2019版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十八章 銳角三角函數(shù)試題 （新版）新人教版.doc

第二十八章銳角三角函數(shù)1.解直角三角形的方法:(1)直接利用定義求值法A的正弦sinA=A的對(duì)邊斜邊=ac;A的余弦cosA=A的鄰邊斜邊=bc;A的正切tanA=A的對(duì)邊A的鄰邊=ab.概念是解直角三角形的基礎(chǔ),要結(jié)合圖形記憶理解,它同勾股定理相結(jié)合,使得在直角三角形中求邊長(zhǎng)和銳角度數(shù)更加靈活.【例1】在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,則AB=,sinA=.【標(biāo)準(zhǔn)解答】如圖,C=90,AC=3,BC=4,AB=AC2+BC2=32+42=5,sinA=BCAB=45.答案:545(2)設(shè)參數(shù)求值法當(dāng)條件為已知某兩條線段比或某一銳角的三角函數(shù)值(非特殊角的三角函數(shù)值),求圖形中其他角的三角函數(shù)值時(shí),通常設(shè)參數(shù)求值,注意參數(shù)只是解題的橋梁,不參與最后結(jié)果.【例2】在ABC中,C=90,sinA=36,求sinB的值.【標(biāo)準(zhǔn)解答】sinA=36,設(shè)BC=3k,AB=6k.又C=90,故AC=(6k)2-(3k)2=33k,sinB=ACAB=33k6k=336.(3)構(gòu)造直角三角形求值法在某些問(wèn)題的圖形中根本看不到直角三角形,這時(shí)需要根據(jù)條件通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形,然后利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.當(dāng)兩個(gè)直角三角形擁有公共邊時(shí),先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路.【例3】如圖,在ABC中,B=45,cosC=35,AC=5a,則ABC的面積用含a的式子表示是.【標(biāo)準(zhǔn)解答】過(guò)A作ADBC于D.在RtACD中,AC=5a,cosC=35,CD=ACcosC=3a,AD=AC2-CD2=4a.在RtABD中,AD=4a,B=45,BD=AD=4a.BC=BD+CD=4a+3a=7a.故SABC=12BCAD=127a4a=14a2.答案:14a2【例4】如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),若EF=2,BC=5,CD=3,則tanC等于()A.34B.43C.35D.45【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.連接BD.E,F分別是AB,AD的中點(diǎn).BD=2EF=4,BC=5,CD=3,BCD是直角三角形.tanC=43.(4)構(gòu)造方程求值法這類題型中的有些條件,不能直接代入直角三角形中邊與邊、邊與角、角與角之間的公式進(jìn)行求解,這時(shí)可以引入未知數(shù),讓未知數(shù)參與運(yùn)算,最后列方程求解.【例5】周末,身高都為1.6米的小芳、小麗來(lái)到溪江公園,準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算南塔的高度.如圖,小芳站在A處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?5,小麗站在B處(A,B與塔的軸心共線)測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?0.她們又測(cè)出A,B兩點(diǎn)的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm,則可計(jì)算出塔高約為(結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):21.414,31.732)()A.36.21米B.37.71米C.40.98米D.42.48米【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.已知小芳站在A處測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?5,小麗站在B處(A,B與塔的軸心共線)測(cè)得她看塔頂?shù)难鼋菫?0,A,B兩點(diǎn)的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm,所以設(shè)塔高為x米則得:x-1.6+0.1x-1.6+0.1+30=tan 30=33,解得:x42.48.1.在ABC中,AB=122,AC=13,cosB=22,則BC邊長(zhǎng)為()A.7B.8C.8或17D.7或172.如圖,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,CEAB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,且點(diǎn)E是AB中點(diǎn),則tanBFE的值是()A.12B.2C.33D.33.