(x) f(u)du,其中f(x) 則 01(x 1),若1 x 2, 3 g(x)在區(qū)間（0,2）內 （A）無界 （B）遞減 （C）不連續(xù) （D）連續(xù) 例3（99年數(shù)一至四，05年數(shù)一二） 設f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則 （A） f(x)是奇函數(shù) F(x)必是偶函數(shù)； （B） f(x)是偶函數(shù) F(x)必是奇函數(shù)； （C） f(x)是周期函數(shù) F(x)必是周期函數(shù)； （D） f(x)是單調增函數(shù) F(x)必是單調增函數(shù). 5。性質： 1)不等式：i) 若f(x) g(x), 則 ba f(x)dx g(x)dx. a b ii) 若f(x)在a,b上連續(xù)，則m(b a) iii) ba f(x)dx M(b a). ba f(x)dx |f(x)|dx. a b 2)中值定理： i） 若f(x)在a,b上連續(xù)，則 ba f(x)dx f(c)(b a),a c b ii） 若f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，g(x不變號，則 ba f(x)g(x)dx f(c) g(x)dx,a c b a b 例（96年數(shù)四）設f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，且 1b f(x)dx f(b)。求證：在(a,b)內至少存在一點 ，使f ( ) 0. b a a 例 題 例一 基本題 2x2 sinx 例3.19 I dx; 2 1 1 x 1 x2 解 I 4 dx 20 1 x 1 =41 x2dx 0 1 =4 4 1 x2dx =4 （其中例3.20 I 10 x2dx 4 ，單位圖x2 y2 1在第象限面積） n 0 dx; 解法1 原式=n =n =n (cosx sinx)2dx cosx sinx =n 4 (cosx sinx)dx (sinx cosx) 22n. 4 5 4 解法2 原式=n sin2xdx (cosx sinx)2dx 45 4 =n 45 4 =n例3.21 I 解 I = (sinx cosx)dx 2. 4 0 xsinnxdx . xsinnxdx sinnxdx 2 0 = 0 sinnxdx n 1n 31 , nn 222 = n 1 n 3 2 , nn 23 例3.22 I 1 n為偶數(shù) n為奇數(shù) xdx 0(2 x2) x2; 解 令x sint，則 I 2 sintcostdt 2 (2 sint)cost dcost 2 arctancost 20 41 cost 3 = 2 例3.23 I x dx; 1 x 解 令arcs 2 t，則x tant， 1 x I 3tdtan2t =ttant 2 30 3tan2tdt 0x 4 . 3 sint ，計算 f(x)dx。 例3.24 設f(x) 0 t0 xsinx 解法1 f(x)dx=xf(x)0 0 x0 sint xsinx 0 t0 x =解法2 0 0 sinxdx 0 f(x)dx= f(x)d(x ) (x )f(x)0 0 (x )sinx x =解法3 0 sinxdx 2 0 0 f(x)dx dx sint 0 t x sint dt sinxdx 2. 0t t0 1 2 f(x) 1 x例3.25 I f(x 1)dx 其中 1x 1 e x 0 x 0 解 令x 1 t，則 1dtdt I f(t)dt 1 11 et01 t 1 e t1 dt ln(1 t) = 0 11 e t = ln(1 e t)例3.26 I 解法1，令則 0 1 ln2 ln(1 e). 20 sinx dx ； sinx cosx sinxA(cosx sinx) B(sinx cosx) dx sinx cosx sinx cosx 1 A B11 ，解得A ,B 22 0 A B 1 (sinx cosx) (sinx cosx) I 2 20sinx cosx 1 2 =( ln(sinx cosx) x)0 24 解法2 令x 2 t，則 sinxcost I 2dx 2 0sinx cosx0sint cost 1 sinxcosx dx 2dx = 2 0sinx cosx2 0sinx cosx 1 = 2dx 204 x e4 例3.27 I 2 sinxdx ; 1 ex2 x