測量平差第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理.ppt

同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了誤差理論的基本概念。那么如何處理觀測數(shù)據(jù)、在處理數(shù)據(jù)中遵循何種原則？本次課程我們將簡要地敘述這一問題。,第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理,4.1測量平差概述4.2函數(shù)模型4.3函數(shù)模型線性化4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型4.5參數(shù)估計與最小二乘原理,Chapter4MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares,4.1測量平差概述General,一、測量控制網(wǎng)簡介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng))包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)、三角高程網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知高程點，未知高程點和高差觀測值距離測站數(shù),2.平面控制網(wǎng)1）三角網(wǎng)：包括測角三角網(wǎng)、測邊三角網(wǎng)和邊角同測三角網(wǎng)。（1）測角三角網(wǎng)：包括獨立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點、未知、角度觀測值,（2）測邊三角網(wǎng)：包括獨立測邊網(wǎng)和符合測邊網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點和觀測邊長,（3）邊角三角網(wǎng)：包括獨立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長,2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長。3）三維GPS控制網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點，未知點，基線向量。,二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：測角網(wǎng)：測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：,：一個已知點高程,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)測角網(wǎng)：,（1）兩個相鄰點坐標(biāo)（2）一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長。,測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標(biāo)。,三、必要觀測必要觀測/必要元素：唯一確定一個確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其符號用符號t表示。必要元素的特點：（1）元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)（2）必要元素之間函數(shù)獨立,必要觀測量？條件方程？必要觀測量？條件方程？,四、多余觀測必要觀測之外的觀測稱為多余觀測，其數(shù)目用符號r表示。多余觀測數(shù)觀測總數(shù)必要觀測數(shù)（r=n-t）與控制網(wǎng)有關(guān)幾個基本概念：必要觀測、觀測量、起算數(shù)據(jù)、多余起算數(shù)據(jù)待求量,必要觀測的特點：元素的個數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實際觀測量無關(guān)必要元素之間函數(shù)獨立問題：多余觀測：r=n-tn>t條件方程：觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn),僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結(jié)果是否可靠？,幾何量符號表示,1、必要觀測次數(shù)t（個數(shù)和類型）2、實際觀測次數(shù)n3、多余觀測次數(shù)r4、觀測值5、真值6、真誤差7、估值8、平差值,五、幾何模型,1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）（1）幾何模型的形狀2個（2）形狀、大小3個（3）形狀、大小、位置6個2、必要元素的選取與性質(zhì)（1）能唯一確定該模型（2）最少需要（3）元素間不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系,測邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,一個已知點坐標(biāo)，一個相鄰已知方位。,由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個條件方程，實際存在閉俁差而并不滿足，如何調(diào)整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數(shù)，使其達到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務(wù)。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后采用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優(yōu)的，最后計算和分析成果的精度。,觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現(xiàn),函數(shù)模型：是描述觀測量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系模型，是確定客觀實際的本質(zhì)或特征的模型。幾何模型：各種測量控制網(wǎng)幾何觀測量：方向、角度、高差、邊長物理模型：與時間、速度、加速度等物理量相關(guān)的模型；物理觀測量：時間、速度、加速度,4.2測量平差函數(shù)模型FunctionalModel,一、條件平差的函數(shù)模型以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。出發(fā)點：觀測量之間的函數(shù)關(guān)系式條件方程在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r，那么可建立(n-t)個條件方程，即：,測量平差函數(shù)模型,二、間接平差法,選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數(shù)，將每一個觀測量表達成所選參數(shù)的函數(shù)，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法。在具體測量問題中，實際觀測次數(shù)n，必要觀測次數(shù)t，則多余觀測次數(shù)r=(n-t)。選擇t個函數(shù)獨立的參數(shù)后可列出觀測方程：,線性方程情況下,其中,三、附有參數(shù)的條件平差法,線性方程情況下,四、附有限制條件的間接平差法,線性方程情況下,4.3函數(shù)模型線性化LinearizationofFunctionalModel,四種平差方法的一般形式分別為,條件平差法：,間接平差法：,附有參數(shù)的條件平差法：附有條件的間接平差法：,若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進行線性化。線性化的方法是應(yīng)用臺勞級數(shù)展開，保留一次項,對于函數(shù),按臺勞級數(shù)展開則有,令,則函數(shù)F的線性形式是,4.4測量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalModel,一、平差的隨機模型,隨機模型：描述平差問題的中隨機量及其相互間統(tǒng)計相關(guān)性質(zhì)的模型,隨機模型描繪的是觀測值的統(tǒng)計性質(zhì)，是通過觀測值的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣（協(xié)因數(shù)陣）來表示，借以說明觀測值是否受系統(tǒng)誤差的影響、觀測值的精度季它們是否相關(guān)等。,二、數(shù)學(xué)模型,1、條件平差2、間接平差（Gauss-Markoff模型）,3、附有參數(shù)的條件平差4、附有限制條件的間接平差法,4.5參數(shù)估計與最小二乘原理EstimationofParametersandPrinciplesofLeastSquares,一、參數(shù)估計及最優(yōu)性質(zhì)平差問題是由于測量中進行了多余觀測而產(chǎn)生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對參數(shù)和觀測量（或）作出某種估計，并評定其精度。所謂評定精度，就是對待估量的方差與協(xié)方差作出估計。所以，可統(tǒng)稱為對平差模型的參數(shù)進行估計。,無偏性一致性有效性,一、參數(shù)估計及最優(yōu)性質(zhì)數(shù)理統(tǒng)計理論證明，具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必然是一致性估計量，所以測量平差中參數(shù)的最佳估值要求是最優(yōu)無偏估計量。由于平差模型是線性的，最佳估計也稱為最優(yōu)線性無偏估計。,二、最小二乘原理測量平差就是測量數(shù)據(jù)調(diào)整，調(diào)整原則是使得觀測值殘差的平方和極小為原則：,觀測量：調(diào)整后的估值改正數(shù)殘差觀測值權(quán)陣,小結(jié),重點：理解必要觀測、必要起算數(shù)據(jù)、多余觀測的概念掌握：函數(shù)模型、隨機模型的涵義、作用和實質(zhì)理解：四種平差方法的函數(shù)模型函數(shù)模型線性化的方法最小二乘原理了解：最小二乘估計的性質(zhì),