九年級數(shù)學(xué) 第9講 幾何問題探究-與中點(diǎn)相關(guān)問題教案.doc

教學(xué)過程幾何問題探究與中點(diǎn)相關(guān)問題知識點(diǎn)1.中點(diǎn)的定義2.中點(diǎn)的表示方法：等量關(guān)系、倍的關(guān)系、分的關(guān)系3.三角形中線的作用：等分線段4.全等三角形的中線的作用：倍長中線（延長中線至*，連接*，證明三角形全等）教學(xué)目標(biāo)熟練掌握有中點(diǎn)為背景的全等三角形證明的方法.教學(xué)重點(diǎn)在實(shí)際問題中能對中線倍長法模型的建立，利用中線倍長法解決問題.教學(xué)難點(diǎn)利用中線倍長法構(gòu)造全等三角形解決問題.教學(xué)過程幾何在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎兀谌珖鞯氐闹锌紨?shù)學(xué)試卷中圖形與幾何的探究問題占到20%到30%的比重。主要考查了圖形的一些基本性質(zhì)，借助圖形的變換（平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、相似變換）進(jìn)行線段和角的一些相關(guān)問題的探討，主要考查了學(xué)生的觀察能力、空間想象能力、動(dòng)手操作能力以及所學(xué)幾何基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用能力。解決幾何綜合問題，是需要厚積而薄發(fā)，所謂的“幾何感覺”，是建立在足夠的知識積累的基礎(chǔ)上的，熟悉基本圖形及常用的輔助線，在遇到特定條件時(shí)能夠及時(shí)聯(lián)想到對應(yīng)的模型，找到“新”問題與“舊“模型間的關(guān)聯(lián)，明確努力方向，才能進(jìn)一步探究綜合問題。注重對基本模型及輔助線的積累是非常必要的。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線。三角形中線的相關(guān)定理：1. 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。2. 等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）。中線中位線相關(guān)問題（涉及中點(diǎn)的問題）見到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見。三、知識講解考點(diǎn)1 三角形的中位線1. 三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。2. 三角形中位線的定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。3. 中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊。考點(diǎn)2 全等三角形的概念及其性質(zhì)1.定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2.性質(zhì)定理：（1）全等三角形的對應(yīng)角相等。 （2）全等三角形的對應(yīng)邊相等。（3）能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)。 （4）全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。（5）全等三角形的對應(yīng)角的角平分線相等。（6）全等三角形的對應(yīng)邊上的中線相等。（7）全等三角形面積和周長相等。 （8）全等三角形的對應(yīng)角的三角函數(shù)值相等?？键c(diǎn)3 全等三角形的解題技巧一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來采用逆向思維的方式，要想證明全等，需要什么條件。例如：要想證明某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等，然后把所得到的等式運(yùn)用（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）證明三角形全等，有時(shí)還需要輔助線。分析完畢后要注意書寫格式，在全等三角形中，如果格式不寫好那么就容易出現(xiàn)看漏的現(xiàn)象，同時(shí)注意隱含的條件。四、例題精析考點(diǎn)一 倍長中線問題例1 如圖，已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于F，AF=EF，求證：AC=BE例2 如圖所示， OAB，OCD為等腰直角三角形，AOB=COD=90.(1) 如圖1，點(diǎn)C在OA邊上，點(diǎn)D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點(diǎn)，求證：OMBC.(2) 如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將OCD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（為銳角），M為線段AD的中點(diǎn).