2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 專題3.1 不等關(guān)系與不等式試題 新人教A版必修5.doc

3.1 不等關(guān)系與不等式 1不等關(guān)系不等關(guān)系主要有以下幾種類型：（1）表示常量與常量之間的不等關(guān)系；（2）表示變量與常量之間的不等關(guān)系；（3）表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；（4）表示一組變量之間的不等關(guān)系2不等式的定義用不等號表示不等關(guān)系的式子叫_，如，等用“”或“”連接的不等式叫嚴(yán)格不等式，用“”或“”連接的不等式叫非嚴(yán)格不等式3不等式的分類按成立條件分絕對不等式無論用什么實數(shù)代替不等式中的字母都成立，如條件不等式只有用某些實數(shù)代替不等式中的字母才能成立，如矛盾不等式無論用什么實數(shù)代替不等式中的字母都不能成立，如按不等號開口方向分同向不等式在兩個不等式中，每一個不等式的左邊都大于右邊，或每一個不等式的左邊都小于右邊，如與異向不等式在兩個不等式中，一個不等式的左邊大于右邊，而另一個不等式的左邊小于右邊，如與4ab和ab的含義不等式等價于讀法含義aba不大于ba小于或等于bab和ab中有一個成立即可aba不小于ba大于或等于bab和ab中有一個成立即可5實數(shù)大小比較的依據(jù)實數(shù)的特征：（1）任意實數(shù)的平方不小于0；（2）任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的數(shù)一定是實數(shù)在數(shù)軸上，不同的點A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，則點A，B在數(shù)軸上的表示如圖所示： 由圖可以看出a，b之間具有以下性質(zhì)：如果ab是正數(shù)，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負(fù)數(shù)，那么ab反過來也對這可以表示為ab0_；ab0_；ab0_注：“”的左邊反映的是實數(shù)運算性質(zhì)，右邊反映的則是實數(shù)a，b的大小關(guān)系，合起來就是實數(shù)的大小與實數(shù)運算之間的關(guān)系6不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1（對稱性）如果ab，那么ba；如果ba，那么ab即abba性質(zhì)2（傳遞性）如果ab，bc，那么ac即ab，bcac如果cb，ba，那么ca即cb，baca性質(zhì)3 （可加性）如果ab，那么acbc即abacbc（推論：移項法則）如果abc，那么acb即abcacb性質(zhì)4（可乘性）如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc性質(zhì)5（同向可加性）如果ab，cd，那么acbd性質(zhì)6（同向同正可乘性）如果ab0，cd0，那么ac_性質(zhì)7（可乘方性）如果，那么_（nN，n1）性質(zhì)8（可開方性）如果，那么_（nN，n2）K知識參考答案：2不等式5ab ab ab6bd K重點用不等式（組）表示不等關(guān)系、比較兩個代數(shù)式的大小、不等式的性質(zhì)K難點不等式性質(zhì)的應(yīng)用（判斷命題的真假、證明不等式、求代數(shù)式的取值范圍）K易錯忽略不等式性質(zhì)成立的條件、對不等式的性質(zhì)理解不夠深刻用不等式（組）表示不等關(guān)系（1）常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號之間的對應(yīng)關(guān)系如下：文字語言大于小于大于等于小于等于至多至少不小于不大于數(shù)學(xué)符號（2）用不等式（組）表示不等關(guān)系的解題思路：先弄清題意，分清是常量與常量、變量與變量、變量與常量、還是函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系；然后類比等式的建立找到不等關(guān)系，選準(zhǔn)不等號，將量與量之間用不等號連接某鐵礦車隊有5輛載重為10 t的A型卡車和8輛載重為6 t的B型卡車，且有11名駕駛員，此車隊每天至少要運450 t礦石至冶煉廠已知A型卡車每輛每天可往返6次，B型卡車每輛每天可往返9次假設(shè)每天派出A型卡車x輛，B型卡車y輛，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組【答案】見解析【解析】由題意，可得，即【名師點睛】不等式是不等關(guān)系的符號表示，在用不等式表示不等關(guān)系時，應(yīng)特別注意能否取等號，像本題中“至少”包含相等的情況，應(yīng)該取等號將實際的不等關(guān)系寫成對應(yīng)的不等式時，應(yīng)注意實際問題中關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號之間的正確轉(zhuǎn)換，這關(guān)系到能否正確地用不等式表示出不等關(guān)系，同時要保證不重、不漏，尤其要檢驗實際問題中變量的取值范圍從下列實際問題中提煉出相應(yīng)的不等式：（1）向一杯糖水里加點糖，糖水變甜；（2）把A糖水（淡）與B糖水（濃）混合到一起，得到的C糖水一定比淡的濃、比濃的淡【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，易知濃度為，加入m克糖后的濃度為提煉出的不等式：若ba0，m0，則（2）設(shè)淡糖水克，含糖克，易知濃度為；濃糖水克，含糖克，易知濃度為；則混合后的濃度為提煉出的不等式：若0，0，且，則【名師點睛】用不等式解決實際問題使實際問題數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)建模，關(guān)鍵是抓住生活中的問題與數(shù)學(xué)中關(guān)系式的特征間的關(guān)系不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)的對比如下：等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)abbaabbaab，bcacab，bcacabacbcabacbcabacbcab，c0acbc；ab，c0acbcab，cdacbdab，cdacbdab0，cd0acbdab0，cd0acbd（nN，n1）（nN，n1）（nN，n2）（nN，n2）已知滿足且，下列選項中不一定成立的是ABCD【答案】C【解析】因為，所以對于A，因為，所以； 