2019高考數(shù)學大二輪復習 專題三 三角函數(shù) 專題能力訓練10 三角變換與解三角形 理.doc

專題能力訓練10三角變換與解三角形一、能力突破訓練1.(2018全國,理4)若sin =,則cos 2=()A.B.C.-D.-2.已知cos(-2)sin-4=-22,則sin +cos 等于()A.-72B.72C.D.-3.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為()A.6B.3C.6或56D.3或234.在ABC中,ABC=4,AB=2,BC=3,則sinBAC等于()A.1010B.105C.31010D.555.已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,C=120,a=2b,則tan A=.6.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,則b=.7.(2018全國,理15)已知sin +cos =1,cos +sin =0,則sin(+)=.8.在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.9.在ABC中,A=60,c=37a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.10.設ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角.(1)證明:B-A=2;(2)求sin A+sin C的取值范圍.11.設f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)在銳角ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面積的最大值.二、思維提升訓練12.若0<<2,-2<<0,cos4+=13,cos4-2=33,則cos+2等于()A.33B.-33C.539D.-6913.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當3sin A-cosB+4取最大值時,角A的大小為()A.3B.4C.6D.2314.在ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點D,若C=3,BC=8,BD=7,則ABC的面積為.15.已知sin4+sin4-=16,2,則sin 4的值為.16.在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是.17.在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,3<C<2,且ba-b=sin2CsinA-sin2C.(1)判斷ABC的形狀;(2)若|BA+BC|=2,求BABC的取值范圍.專題能力訓練10三角變換與解三角形一、能力突破訓練1.B解析 cos 2=1-2sin2=1-2132=79.2.D解析 cos(-2)sin-4=-cos2sin-4=sin2-2sin-4=2cos-4=2cos +2sin =-22,sin +cos =-12,故選D.3.D解析 由(a2+c2-b2)tan B=3ac,得a2+c2-b22ac=32cosBsinB,即cos B=32cosBsinB,則sin B=32.0<B<,角B為3或23.故選D.4.C解析 在ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BABCcosABC=(2)2+32-223cos4=5.解得AC=5.由正弦定理BCsinBAC=ACsinABC,得sinBAC=BCsinABCAC=3sin45=3225=31010.5.32解析 由正弦定理可得sin A=2sin B,因為B=180-A-120=60-A,所以sin A=2sin(60-A),即sin A=3cos A-sin A,所以2sin A=3cos A,故tan A=32.6.2113解析 因為cos A=,cos C=513,且A,C為ABC的內(nèi)角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因為asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.7.-解析 (sin +cos )2+(cos +sin )2=1,sin2+cos2+cos2+sin2+2sin cos +2sin cos =1+1+2sin(+)=1.sin(+)=-12.8.解 (1)由余弦定理及題設得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因為0<B<,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.因為0<A<34,所以當A=4時,2cos A+cos C取得最大值1.9.解 (1)在ABC中,因為A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因為a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=12bcsin A=128332=63.10.(1)證明 由a=btan A及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin2+A.又B為鈍角,因此2+A2,故B=2+A,即B-A=2.(2)解 由(1)知,C=-(A+B)=-2A+2=2-2A>0,所以A0,4,于是sin A+sin C=sin A+sin2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98.因為0<A<4,所以0<sin A<22,因此22<-2sinA-142+9898.由此可知sin A+sin C的取值范圍是22,98.11.解 (1)由題意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4+k,4+k(kZ);單調(diào)遞減區(qū)間是4+k,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由題意知A為銳角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且當b=c時等號成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面積的最大值為2+34.二、思維提升訓練12.C解析 cos4+=13,0<<2,sin4+=223.又cos4-2=33,-2<<0,sin4-2=63,cos+2=cos4+-4-2=cos4+cos4-2+sin4+sin4-2=1333+22363=539.13.A解析 由正弦定理,得sin Csin A=sin Acos C.因為0<A<,所以sin A>0,從而sin C=cos C.又cos C0,所以tan C=1,則C=4,所以B=34-A.于是3sin A-cosB+4=3sin A-cos(-A)=3sin A+cos A=2sinA+6.因為0<A<34,所以6<A+6<1112,從而當A+6=2,即A=3時,2sinA+6取最大值2.故選A.14.203或243解析 在CDB中,設CD=t,由余弦定理得49=64+t2-28tcos3,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.當t=3時,CA=10,ABC的面積S=12108sin3=203;當t=5時,CA=12,ABC的面積S=12128sin3=243.故ABC的面積為203或243.15.-429解析 因為sin4+=sin2-4-=cos4-,所以sin4+sin4-=sin4-cos4-=12sin2-2=12cos 2=16,所以cos 2=13.因為2<<,所以<2<2.所以sin 2=-1-132=-223.所以sin 4=2sin 2cos 2=-2229=-429.16.8解析 sin A=sin(B+C)=2sin Bsin Ctan B+tan C=2tan Btan C,因為tan A=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,所以tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan Btan C.因為ABC為銳角三角形,所以tan A>0,tan Btan C>0,所以tan A+2tan Btan C22tanAtanBtanC,當且僅當tan A=2tan Btan C時,等號成立,即tan Atan Btan C22tanAtanBtanC,解得tan Atan Btan C8,即最小值為8.17.解 (1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sin B=sin 2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,3<C<2,23<B<,B+C>(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC為等腰三角形.(2)|BA+BC|=2,a2+c2+2accos B=4.又由(1)知a=c,cos B=2-a2a2.而cos B=-cos 2C,12<cos B<1,1<a2<43.BABC=accos B=a2cos B,且cos B=2-a2a2,a2cos B=2-a223,1.BABC23,1.