線段OM與線段BC是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論；OMBC是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.考點(diǎn)二 構(gòu)造中位線問題例3如圖，在ABC和PQD中，AC = kBC，DP = kDQ，C =PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC上，連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想例4 如圖，在ABC和DAE中，AB=k AC，AD=k AE（k>1）且BAC=DAE=，H為BC的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連結(jié)FG，F(xiàn)H，請?zhí)骄縁H與FG的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。說明：如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，可以選?。?）（2）中的一個(gè)條件完成你的探究（1）k=1；（2）點(diǎn)D在BA上，點(diǎn)E在AC 上?？键c(diǎn)三 證明中點(diǎn)問題例5如圖，ABCBDE，M、M分別為AB、DB中點(diǎn)，直線MM交CE于K試探索CK與EK的數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)四 與直角三角形斜邊中點(diǎn)相關(guān)問題例6如圖1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACB=AED=90，點(diǎn)E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn)，連接CE、FE（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；（2）將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AED的一邊AE恰好與ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）將圖1中的AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由。課程小結(jié)本節(jié)課主要研究了與中點(diǎn)相關(guān)的問題，如若遇到一個(gè)中點(diǎn)，可先考慮倍長中線，注意二次全等問題；如若遇到多個(gè)中點(diǎn)，可先考慮嘗試中位線，當(dāng)然倍長中線也可以嘗試考慮；如若遇到直角三角形和中點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)，那么一定要記得“直角三角形斜邊的中線是等于斜邊一半“的這條性質(zhì)。幾何問題的探究，是一個(gè)長期積累的過程，注重幾何知識的綜合運(yùn)用，積累基本型是重中之重。例1【規(guī)范解答】延長到，使，連結(jié)，又， 【總結(jié)與反思】作倍長AD，得到，可以把AC轉(zhuǎn)移到BDG中，利用等腰的性質(zhì)得到兩邊相等。例2【規(guī)范解答】1、證明：AOB和COD是等腰直角三角形，OAOB，ODOC，AOB90AOD BOC，OADOBC，M是AD中點(diǎn)，OMAM，OADMOA，OBCMOA MOA+MOBAOB90，OBC+MOB90BMO180-9090，OMBC。2、結(jié)論：BC2OM,OMBC。延長OM至E，使OMEM，連接AE，又AMDM，AMEDMOAME DMO，AEDO，EAMODMAOB和COD是等腰直角三角形，OAOB， ODOC，AOBDOC90AEOC。OAEOAD+EAMOAD+ODM180-AODBOCAOB+COD-AOD90+90-AOD180-AODOAEBOC，由可得，OAEBOC，OEBC，AOEOBC，OE2OM，BC2OM。延長BC交OE于F，AOE+BOEAOB90，OBC+BOE90 BFO180-9090，OEBF即OMBC。【總結(jié)與反思】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證AODBOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可證明OMBC;（2）延長OM至E，使OMEM，連接AE，先證明AME DMO ，再證明OAEBOC 即可證明BC2OM，延長BC交OE于F，推導(dǎo)出BFO=90，即可證明OMBC.例3【規(guī)范解答】證明： 取BC中點(diǎn)M，連接DE，DM D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)DM=AC 且 DMAC, DE=BC 且 DEBC，C=MDE又PDQ=C，PDQ=C ，又 PDQ+QDM =MDE+QDM，PDM=QDE又AC = kBC，DM = kDE，又DP= kDQ，PDMDQE，DEQ=DMP，又DEBC，DMAC，DEQ=EHC, DMP=C，EHC=C，EH=EC=AC【總結(jié)與反思】本題中出現(xiàn)了兩個(gè)中點(diǎn)，由所給信息，運(yùn)用中位線的知識我們可以構(gòu)造出PDMDQE ，從而得到角的關(guān)系，便可以證明EH與AC的數(shù)量關(guān)系了。