ee t4422解 I sinxdx sintdt 1 ex 1 e t22 (x t) = 2 2 14 sintdt t 1 e x 1 e1442sinxdx sinxdx = 2 xx 2 21 e21 e 1 = 2 sin4xdx 2 2 = 20 31 3 sin4xdx 42216 例3.28 已知f(x)連續(xù)，解 令x t u得 x tf(x t)dt 1 cosx,求 2f(x)dx的值. x tf(x t)dt (x u)f(u)du x =x x f(u)du uf(u)du x xxdx tf(x t)dt f(u)du xf(x) xf(x) f(u)du 000dx 從而有令x x f(u)du sinx 2 得： 2 f(u)du sin 2 2 1 例3.29 設f (x) arcsin(x 1),f(0) 0,求解法1 1 f(x)dx. 10 f(x)dx xf(x)0 xarcsixn 1()2dx 1 1 =f(1) = = 10 xarcsin(x 1)2dx 10 1 01 f (x)dx xarcsin(x 1)2dx 2 (1 x)arcsin(x 1)dx 11 = arcsinudu （令(x 1)2 u） 20 =uarcsinu0 解法2 12 1 11u 1 du . 20242 u 1 f(x)dx f(x)d(x 1) 1 1 =(x 1)f(x)0 =以下同解法1 例二 綜合題 例3.30 求 lim 1 n (x 1)arcsin(x 1)dx 2 1 1 (1 x)arcsin(x 1)2dx 1 2 n 1 2 1 2 ; 2 n n n 2 2 2 2 2 2 1 n 1解 令 yn (1 12n )(1 ) (1 ) 222 nnn 1 1222n2 ( 2) ln1( 2) ln1( 2) 則 lnyn ln1n nnn n limlnyn ln(1 x2)dx 1 2x2 ln2 2(1 ) =xln(1 x) 001 x24 21 1 原式=e ln2 2(1 ) 4 2e 2 2 x 2 x x 例3.31設f(x)連續(xù),且limf(x) 1,則lim x 3 tsinf(t)dt t 解 lim 3tsinf(t)dt （利用積分中值定理） x xt 3 (x c x 2) =lim2csinf(c) x c x 2 =6 例3.32 求極限 limxn x2dx. n 0 1 解法1 由于 0 xn x2dx xndx 11 2 n 1 lim 0 n n 1 n 0 則 limxn x2dx 0 解法2 由積分中值定理得 1 1n 2 x x2dx cn 1n xdx 1 xndx 1 0 為無窮小量. n 1 (cn)2介于1與之間為有界量，則 n 0 lim x x2dx 0 x0 1n (x t)f(t)dt 例3.33 設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0) 0，求極限lim。 x f(x t)dt x 0 x0 解 x f(x t)dt= f(u)du （令x t u） x 原式=lim x 0 x f(t)dt tf(t)dt xx x f(t)dt x0 x =lim x 0 f(t)dt xf(x) xf(x) x x 0x f(t)dt xf(x)f(t)dt （洛比達法則） =lim x 0 f(t)dt xf(x) =lim xf(c) （積分中值定理） x 0xf(c) xf(x)f(0)1 f(0) f(0)2 = 例3.34 設F(x) x 2 x esint sintdt, 則F(x)_ A) 為正常數(shù) B) 為負常數(shù) C) 為0 D) 不是常數(shù) 解：由于F (x) esin(x 2 )sin(x 2 ) exsinx 0 知F(x) c， 也可由esintsint以2 為周期得 F(x) x 2 x e sint sintdt esintsintdt c 2 則F(x)為常數(shù). 又F(0) 2 esintsintdt esintdcost cost0 esintcos2tdt 2 2 = 2 = e = sint 2 esintcos2tdt 0 注：說明積分 2 esintsintdt 0最簡潔的方法是幾何的方法. 