如圖,已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上,則cosA的值為()A.33B.55C.233D.2554.如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為15,sinBAC=35,則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為.5.如圖,在ABC中,C=90,A=30,BD是ABC的平分線.若AB=6,則點(diǎn)D到AB的距離是.6.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是邊AD的中點(diǎn).若AC=10,DC=25,則BO=,EBD的大小約為度分.(參考數(shù)據(jù):tan 263412)7.已知,均為銳角,且滿足|sin-12|+(tan-1)2=0,則+=.8.如圖,在ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,CAB=ACB,過(guò)點(diǎn)B作BEAB交AC于點(diǎn)E.(1)求證:ACBD.(2)若AB=14,cosCAB=78,求線段OE的長(zhǎng).9.如圖,在ABC中,ABC=90,BC=3,D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AC=3CD,過(guò)點(diǎn)D作DHAB,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.(1)求BDcosHBD的值.(2)若CBD=A,求AB的長(zhǎng).10.如圖,AD是ABC的中線,tanB=13,cosC=22,AC=2.求:(1)BC的長(zhǎng).(2)sinADC的值.2.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(1)俯角、仰角問(wèn)題利用解直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,并構(gòu)造直角三角形.解題時(shí)要認(rèn)真審題,讀懂題意,弄清仰角、俯角含義,然后再作圖解答.【例1】如圖,為了測(cè)量某建筑物CD的高度,先在地面上用測(cè)角儀自A處測(cè)得建筑物頂部的仰角是30,然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100m,此時(shí)自B處測(cè)得建筑物頂部的仰角是45.已知測(cè)角儀的高度是1.5m,請(qǐng)你計(jì)算出該建筑物的高度.(取31.732,結(jié)果精確到1m)【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=(x+100)m.在RtAEC中,tanCAE=CEAE,即tan 30=xx+100,xx+100=33,3x=3(x+100),解得x=50+503136.6.CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1138(m).答:該建筑物的高度約為138m.(2)方位角、方向角問(wèn)題弄清方位角的具體表示方法及對(duì)應(yīng)的角是解題的基礎(chǔ),往往需作垂線構(gòu)造直角三角形,利用解直角三角形知識(shí)解答.參照物不同的方位角,要注意借助兩個(gè)“十字方向”中的平行線性質(zhì)解題.【例2】五一期間,小紅到美麗的世界地質(zhì)公園湖光巖參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),在景點(diǎn)P處測(cè)得景點(diǎn)B位于南偏東45方向;然后沿北偏東60方向走100米到達(dá)景點(diǎn)A,此時(shí)測(cè)得景點(diǎn)B正好位于景點(diǎn)A的正南方向,求景點(diǎn)A與B之間的距離.(結(jié)果精確到0.1米)【標(biāo)準(zhǔn)解答】作PCAB于C,ACP=BCP=90,APC=30,BPC=45.在RtACP中,ACP=90,APC=30,AC=12AP=50,PC=3AC=503.在RtBPC中,BCP=90,BPC=45,BC=PC=503.AB=AC+BC=50+50350+501.732=136.6(米).答:景點(diǎn)A與B之間的距離大約為136.6米.【例3】如圖,在A島周圍25海里水域有暗礁,一輪船由西向東航行到O處時(shí),發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60方向,輪船繼續(xù)前行20海里到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45方向,該船若不改變航向繼續(xù)前進(jìn),有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?(參考數(shù)據(jù)31.732)【規(guī)范解答】根據(jù)題意,有AOC=30,ABC=45,ACB=90,所以BC=AC,在RtAOC中,由tan30=ACOC,得33=AC20+AC,解得AC=203-127.32(海里),因?yàn)?7.32>25,所以輪船不會(huì)觸礁.(3)坡度、坡角問(wèn)題在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中,一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形,坡角是一銳角,坡度實(shí)際就是一銳角的正切值,實(shí)質(zhì)是解直角三角形問(wèn)題,畫出正確的圖形更有助于解題.