例4【規(guī)范解答】證明：連接BD、CEBAC=DAE=，BAC-BAE=DAE-BAE即 BAD=CAE又AB=kAC , AD=kAE， ACEABD，BD= kCE又H為BC的中點(diǎn)，G為ED的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，HF=BD, FG=CEHF= kFG【總結(jié)與反思】本題要我們探究FH與FG的關(guān)系，觀察圖形及所給的已知信息，我們可以首先考慮嘗試運(yùn)用中位線，連接BD，CE，要探究FH與FG的關(guān)系便可以轉(zhuǎn)化為探究BD及CE的關(guān)系，我們可以通過證明ACEABD便可以得到BD及CE的關(guān)系，同樣就可以得知FH與FG的關(guān)系了。例5【規(guī)范解答】CK與EK的數(shù)量關(guān)系為相等，理由如下：延長MK到N，使得NK=MM，連接EM、CM、EN，如圖，可得NK+KM=MM+MK，即NM=MK，ABCBDE，M、M分別為AB、DB中點(diǎn)，EM=CM，BM=BM，EMD=CMB，由BM=BM得：BMM=BMM=KMD，NME=CMK，在EMN和CMK中，NM=MK，NME=CMK，EM=CM，EMNCMK，（SAS）CK=EN，N=CKM=NKE，EK=EN，CK=EK【總結(jié)與反思】由已知條件不能得到相關(guān)條件，可作輔助線，延長MK到N，使得NK=MM，連接EM、CM、EN，再根據(jù)輔助條件證明EMNCMK即可例6【規(guī)范解答】（1）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立如圖2，連接CF，延長EF交CB于點(diǎn)G， ACB=AED=90，DEBC，EDF=GBF，又EFD=GFB，DF=BF， EDFGBF，EF=GF，BG=DE=AE，AC=BC，CE=CG，EFC=90，CF=EF，CEF為等腰直角三角形，CEF=45度，CE=FE；（3）（1）中的結(jié)論仍然成立 如圖3，取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF，DF=BF，F(xiàn)MAB，且FM=AB，AE=DE，AED=90，AM=EM，AME=90，CA=CB，ACB=90CN=AN=AB，ANC=90，MFAN，F(xiàn)M=AN=CN，四邊形MFNA為平行四邊形，F(xiàn)N=AM=EM，AMF=FNA，EMF=FNC，EMFFNC，F(xiàn)E=CF，EFM=FCN，由MFAN，ANC=90，可得CPF=90，F(xiàn)CN+PFC=90，EFM+PFC=90，EFC=90，CEF為等腰直角三角形，CEF=45，CE=FE【總結(jié)與反思】（1）連接CF，直角DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，F(xiàn)EB=FBE，同理可得出CF=DF=BF，F(xiàn)CB=FBC，因此CF=EF，由于DFE=FEB+FBE=2FBE，同理DFC=2FBC，因此EFC=EFD+DFC=2（EBF+CBF）=90，因此EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（2）思路同（1）也要通過證明EFC是等腰直角三角形來求解連接CF，延長EF交CB于點(diǎn)G，先證EFC是等腰三角形，可通過證明CF是斜邊上的中線來得出此結(jié)論，那么就要證明EF=FG，就需要證明DEF和FGB全等這兩個(gè)三角形中，已知的條件有一組對頂角，DF=FB，只要再得出一組對應(yīng)角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)DEBC，因此EDB=CBD，由此構(gòu)成了兩三角形全等的條件EF=FG，那么也就能得出CFE是個(gè)等腰三角形了，下面證明CFE是個(gè)直角三角形就能得出（1）中的結(jié)論了；（3）思路同（2）通過證明CFE來得出結(jié)論，通過全等三角形來證得CF=FE，取AD的中點(diǎn)M，連接EM，MF，取AB的中點(diǎn)N，連接FN、CN、CF那么關(guān)鍵就是證明MEF和CFN全等，利用三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線，我們不難得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我們只要再證得兩對應(yīng)邊的夾角相等即可得出全等的結(jié)論我們知道PN是ABD的中位線，那么我們不難得出四邊形AMPN為平行四邊形，那么對角就相等，于是90+CNF=90+MEF，因此CNF=MEF，那么兩三角形就全等了證明CFE是直角的過程與（1）完全相同那么就能得出CEF是個(gè)等腰直角三角形，于是得出的結(jié)論與（1）也相同