2018年高中數(shù)學(xué) 第3章 統(tǒng)計案例 3.2 回歸分析教學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

3.2 回歸分析1線性回歸模型(1)隨機誤差具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的取值x、y，y的值不能由x完全確定，可將x，y之間的關(guān)系表示為yabx，其中abx是確定性函數(shù)，稱為隨機誤差(2)隨機誤差產(chǎn)生的主要原因所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；忽略了某些因素的影響；存在觀測誤差(3)線性回歸模型中a，b值的求法yabx稱為線性回歸模型a，b的估計值為a ，b ，則(4)回歸直線和線性回歸方程直線y_a_b_x稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程，a 稱為回歸截距，b 稱為回歸系數(shù)，y 稱為回歸值2樣本相關(guān)系數(shù)r及其性質(zhì)(1)r(2)r具有以下性質(zhì)|r|1|r|越接近于1，x，y的線性相關(guān)程度越強|r|越接近于0，x，y的線性相關(guān)程度越弱3對相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗的基本步驟(1)提出統(tǒng)計假設(shè)H0：變量x，y不具有線性相關(guān)關(guān)系(2)如果以95%的把握作出判斷，那么可以根據(jù)10.950.05與n2在教材附錄2中查出一個r的臨界值r0.05(其中10.950.05稱為檢驗水平)(3)計算樣本相關(guān)系數(shù)r(4)作出統(tǒng)計推斷：若|r|>r0.05，則否定H0，表明有95%的把握認為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若|r|r0.05，則沒有理由拒絕原來的假設(shè)H0，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認為y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系1在線性回歸方程中，b既表示回歸直線的斜率，又表示自變量x的取值增加一個單位時，函數(shù)值y的改變量2通過回歸方程y a b x可求出相應(yīng)變量的估計值3判斷變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般用散點圖，但在作圖中，由于存在誤差，有時很難判斷這些點是否分布在一條直線的附近，從而就很難判斷兩個變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，此時就必須利用線性相關(guān)系數(shù)來判斷例1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由數(shù)據(jù)可知，y對x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系(1)求線性回歸方程；(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？思路點撥代入數(shù)值求線性回歸方程，然后把x10代入，估計維修費用精解詳析(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0x49162536經(jīng)計算得：x4，y5，5,i1x90，5,i1xiyi112.3，a yb x0.08，所以線性回歸方程為y a b x0.081.23x.(2)當(dāng)x10時，y 0.081.231012.38(萬元)，即若估計使用年限為10年時，維修費用為12.38萬元一點通線性回歸分析的步驟：(1)列出散點圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；(2)計算x，y，n,i1x，n,i1y，n,i1xiyi；(3)代入公式求出y b xa 中參數(shù)b ，a 的值；(4)寫出線性回歸方程，并對實際問題作出估計1 某研究機構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，所得數(shù)據(jù)如下表：x681012y2356則y對x的線性回歸方程為_解析：9，4，故y對x的線性回歸方程為y 0.7x2.3.答案：y 0.7x2.32某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)绫恚簩W(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績(x)8876736663物理成績(y)7865716461(1)畫出散點圖；(2)求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是96，試預(yù)測他的物理成績解：(1)散點圖如圖(2)x (8876736663)73.2.y(7865716461)67.8.xiyi8878766573716664636125 054.又x88276273266263227 174.y對x的線性回歸方程是y 0.625x22.05.(3)當(dāng)x96時，y 0.6259622.0582.可以預(yù)測他的物理成績是82. 例2現(xiàn)隨機抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時的數(shù)學(xué)成績(x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(y)如下：學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績是否具有線性關(guān)系？思路點撥可先計算線性相關(guān)系數(shù)r的值，然后與r0.05比較，進而對x與y的相關(guān)性作出判斷精解詳析x(12010899108)107.8，y(84645771)68.所以相關(guān)系數(shù)為r0.751.