【例4】河堤橫斷面如圖所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡度是13(坡度是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),則AC的長(zhǎng)是()A.53米B.10米C.15米D.103米【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.RtABC中,BC=5米,tanA=13;AC=BCtanA=53米.【例5】某水壩的坡度i=13,坡長(zhǎng)AB=20米,則壩的高度為()A.10米B.20米C.40米D.203米【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.如圖:坡度i=13,設(shè)AC=x,BC=3x,根據(jù)勾股定理得,AC2+BC2=AB2,則x2+(3x)2=202,解得x=10.1.如圖,一漁船由西往東航行,在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60的方向,前進(jìn)40海里到達(dá)B點(diǎn),此時(shí),測(cè)得海島C位于北偏東30的方向,則海島C到航線AB的距離CD是()A.20海里B.40海里C.203海里D.403海里2.如圖,從一個(gè)建筑物的A處測(cè)得對(duì)面樓BC的頂部B的仰角為32,底部C的俯角為45,觀測(cè)點(diǎn)與樓的水平距離AD為31m,則樓BC的高度約為m(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 320.5,cos 320.8,tan 320.6)3.如圖是某兒童樂(lè)園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6米,中間平臺(tái)寬度DE=1米,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N,M,B,EAB=31,DFBC于F,CDF=45,求DM和BC的水平距離BM的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin 310.52,cos 310.86,tan 310.60)4.如圖,要測(cè)量A點(diǎn)到河岸BC的距離,在B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在B點(diǎn)的北偏東30方向上,在C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)在C點(diǎn)的北偏西45方向上,又測(cè)得BC=150m.求A點(diǎn)到河岸BC的距離.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):21.41,31.73)5.如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高度是10米,CBDB,坡面AC的傾斜角為45.為了方便行人推車過(guò)天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面DC的坡度為i=33.若新坡角下需留3米寬的人行道,問(wèn)離原坡角(A點(diǎn)處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數(shù)據(jù):21.414,31.732)6.如圖,臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)O處,并沿東北方向(北偏東45),以40千米/小時(shí)的速度勻速移動(dòng),在距離臺(tái)風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響,在點(diǎn)O的正東方向,距離602千米的地方有一城市A.(1)問(wèn):A市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響,為什么?(2)在點(diǎn)O的北偏東15方向,距離80千米的地方還有一城市B,問(wèn):B市是否會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響?若受到影響,請(qǐng)求出受到影響的時(shí)間;若不受到影響,請(qǐng)說(shuō)明理由.7.如圖,輪船甲位于碼頭O的正西方向A處,輪船乙位于碼頭O的正北方向C處,測(cè)得CAO=45.輪船甲自西向東勻速行駛,同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛,它們的速度分別為45 km/h和36 km/h.經(jīng)過(guò)0.1 h,輪船甲行駛至B處,輪船乙行駛至D處,測(cè)得DBO=58,此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)?(參考數(shù)據(jù):sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60)8.如圖所示,港口B位于港口O正西方向120km處,小島C位于港口O北偏西60的方向.