對于B，因為，所以，又，所以；對于D，因為，所以，又，所以；對于C，因為且，所以或，因此與的大小不能確定，即不一定成立故選C若為實數(shù)，則下列命題正確的是_（填序號）若，則；若，則；若，則；若，則；若，則；若，則；若，則；若，則；若，則【答案】 對于，因為，兩邊同時乘以可得，兩邊同時乘以可得，所以，命題正確；對于，因為，所以，所以，命題不正確；對于，因為，由性質(zhì)3可得，命題正確；對于，若，則不成立，命題不正確；對于，若，則不成立，命題不正確故填【名師點睛】（1）理解不等式的性質(zhì)時，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實數(shù)的正負(fù)和不等式的可逆性；其次，要關(guān)注常見函數(shù)的單調(diào)性對理解不等式性質(zhì)的指導(dǎo)性（2）理解不等式的性質(zhì)成立的條件以及是否具有可逆性是掌握性質(zhì)的關(guān)鍵例如，性質(zhì)6不但要求兩個不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否則結(jié)論不一定成立；性質(zhì)7若忽略nN，n1，就有可能得出錯誤的結(jié)論同時應(yīng)注意：除了性質(zhì)1和性質(zhì)3，其他性質(zhì)都不可逆利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的一般思路：（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解已知2ab5，1ab4，則5ab的取值范圍為_【答案】 方法2：令abm，abn，則由，解得，故5ab，由2m5，1n4，可得72m3n22，所以75ab22已知1a2，3b5，求|a|，ab，ab，3a2b的取值范圍【答案】見解析【解析】因為1a2，所以0|a|2；因為3b5，所以2ab7；因為1a2，5b3，所以相加得6ab1；因為33a6，102b6，所以相加得133a2b0【名師點睛】同向不等式中只有一個帶等號，那么等號是傳遞不過去的例如，若ab且bc，則ac；若ab且bc，則ac如果兩個不等式都帶有等號，則有：若ab且bc，則ac，其中ac時必須ab且bc，否則ac是不成立的，同向不等式相加也是這樣比較大小（1）作差法、作商法是比較兩個實數(shù)（或代數(shù)式）大小的基本方法作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結(jié)論作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結(jié)論（2）介值比較法也是比較大小的常用方法，其實質(zhì)是不等式的傳遞性若ab，bc，則ac；若ab，bc，那么ac其中b是介于a與c之間的值，此種方法的關(guān)鍵是通過恰當(dāng)?shù)姆趴s，找出一個比較合適的中介值注意：采用作差法時只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么并不重要，通常將差化為完全平方式的形式或多個因式乘積的形式；作商時各式的符號為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反（1）已知a0，b0，試比較與的大??；（2）已知a0，b0，試比較與的大小；（3）已知5a6，試比較a225與ln(a5)的大小【答案】（1）；（2）；（3）a225ln(a5) （2）方法1：作差法，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)方法2：作商法 ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號)【名師點睛】比較大小時應(yīng)注意：（1）比較代數(shù)式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此時一定要保證代數(shù)式大于零；（2）作差時應(yīng)該對差式進(jìn)行恒等變形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明顯看出其正負(fù)號為止；（3）指數(shù)形態(tài)的比較大小問題一般采用作商法轉(zhuǎn)化為同底指數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來處理證明不等式利用性質(zhì)證明不等式，本質(zhì)上還是比較大小，所不同的是比較大小的目標(biāo)不明確，而證明不等式的目標(biāo)明確（1）已知ab，mn，c0，證明：acmcbcnc(bnc)2；（2）已知x1，y1，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）因為ab，mn，所以ambn，又c0，所以(am)c(bn)c，即acmcbcnc0又(bnc)20，所以acmcbcnc(bnc)2（2）采用作差法證明 ，因為x1，y1，所以x10，y10，xy1，所以0，故0，所以【名師點睛】簡單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質(zhì)，通過對不等式變形進(jìn)行證明；對于比較復(fù)雜的不等式的證明，直接利用不等式的性質(zhì)不易進(jìn)行證明，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個因式（式子）的符號，利用符號法則判斷最終的符號，完成證明忽略不等式性質(zhì)成立的條件、對不等式的性質(zhì)理解不夠深刻已知6a16，3b4，c1，求及的取值范圍【錯解】因為6a16，3b4，所以，即，由3b4，c1可得【錯因分析】錯解中使用了同向不等式相除，而不等式?jīng)]有這樣的性質(zhì)，從而導(dǎo)致錯誤 