例3.35 試證:F(x) (t t)sin 2 x 2n tdt在x 0上最大值不超過 1 . (2n 2) (2n 3) 2n 證 令F (x) (x x2)sinx 0 得 x 1，x k （k 1,2, ） 由于在x k 鄰近兩側F (x)不變號，則x k 不是F(x)的極值點，而 當0 x 1時，F(xiàn) (x) 0，當x 1時，F(xiàn) (x) 0，則F(x)在x 1取極大值，又由于x 1為F(x)在1, )上唯一的極值點，則該極大值為最大值. F(1) (t t2)sin2ntdt 1 1 (t t2)t2ndt 1 (2n 2)(2n 3) 原題得證 例3.36 設f(x)是區(qū)間 0, 上的單調、可導函數(shù)，且滿足 4 f(x) f 1(t)dt t x cost sint t. sint cost 其中f 1是f的反函數(shù)，求f(x). 解 等式 cost sint dt兩端對x求導得 00sint cost coxs sinx f 1f(x)f (x) x sinx coxscoxs sinx 即 xf (x) x sinx coxscoxs sinxf (x) sinx coxs f(x) f 1(t)dt t x f(x) ln(sxi ncoxs) c 而f(0) 0,則c 0 f(x) ln(sxi ncoxs) 例3.37 設函數(shù)f(x)在(0, )內連續(xù)，f(1) 件 5 ，且對全部x,t (0, )滿足條2 xt 1 f(u)du t f(u)du x f(u)du，求f(x). 1 1 xt 解 等式 x1 xt 1 f(u)du t f(u)du x f(u)du兩端對t求導得 1 1 xt xf(xt) f(u)du xf(t) 令t 1得，xf(x) x 1 5 f(u)du x 2 5 2 上式兩端對x導得，f(x) xf (x) f(x) 51 2x5 f(x) lnx c 255 又f(1) ，則c 225 f(x) (lnx 1) 2 x f(x)sinxdx,求f(x). 例3.38 若f(x) 2 1 cosx x f(x)sinxdx兩端同乘sinx并從 到 積分得 解 等式f(x) 1 cos2x xsinxf(x)sinxdx 1 cos2x xsinx =2 01 cos2xf (x) = sinx 2 dx arctancosx0 = 21 cos2x x 2 則f(x) 2 1 cosx2 例3.39 設f(t)連續(xù),f(t) 0,f( t) f(t). 令F(x) a a |x t|f(t)dt. a x a 1) 試證曲線y F(x)在 a,a上是凹的. 2) 當x為何值時,F(x)取得最小值. 3) 若F(x)的最小值可表示為f(a) a2 1,試求f(t). 解1) 證：由于 F(x) x tf(t)dt a a = x a (x t)f(t)dt (t x)f(t)dt x a =x x ax f(t)dt tf(t)dt tf(t)dt x f(t)dt a x x ax xaa F (x) f(t)dt xf(x) xf(x) xf(x) xf(x) f(t)dt a = x a f(t)dt f(t)dt x a F (x) f(x) f(x) 2f(x) 0 則曲線y F(x)在 a,a上是凹的 2) 令F (x) x a f(t)dt f(t)dt 0 x a 得 F (0) 0 （f(x)為偶函數(shù)） 又F (x) 0，則F (x)單調增，從而x 0為F(x)在 a,a上唯一的駐點，又 F (0) 0，則F(x)在x 0取微小值，由唯一性知，F(xiàn)(x)在x 0取最小值. 3) F(x)在 a,a上最小值為 F(0) tf(t)dt 2 tf(t)dt a aa 從而有 2 tf(t)dt f(a) a2 1 a 上式兩端對a求導得，2af(a) f (a) 2a 解此一階線性微分方程得f(a) ce 1 又f(0) 1，則c 2，從而 a2 f(t) 2et 1 例三 積分不等式 證明積分不等式常用的方法： 1）變量代換； 2）積分中值定理 ； 3）變上限積分； 4）柯希積分不等式； (例3.40 求證:證： 2 b a f(x)g(x)dx)2 f2(x)dx g2(x)dx； a a bb sinx2dx 0. sinxdx = 2 2 sint （令x2 t） 2 = 2 2 sintsint 22而 sinusint = du （令t u） 02 u 則 2 sinx2dx sint 11 dt 0 2 例3.41 設f(x)在 0, 1上連續(xù),非負，單調減。 