（浙江專版）2018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題16 三角函數(shù)與三角恒等變換.doc

專題十六 三角函數(shù)與三角恒等變換【母題原題1】【2018浙江，18】已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（）（）求sin（+）的值；（）若角滿足sin（+）=，求cos的值【答案】（） , （） 或 （）由角的終邊過(guò)點(diǎn)得，由得.由得，所以或.點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的兩種類型：(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.【母題原題2】【2017浙江，18】已知函數(shù)（I）求的值（II）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是， .【解析】試題分析：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.（）由函數(shù)概念，計(jì)算可得；（）化簡(jiǎn)函數(shù)關(guān)系式得，結(jié)合可得周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（）由與得所以的最小正周期是由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得，所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是【母題原題3】【2016浙江，文11理10】已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0)，則A=_，b=_【答案】 ，【解析】，所以【考點(diǎn)】降冪公式，輔助角公式【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡(jiǎn)，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而對(duì)照可得和的值【命題意圖】考查三角函數(shù)的概念、三角公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力 【命題規(guī)律】近幾年高考在對(duì)三角恒等變換考查的同時(shí)，對(duì)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強(qiáng)，往往將三角恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查，往往先利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后進(jìn)一步研究三角函數(shù)的性質(zhì).其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性以及圖象變換是主要考查對(duì)象，難度仍然以中低檔為主，重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通解通法.【答題模板】求解2017年一類問(wèn)題，一般考慮：第一步：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式成為的形式.第二步：代入計(jì)算函數(shù)值.第三步：將視為一個(gè)整體，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，按要求運(yùn)算求解.【方法總結(jié)】1. 三角函數(shù)恒等變換要注意：（1）觀察式子：主要看三點(diǎn) 整體觀察：整個(gè)表達(dá)式是以正余弦為主，還是正切（大多數(shù)情況是正余弦），確定后進(jìn)行項(xiàng)的統(tǒng)一（有句老話：切割化弦） 確定研究對(duì)象：是以作為角來(lái)變換，還是以的表達(dá)式（例如）看做一個(gè)角來(lái)進(jìn)行變換. 式子是否齊次：看每一項(xiàng)（除了常數(shù)項(xiàng)）的系數(shù)是否一樣（合角公式第二條：齊一次），若是同一個(gè)角（之前不是確定了研究對(duì)象了么）的齊二次式或是齊一次式，那么很有可能要使用合角公式，其結(jié)果成為的形式.例如：齊二次式：，齊一次式： （2）向“同角齊次正余全”靠攏，能拆就拆，能降冪就降冪：常用到前面的公式，（還有句老話：平方降冪）2.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則（1）一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；（3）三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.3.變換技巧：(1)拆角、拼角技巧：2()()；.（3）化簡(jiǎn)技巧：切化弦、“1”的代換等4.的常規(guī)求法：（1）： 對(duì)于可通過(guò)觀察在一個(gè)周期中所達(dá)到的波峰波谷（或值域）得到 對(duì)于可通過(guò)一個(gè)周期中最大，最小值進(jìn)行求解： （2）：由可得：只要確定了的周期，即可立刻求出，而的值可根據(jù)對(duì)稱軸（最值點(diǎn)）和對(duì)稱中心（零點(diǎn)）的距離進(jìn)行求解 如果相鄰的兩條對(duì)稱軸為，則 如果相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心為，則 如果相鄰的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心分別為，則注：在中，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)等價(jià)，對(duì)稱中心與零點(diǎn)等價(jià).（3）：在圖像或條件中不易直接看出的取值，通常可通過(guò)代入曲線上的點(diǎn)進(jìn)行求解，要注意題目中對(duì)的限制范圍1【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)P(-3,-1)，則tan=_，cos+sin-2=_【答案】 33 02.【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】已知函數(shù)f(x)=4sinxsinx+3，則函數(shù)f(x)的最小正周期T=_，在區(qū)間0,2上的值域?yàn)開【答案】 (0,3【解析】函數(shù)的解析式：fx=4sinxsin(x+3)=2sinx(3cosx+sinx)=23sinxcosx+2sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin(2x-6)+1函數(shù)f(x)的最小正周期T=22=x(0,2),2x-6(-6,56)，當(dāng)2x-6=2,x=3時(shí),fxmax=2+1=3，當(dāng)2x-6=-6,x=0時(shí),fxmin=-1+1=0，但取不到.所以值域?yàn)?,3.3【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2(x+6)，則f(6)=_，該函數(shù)的最小正周期為_【答案】 0 【解析】分析：由題意首先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：fx=1+cos2x2-1-cos2x+32=12cos2x+12cos2xcos3-sin2xsin3=-1232sin2x-32cos2x=-32sin2x-3.則f6=-32sin26-3=0，函數(shù)的最小正周期為：T=22=.4【2017屆四川省成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校4月月考】在平面直角坐標(biāo)系中，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2；（2）.