【名師點睛】要求代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除解題時必須準(zhǔn)確利用性質(zhì)，做到步步有依據(jù)，從而避免改變代數(shù)式的取值范圍而出錯同時應(yīng)注意“保序”時的條件，如“非負(fù)乘方保序”，但“乘負(fù)反序”“同號取倒反序”等 1如果，那么下列各式一定成立的是ABCD2已知，那么一定正確的是ABCD3已知，則不等式，中不成立的個數(shù)為A0B1C2D34設(shè)，則的大小關(guān)系為ABCD5已知為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是ABCD6設(shè)，則有ABCD7若d0，d1，m，nN*，則與的大小關(guān)系是A BCD不能確定8已知，則的大小關(guān)系是A BC D無法確定9設(shè)，則的大小關(guān)系為_10，三個數(shù)中最大的數(shù)是_11若則的取值范圍為_12已知：，求證： 13已知，試比較與的大小14比較下列兩組數(shù)的大?。?）與；（2）當(dāng)時，與 15下列結(jié)論正確的是A若，則B若，則C若，則D若，則16若，則下列各式正確的是ABCD17如果，那么下列不等式中正確的是ABCD18設(shè)，若，則下列不等式中正確的是ABCD19已知，則下列推證中錯誤的是ABCD20若，則、的大小順序是_21設(shè)，給出下列三個結(jié)論：；其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為_22已知三個不等式：ab0，bcad，以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成_個正確命題23設(shè)，比較與的大小24（1）已知，且，試比較與的大小；（2）已知，試比較a4b4與4a3(ab)的大小 25（2018新課標(biāo)全國理）設(shè)，則ABCD26（2014四川文）若，則一定有ABCD27（2016浙江）已知實數(shù)a，b，c，A若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2100B若|a2bc|a2bc|1，則a2b2c2100C若|abc2|abc2|1，則a2b2c2100D若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c210028（2017新課標(biāo)全國理）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則A2x<3y<5zB5z<2x<3yC3y<5z<2xD3y<2x<5z1【答案】C【解析】A中應(yīng)為，B中當(dāng)時不成立，D應(yīng)為，故選C2【答案】D【解析】由同向不等式的加法性質(zhì)可知由，可得故選D4【答案】D【解析】由題可得故選D5【答案】B【解析】因為，所以可令，可排除A、C、D，故選B6【答案】B【解析】因為恒成立，所以故選B7【答案】A【解析】()(1)(1)(1)(1)，因為m，nN*，1與1同號，所以(1)(1)0，故選A8【答案】A【解析】由已知可令，則，由于，所以注：特殊值法是解決此類問題的常用方法，適當(dāng)運用可達(dá)到事半功倍的效果9【答案】【解析】，10【答案】【解析】，所以最大的數(shù)為11【答案】【解析】利用同向不等式可以相加，得到的取值范圍為 13【答案】見解析【解析】，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以14【答案】（1）；（2）【解析】（1），（2），又，15【答案】D【解析】選項A中，當(dāng)時不符，所以A錯誤；選項B中，當(dāng)時，符合，不滿足，B錯誤；選項C中，所以C錯誤；選項D中，因為，由不等式的平方法則，即故選D16【答案】A 17【答案】A【解析】因為所以所以在上單調(diào)遞減，所以是正確的，故選A（注：本題也可以用特殊值法，如：令來解決故選A）18【答案】D【解析】由得，故選D19【答案】D【解析】對于A：，則，正確；對于B：，當(dāng)時，有，正確；對于C：，不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，即，正確；對于D：，不等式兩邊同乘以的倒數(shù)，得到，不一定有，錯誤故選D20【答案】【解析】，因為，所以，故21【答案】2【解析】，故，正確；，在上是減函數(shù)，而，所以，錯誤；當(dāng)時，有，正確故所有正確結(jié)論的個數(shù)為222【答案】3 23【答案】【解析】由，又，24【答案】（1）；（2）a4b44a3(ab)【解析】（1），因為，且，所以，所以，即（2）a4b44a3(ab)(ab)(ab)(a2b2)4a3(ab)(ab)(a3a2bab2b34a3)(ab)(a2ba3)(ab2a3)(b3a3)(ab)2(3a22abb2)(ab)22a2(ab)2，因為2a2(ab)20(當(dāng)且僅當(dāng)ab0時取等號)，且ab，所以(ab)20，2a2(ab)20，所以(ab)22a2(ab)20，故a4b44a3(ab) 26【答案】B【解析】，又故選B27【答案】D 【解析】舉反例進(jìn)行排除對于A，令ab10，c110，可排除A；對于B，令a10， b100，c0，可排除B；對于C，令a100， b100，c0，可排除C故選D28【答案】D【解析】令，則，則，則，故選D【名師點睛】對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應(yīng)的，通過作差或作商進(jìn)行比較大小對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及0與1的對數(shù)表示