求證: a f(x)dx a f(x)dx (0 a 1) 1 證法1 只要證即 (1 a) a f(x)dx a f(x)dx a f(x)dx a 1a a1 a f(x)dx a f(x)dx 由積分中值定理知 (1 a) f(x)dx a(1 a)f(c1) 0 c1 a a a f(x)dx a(1 a)f(c2) a c2 1 a 1 由于f(x)單調減，則f(c1) f(c2) 則(1 a) a f(x)dx a f(x)dx a1 1 原題得證 證法2 a f(x)dx=a f(at)dt （令x at） a 1 f(ax)dx 由于f(x)單調減，ax x，則f(ax) f(x) 從而有 a即 1 f(ax)dx a f(x)dx 10 1 a f(x)dx a f(x)dx ba 例3.42 設f(x)在a,b上連續(xù)，單調增。求證: xf(x)dx 證法1，令F(x) b ab f(x)dx a2 x a tf(t) x ax f(t)dt 2 a 只要證明F(b) 0，明顯F(a) 0 2 a1x f(x) f(t)dt 22a x1 = (x a)f(x) f(t)dt a 2 1 (a c x) = (x a)f(x) (x a)f(c) 2 0 而F (x) xf(x) 則F(b) F(a) 0 原式得證. 證法2 由于f(x)在a,b上單調增，則 (x a ba b )(f(x) f() 0 22 從而有 b b a (x a b a b ) f(x) f() dx 0 2 2 a ba bba b)f(x)dx f() (x )dx 0 即 (x a22a2 ba b )dx 0 又 (x a2 a b )f(x)dx 0 a 2ba bb f(x)dx 即 xf(x)dx aa2 則 b (x 例3.43 設f(x) 在0,1上可導,且f(0) 0 , 0 f (x) 1. 113 求證: f(x)dx f(x)dx. 0 0 2 證 令F(x) ( x f(t)dt)2 f3(t)dt x 只要證F(1) 0，又F(0) 0 由f(0) 0，0 f (x) 1知f(x) 0，x (0,1 F (x) 2f(x) f(t)dt f3(x) x =f(x) 2令 (x) 2 2 f(t) f(x) 0 x x f(t)dt f2(x) (x) 2f(x) 2f(x)f (x) 2f(x)(1 f (x) 0 則 (x)單調增，又 (0) 0，則 (x) 0 x (0,1 從而 F (x) 0 x (0,1 則F(x)單調增，從而F(1) 0，原題得證. 例3.44 設f(x)在 a, b上有連續(xù)導數(shù),f(a) 0, 求證:max|f (x)| a x b b2 |f(x)|dx a (b a) f(x) 證 |f(x)| b x a f (t)dt xa a x b x a f (t)dt f (t)dt (x a)max|f (x)| b 1 |f(x)|dx (x a)dx max|f (x)| (b a)2 max|f (x)| aaa x ba x b2 b2故 max|f (x)| |f(x)|dx a x b(b a)2 a 例3.45 設f(x)在0, 1上有連續(xù)導數(shù),且f(0) 0, 求證: f2(x)dx 01 112 f (x)dx 02 f(x) 證 2 x f (t)dt 2 xx2x2 f(x) f (t)dt 1dt f (t)dt 00 0 x f 2(t)dt x f 2(t)dt x1 f2(x)dx xdx f 2(t)dt 111 112 f (t)dt;. 2 0 第三節(jié) 反 常 積 分 1)無限區(qū)間；（1） （2） aa f(x)dx lim f(x)dx. a A A f(x)dx lim f(x)dx. A A a a （3） 若常用結論： a f(x)dx和 f(x)dx都收斂，則稱 f(x)dx收斂。 b a P 1收斂1 dx;， (a 0) Px P 1發(fā)散 2)無界函數(shù)：設a為f(x)的無界點， b a f(x)dx=lim 0 a f(x)dx P 1收斂1 dx 常用結論： a(x a)PP 1發(fā)散 b 例3.46 計算 解 原式= 1 arctanx dx 2 x 1 1 arctanxd x arctanxdx = 1x1x(1 x2) = 4 x x2 1 1 ln2 42 例3.47 計算 3 dx 42 (x 1)x 2x 解：原式= dx (x 1) 4 3 (x 1) 1 2 = secttant 3sec4ttant2 (令(x 1) sect) = 233 costdt ( ) 3 38 2 例3.48 計算 xe x x2 (1 e) 解 原式= xex x2 (1 e) = xd 1 x 1 e x = 1 ex = dx x