由檢驗水平0.05及n28，在附錄2中查得r0.050.632，因為0.751>0.632，由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績具有較強的線性相關(guān)關(guān)系一點通利用相關(guān)系數(shù)r進行判斷相關(guān)關(guān)系，需要應(yīng)用公式計算出r的值，由于數(shù)據(jù)較大，需要借助計算器，但計算時應(yīng)該特別細心，避免出現(xiàn)計算錯誤3對于回歸分析，有下列敘述：(1)在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，則因變量不能自由變量惟一確定(2)線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或是負的(3)回歸分析中，如果r21或r1，說明x與y之間完全線性相關(guān)(4)樣本相關(guān)系數(shù)r(，)判斷其說法是否正確解：由回歸模型及其性質(zhì)易知(1)，(2)，(3)是正確的相關(guān)系數(shù)的取值范圍應(yīng)為|r|1，所以(4)是錯誤的4一臺機器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點的零件的多少，隨機器運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件)11985對變量y與x進行線性相關(guān)性檢驗解：由題中數(shù)據(jù)可得12.5，8.25，xiyi438，4 412.5，x660，y291，所以0.995.由檢驗水平0.05及n22在教材附錄表2中查得r0.050.950，因為r>r0.05，所以y與x具有線性相關(guān)關(guān)系對兩個相關(guān)變量進行線性回歸分析時，首先判斷兩個變量是否線性相關(guān)，可以通過散點圖和相關(guān)系數(shù)判斷，然后再求線性回歸方程，對問題進行預(yù)測，否則求出的回歸方程無意義，預(yù)測也無價值課下能力提升(十九)一、填空題1下列命題中正確的是_(填所有正確命題的序號)任何兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系；圓的周長與圓的半徑具有相關(guān)關(guān)系；某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系；根據(jù)散點圖求得的線性回歸方程可能是沒有意義的；兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系可以通過線性回歸方程，把非確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進行研究解析：顯然是錯誤的；而中，圓的周長與圓的半徑的關(guān)系為C2R，是一種確定性的函數(shù)關(guān)系答案：2已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7從所得的散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且y 0.95xa ，則a _解析：2，4.5.又回歸直線恒過定點(，)，代入得a 2.6.答案：2.63從某大學(xué)隨機選取8名女大學(xué)生，其身高x(cm)和體重y(kg)的線性回歸方程為y 0.849x85.712，則身高172 cm的女大學(xué)生，由線性回歸方程可以估計其體重為_解析：y 0.84917285.71260.316.答案：60.316 kg4有下列關(guān)系：人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系；曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；森林中的同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；學(xué)生與其學(xué)號之間的關(guān)系其中有相關(guān)關(guān)系的是_(填序號)解析：由相關(guān)關(guān)系定義分析答案：5某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程yb xa 中的b 為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為_萬元解析：樣本中心點是(3.5，42)，答案：65.5二、解答題6下面是水稻產(chǎn)量與施肥量的一組觀測數(shù)據(jù)：施肥量15202530354045水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？解：(1)散點圖如下：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)施肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量也由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性正相關(guān)關(guān)系7在一段時間內(nèi)，分5次測得某種商品的價格x(萬元)和需求量y(t)之間的一組數(shù)據(jù)為12345價格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知5,i1xiyi62，5,i1x16.6.(1)畫出散點圖；(2)求出y對x的線性回歸方程；(3)如價格定為1.9萬元，預(yù)測需求量大約是多少？(精確到0.01 t)解：(1)散點圖如下圖所示：(2)因為x91.8，y377.4，8為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績y進行分析下面是該生7次考試的成績：數(shù)學(xué)(x)888311792108100112物理(y)949110896104101106(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明；(2)已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理性建議解：(1)100100；100100；142，從而>，物理成績更穩(wěn)定(2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，因為xiyi70 497，x70 994，所以根據(jù)回歸系數(shù)公式得到當(dāng)y115時，x130，即該生物理成績達到115分時，他的數(shù)學(xué)成績大約為130分建議：進一步加強對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高.