一艘游船從港口O出發(fā),沿OA方向(北偏西30)以vkm/h的速度駛離港口O,同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā),沿北偏東30的方向以60km/h的速度駛向小島C,在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后,立即按原來(lái)的速度給游船送去.(1)快艇從港口B到小島C需要多長(zhǎng)時(shí)間?(2)若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h,求v的值及相遇處與港口O的距離.9.如圖1是一把折疊椅子,圖2是椅子完全打開支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖,其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管,EG表示座板平面,EG和BC相交于點(diǎn)F,MN表示地面所在的直線,EGMN,EG距MN的高度為42cm,AB=43cm,CF=42cm,DBA=60,DAB=80.求兩根較粗鋼管AD和BC的長(zhǎng).(結(jié)果精確到0.1 cm.參考數(shù)據(jù):sin 800.98,cos800.17,tan805.67,sin600.87,cos60=0.5,tan601.73)10.如圖,一艘輪船航行到B處,測(cè)得小島A在船的北偏東60的方向,輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達(dá)C處時(shí),測(cè)得小島A在船的北偏東30的方向.已知在小島170海里內(nèi)有暗礁,若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛,試問(wèn)輪船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)?(31.732)11.某海域有A,B兩個(gè)港口,B港口在A港口北偏西30方向上,距A港口60海里,有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達(dá)位于B港口南偏東75方向的C處,求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)).跟蹤訓(xùn)練答案解析1.解直角三角形的方法:【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選D.cosB=22,B=45,當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí),如圖1,AB=122,B=45,AD=BD=12,AC=13,由勾股定理得CD=5,BC=BD-CD=12-5=7;當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí),如圖2,BC=BD+CD=12+5=17,故選D.2.【解析】選D.連接AC.CE垂直平分AB,BC=AC.又四邊形ABCD是菱形,AB=BC.ABC是等邊三角形,ABC=60.ABD=12ABC=30.BFE=60.tanBFE=3.3.【解析】選D.過(guò)B點(diǎn)作BDAC,如圖,由勾股定理得,AB=12+32=10,AD=22+22=22,cosA=ADAB=2210=255.4.【解析】連接BD,交AC與點(diǎn)O,四邊形ABCD是菱形,ACBD,在RtAOB中,AB=15,sinBAC=35,sinBAC=BOAB=35,BO=9,AB2=OB2+AO2,AO=AB2-OB2=152-92=12,AC=2AO=24.答案:245.【解析】C=90,A=30,ABC=180-30-90=60,BD是ABC的平分線,DBC=12ABC=30,BC=12AB=3,CD=BCtan30=333=3,BD是ABC的平分線,又角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等,點(diǎn)D到AB的距離=CD=3.答案:36.【解析】在矩形ABCD中,AC=10,BD=AC=10,BO=12BD=5.DC=25,AD=AC2-CD2=45,tanDAC=CDAD=12,tan 263412,DAC2634,OAB=OBA=90-DAC=6326,E是AD的中點(diǎn),AE=AB=25,ABE=AEB=45,EBD=OBA-ABE=1826.答案:518267.【解析】|sin-12|+(tan-1)2=0,sin=12,tan=1,=30,=45,則+=30+45=75.答案:758.【解析】(1)CAB=ACB,AB=CB,ABCD是菱形.ACBD.(2)在RtAOB中,cosOAB=AOAB=78,AB=14,AO=1478=494,在RtABE中,cosEAB=ABAE=78,AB=14,AE=87AB=16.OE=AE-AO=16-494=154.9.【解析】(1)DHAB,BHD=ABC=90,ABCDHC,ACCD=BCCH=3,CH=1,BH=BC+CH=4,在RtBHD中,cosHBD=BHBD,BDcosHBD=BH=4.(2)CBD=A,ABC=BHD,ABCBHD,BCHD=ABBH,ABCDHC,ABDH=ACCD=3,AB=3DH,3DH=3DH4,解得DH=2,AB=3DH=32=6,即AB的長(zhǎng)是6.10.