【解析】試題分析：（1）直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解即可（2）利用誘導(dǎo)公式化解，“弦化切”的思想即可解決試題解析：(1)由任意三角函數(shù)的定義可得： .(2) 原式5【2017屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬二】已知角的終邊上有一點(diǎn)，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）3; （2）【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)正切函數(shù)的定義求出；（2）依據(jù)求得，繼而求出 解：根據(jù)題意，（1）；（2） 6【2018屆江蘇省鹽城中學(xué)全仿真模擬】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以ox軸為始邊作角，角+4的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1).(I)求cos的值；()求cos(56-2)的值.【答案】(1)-1010；(2)43-310.【解析】分析：（1）由于角+4其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)，故cos(+4)=-255，sin(+4)=55，再利用兩角和與差的正余弦公式即可； (2) sin=sin(+4-4) =sin(+4)cos4-cos (+4)sin4=31010.則sin2=2sincos= -35cos2=cos2- sin2=-45，cos(56-2)=cos56 cos2+sin56sin2=43-310.7【浙江省杭州市2016-2017學(xué)年高二下學(xué)期期末】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是圓O上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOP=，AOQ=，0， （1）若Q，求cos（）的值；（2）設(shè)函數(shù)f（）=sin（ ），求f（）的值域【答案】（1） （2） 【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)定義得，再根據(jù)兩角差余弦公式得cos（）的值；（2）先根據(jù)向量數(shù)量積得，再利用二倍角公式、配角公式得，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域試題解析：（1）由已知得 （2） 8【2018屆浙江省紹興市3月模擬】已知函數(shù)f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34.（）求f(x)的最小正周期；（）若x00,2，且f(x0)=12，求f(2x0)的值.【答案】(1) T= (2) -34【解析】試題分析：（1）第（）問(wèn)，直接化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解. (2)第（）問(wèn)，先解方程f(x0)=12得到x0的值，再求f(2x0)的值.試題解析：（）f(x)=12sinxcosx -32cos2x+34 =14sin2x-34 (1+cos2x)+34.即f(x)=12sin(2x-3).所以f(x)的最小正周期T=.（）由x00,2，得2x0-3-3,23，又因?yàn)閒(x0)=12sin(2x0-3) =12，所以2x0-3=2，即2x0=56.所以f(2x0)=f(56) =12sin(256-3) =12sin43=-34.9.【2018屆浙江省杭州市第二次檢測(cè)】已知函數(shù)fx=sinx+74+cos(x-34)(）求f(x)的最小正周期和最大值;()求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)減區(qū)間【答案】（）最小正周期是2，最大值是2（）(54+2k，94+2k)(kz) 【解析】試題分析：1利用兩角和與差的余弦公式，二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34)，再求單調(diào)區(qū)間解析：（）因?yàn)閟in(x74)cos(x34），所以f(x)2sin(x74）=-2sin(x+34).所以函f(x)的最小正周期是2，最大值是2（）因?yàn)閒(-x)=2sin(x-34)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為(54+2k，94+2k)(kz)10【2018屆浙江省溫州市9月一模】已知函數(shù)f(x)=4cosxcos(x+23)+1（1）求f(6)的值；（2）求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【答案】（1）-2 ；（2），k+6,23+k（kZ）【解析】試題分析：（1）將x=6代入f(x)=4cosxcos(x+23)+1，由兩角和的余弦公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果；（2）將cos(x+23)展開與4cosx相乘后利用余弦的二倍角公式以及輔助角公式可得f(x)=-2sin(2x+6，根據(jù)周期公式可得f(x)的最小正周期，根據(jù)利用正弦函數(shù) 的單調(diào)性，解不等式即可得到單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析：（1）f(6)=4cos6cos(6+23)+1 =4cos6cos56+1 =432(-32)+1=-2（2）f(x)=4cosxcos(x+23)+1 =4cosx(-12cosx-32sinx)+1 =-2cos2x-3sin2x+1=-3sin2x-cos2x =-2sin(2x+6)所以，f(x)的最小正周期為，當(dāng)2k+22x+632+2k（kZ）時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k+6,23+k（kZ）11.【騰遠(yuǎn)2018年（浙江卷）紅卷】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+6)-12.（1）求f(6)的值；（2）當(dāng)x0,4時(shí)，求函數(shù)f(x)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）12,1.【解析】分析：（1）由三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得fx=sin(2x+6)，即可求解f(6)的值；（2）由（1）得fx=sin(2x+6)，當(dāng)x0,4時(shí)，得sin(2x+6)12,1，即可求解f(x)的取值范圍.詳解：（1）f(x)=3cosxsin(x+6)-12=2cosx(32sinx+12cosx)-12=3sinxcosx+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin(2x+6)，則f(x)=sin(26+6)=sin2=1.（2）由（1）得f(x)=sin(2x+6)，當(dāng)x0,4時(shí)，2x+66,23，則sin(2x+6)12,1，即f(x)的取值范圍為12,1.12【2018屆浙江省寧波市高三上期末】已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】() ；()最大值，最小值為.（）因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)， 取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，.即的最小值為.