2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：53 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

橢圓及其性質(zhì)建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1(2019北京高考)已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，則()Aa22b2B3a24b2Ca2bD3a4bB由題意，得，則，4a24b2a2，即3a24b2.故選B.2已知方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()AB(1，)C(1,2)DC由題意得解得1k2.故選C.3橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,1)，并且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1C1D1D由題意可設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，且另一個(gè)焦點(diǎn)為F2(0，1)，所以2a|PF1|PF2|4.所以a2，又c1，所以b2a2c23.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.故選D.4以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為()AB1CDB設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，圓與橢圓交于A，B，C，D四個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)2c，則c，c.由橢圓定義，得2a|DF1|DF2|cc，所以e1，故選B.5已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是()A2B6 C4D12C由橢圓的方程得a.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F，則由橢圓的定義得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周長為|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.二、填空題6已知橢圓1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為_(5,0)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，圓心坐標(biāo)為(3,0)，c3.又b4，a5.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的左頂點(diǎn)為(5,0)7(2019全國卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限，若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_(3，)不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，根據(jù)題意可知c4.因?yàn)镸F1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.設(shè)M(x，y)，則得又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以M的坐標(biāo)為(3，)8已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足120的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是_滿足120的點(diǎn)M的軌跡是以F1F2為直徑的圓，若其總在橢圓內(nèi)部，則有cb，即c2b2，又b2a2c2，所以c2a2c2，即2c2a2，所以e2，又因?yàn)?e1，所以0e.三、解答題9已知點(diǎn)P是圓F1：(x1)2y216上任意一點(diǎn)(F1是圓心)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對稱線段PF2的垂直平分線m分別與PF1，PF2交于M，N兩點(diǎn)求點(diǎn)M的軌跡C的方程解由題意得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，圓F1的半徑為4，且|MF2|MP|，從而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4>|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸長為4，焦距為2，則短半軸長為，所以點(diǎn)M的軌跡方程為1.10(2019全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1(圖略)，由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中，F(xiàn)1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的離心率為e1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，從而a2b2c22b232，故a4.當(dāng)b4，a4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b4，a的取值范圍為4，)1已知橢圓C：1，M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|()A4B8 C12D16B設(shè)MN的中點(diǎn)為D，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如圖，連接DF1，DF2，因?yàn)镕1是MA的中點(diǎn)，D是MN的中點(diǎn)，所以F1D是MAN的中位線，則|DF1|AN|，同理|DF2|BN|，所以|AN|BN|2(|DF1|DF2|)，因?yàn)镈在橢圓上，所以根據(jù)橢圓的定義知|DF1|DF2|4，所以|AN|BN|8.2.2016年1月14日，國防科工局宣布，“嫦娥四號”任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長軸長，給出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；<；c1a2>a1c2.其中正確式子的序號是()AB CDD觀察圖形可知a1c1>a2c2，即式不正確；a1c1a2c2|PF|，即式正確；由a1c1a2c2>0，c1>c2>0知，<，即<，從而c1a2>a1c2，>，即式正確，式不正確故選D.3(2019三明模擬)已知ABC的頂點(diǎn)A(3,0)和頂點(diǎn)B(3,0)，頂點(diǎn)C在橢圓1上，則_.3由橢圓方程1，得長軸長2a10，短軸長2b8，焦距2c6，則頂點(diǎn)A，B為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在ABC中，|AB|6，|BC|AC|10，由正弦正理可得，3.4(2109山西太原一模)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，A，B分別是其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，且PF1F2的周長為6，若PF1F2面積的最大值為.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點(diǎn)F2且斜率不為0的直線交橢圓C于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，證明：直線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上解(1)由題意得橢圓C的方程為1.(2)由(1)得A(2,0)，B(2,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線MN的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(43m2)y26my90，y1y2，y1y2，my1y2(y1y2)，直線AM的方程為y(x2)，直線BN的方程為y(x2)，(x2)(x2)，3，x4，直線AM與BN的交點(diǎn)在直線x4上1(2019全國卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()A.y21B1C.1D1B設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由橢圓的定義可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，點(diǎn)A是橢圓的短軸端點(diǎn)，如圖不妨設(shè)A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由點(diǎn)B在橢圓上，得1，得a23，b2a2c22.橢圓C的方程為1.故選B.2如圖是數(shù)學(xué)家Germinal Dandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型(稱為“Dandelin雙球”)；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球O1，球O2的半徑分別為3和1，球心距離8，截面分別與球O1，球O2切于點(diǎn)E，F(xiàn)，(E，F(xiàn)是截口橢圓的焦點(diǎn))，則此橢圓的離心率等于_如圖，圓錐面與其內(nèi)切球O1，O2分別相切與B，A，連接O1B，O2A則O1BAB，O2AAB.過O1作O1DO2A垂直于D，連接O1F，O2E，EF交O1O2于點(diǎn)C.設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為.則在RtO1O2D中，DO2312，O1D2cos .O1O28，CO28O1C.EO2CFO1C，解得O1C2.CF，即cos .則橢圓的離心率e.