【解析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E,cosC=22,C=45,在RtACE中,CE=ACcosC=1,AE=CE=1,在RtABE中,tanB=13,即AEBE=13,BE=3AE=3,BC=BE+CE=4.(2)AD是ABC的中線,CD=12BC=2,DE=CD-CE=1,AEBC,DE=AE,ADC=45,sinADC=22.2.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【跟蹤訓(xùn)練】1.【解析】選C.根據(jù)題意可知CAD=30,CBD=60,CBD=CAD+ACB,CAD=30=ACB,AB=BC=40海里,在RtCBD中,BDC=90,DBC=60,sinDBC=CDBC,sin 60=CDBC,CD=40sin 60=4032=203(海里).2.【解析】在RtABD中,AD=31,BAD=32,BD=ADtan 32310.6=18.6,在RtACD中,DAC=45,CD=AD=31,BC=BD+CD=18.6+31=49.6m.答案:49.63.【解析】設(shè)BM為x米,則DF=BM= x米,在RtCFD中,CDF=45,CF=DFtan 45=DF=x米,BF=BC-CF=(4-x)米,EN=BF=(4-x)米,在RtANE中,EAN=31,AN=ENtan314-x0.6=53(4-x),AN+MN+BM=AB,MN=DE=1,53(4-x)+1+x=6,解得x=2.5.答:DM和BC的水平距離BM的長(zhǎng)度約為2.5米.4.【解析】過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D,設(shè)AD=xm.在RtABD中,ADB=90,BAD=30,BD=ADtan 30=33x.在RtACD中,ADC=90,CAD=45,CD=AD=x.BD+CD=BC,33x+x=150,x=75(3-3)95.即A點(diǎn)到河岸BC的距離約為95m.5.【解析】需要拆除,理由為:CBAB,CAB=45,ABC為等腰直角三角形,AB=BC=10米,在RtBCD中,新坡面DC的坡度為i=33,即CDB=30,DC=2BC=20米,BD=CD2-BC2=103米,AD=BD-AB=(103-10)米7.32米,3+7.32=10.32>10,需要拆除.6.【解析】(1)作ADOC,由題意得:DOA=45,OA=602km,AD=DO=6022=60km,60>50,A市不會(huì)受到此臺(tái)風(fēng)的影響.(2)作BGOC于G,由題意得:BOC=30,OB=80km,BG=12OB=40km,40<50,會(huì)受到影響,如圖:BE=BF=50km,EG=BE2-BG2=30km,EF=2EG=60km,風(fēng)速為40km/h,6040=1.5小時(shí),影響時(shí)間約為1.5小時(shí).7.【解析】設(shè)B處距離碼頭O有xkm,在RtCAO中,CAO=45,tanCAO=COAO,CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan 45=4.5+x,在RtDBO中,DBO=58,tanDBO=DOBO,DO=BOtanDBO=xtan 58,DC=DO-CO,360.1=xtan 58-(4.5+x),x=360.1+4.5tan58-1360.1+4.51.60-1=13.5.因此,B處距離碼頭O大約13.5 km.8.【解析】(1)CBO=60,COB=30,BCO=90.在RtBCO中,OB=120,BC=12OB=60,快艇從港口B到小島C的時(shí)間為:6060=1(h).(2)過(guò)C作CDOA,垂足為D,設(shè)相遇處為點(diǎn)E.則OC=OBcos 30=603,CD=12OC=303,OD=OCcos 30=90,DE=|90-3v|.CE=60,CD2+DE2=CE2,(303)2+(90-3v)2=602,v=20或40,當(dāng)v=20km/h時(shí),OE=320=60km,當(dāng)v=40km/h時(shí),OE=340=120km.9.【解析】作FHAB于H,DQAB于Q,如圖2,FH=42cm,在RtBFH中,sinFBH=FHBF,BF=42sin6048.28,BC=BF+CF=48.28+4290.3(cm).在RtBDQ中,tanDBQ=DQBQ,BQ=DQtan60,在RtADQ中,tanDAQ=DQAQ,AQ=DQtan80,BQ+AQ=AB=43,DQtan60+DQtan80=43,解得DQ56.999,在RtADQ中,sinDAQ=DQAD,AD=56.999sin8058.2(cm).答:兩根較粗鋼管AD和BC的長(zhǎng)分別為58.2 cm,90.3 cm.10.【解析】由題意得BC=200,B=30,ACD=60,D=90,BAC=30=B,CAD=30AC=BC=200,CD=12AC=100,AD=3CD173.2,點(diǎn)A到BD的距離為173.2>170,輪船無(wú)觸礁的危險(xiǎn).11.【解析】作ADBC于D,EAB=30,AEBF,FBA=30,又FBC=75,ABD=45,又AB=60,AD=BD=302,BAC=BAE+CAE=75,ABC=45,C=60,在RtACD中,C=60,AD=302,則tanC=ADCD,CD=3023=106,BC=302+106.故該船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)為302+106海里.