九年級(jí)數(shù)學(xué) 第13講 動(dòng)點(diǎn)問題探究-幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題教案.doc

教學(xué)過程動(dòng)點(diǎn)問題探究幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題知識(shí)點(diǎn)圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的翻折、動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖像教學(xué)目標(biāo)會(huì)列出函數(shù)或方程等解決圖形的動(dòng)點(diǎn)問題教學(xué)重點(diǎn)會(huì)解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問題教學(xué)難點(diǎn)會(huì)利用函數(shù)及方程解決圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等問題教學(xué)過程動(dòng)點(diǎn)所產(chǎn)生的函數(shù)及方程問題在初中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)?shù)谋戎?，在全國各地的中考?shù)學(xué)試卷中占到10%到20%的比重。主要研究在幾何圖形運(yùn)動(dòng)中，伴隨著一定的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系的“變”和“不變性”，就運(yùn)動(dòng)對象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和面動(dòng)，常常集代數(shù)與幾何于一體，有較強(qiáng)的綜合性，題目靈活多變，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1. 平移，是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡稱平移。平移不改變圖形的形狀和大小。圖形經(jīng)過平移，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等。2. 軸對稱圖形，是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這條直線就叫做對稱軸。3. 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。三、知識(shí)講解考點(diǎn)1 單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)及雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題關(guān)于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問題，一般根據(jù)圖形變化，探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和規(guī)律，作出符合條件的草圖。解這類題的關(guān)鍵是抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中不變的量，用含未知數(shù)的代數(shù)式去表示所需的線段，根據(jù)題意中隱含的條件借助相似等方式構(gòu)造方程或函數(shù)表達(dá)式?？键c(diǎn)2 圖形運(yùn)動(dòng)問題圖形的運(yùn)動(dòng)包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等，圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，對應(yīng)線段、對應(yīng)角不變，以三角形、四邊形的運(yùn)動(dòng)是常見的一種題型。這里需注意：平移、旋轉(zhuǎn)、翻折都改變了圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小。對于此類題目，關(guān)鍵在于抓住運(yùn)動(dòng)圖形的特殊位置、臨界位置及特殊性質(zhì)，其基本方法是把握圖形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，以不變應(yīng)萬變，解答過程中常需借用函數(shù)或方程來解答?？键c(diǎn)3 線運(yùn)動(dòng)問題解決此類題的關(guān)鍵是根據(jù)線運(yùn)動(dòng)的變化，研究圖形的變化由圖形變化前后的關(guān)系及圖形的性質(zhì)綜合解決問題，如本題利用平移性質(zhì)及三角形面積建立方程解決問題. 四、例題精析考點(diǎn)一 雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題例1 如圖14，在ABC中，B = 90，AB = 6cm，BC = 12cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從A出發(fā)沿邊AB向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C移動(dòng)PBQ的面積S(cm2)與點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)間t (s)的函數(shù)關(guān)系式為_，其中t的取值范圍為_；判斷PBQ能否與ABC相似，若能，求出此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間，若不能，說明理由；設(shè)M是AC的中點(diǎn)，連接MP、MQ，試探究點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是多少時(shí)，MPQ的面積為ABC面積的？例2如圖，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0t2），連接PQ（1）若BPQ與ABC相似，求t的值；（2）連接AQ，CP，若AQCP，求t的值；（3）試證明：PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上考點(diǎn)二 圖形運(yùn)動(dòng)問題例3如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8；折疊紙片使點(diǎn)B落在AD上，落點(diǎn)為B；點(diǎn)B從點(diǎn)A開始沿AD移動(dòng)，折痕所在直線l的位置也隨之改變，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)B停止移動(dòng)，連接BB；設(shè)直線l與AB相交于點(diǎn)E，與CD所在直線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)B的移動(dòng)距離為x，點(diǎn)F與點(diǎn)C的距離為y；（1）求證BEF=ABB；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；考點(diǎn)三 線運(yùn)動(dòng)問題例4如圖，在ABC中，AB=AC，ADAB于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t0）（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的PEF的面積存在最大值，當(dāng)PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使PEF為直角三角形？若存在，請求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請說明理由課程小結(jié)本節(jié)課主要研究了幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題，中考中，對運(yùn)動(dòng)變化問題的考查是?？嫉膬?nèi)容之一，考查的熱點(diǎn)是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、圖形運(yùn)動(dòng)問題（旋轉(zhuǎn)、翻折、對稱變換），解答動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，點(diǎn)不同位置考慮的不全面是容易導(dǎo)致出錯(cuò)的原因之一。復(fù)習(xí)運(yùn)動(dòng)變化問題時(shí)，要注意動(dòng)中覓靜，動(dòng)靜互化，以靜制動(dòng)，注意問題中的不變量、不變關(guān)系，在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題的不變性?？键c(diǎn)一 雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題例1 【規(guī)范解答】（1）0t6（2）由題意知 AP=t，BQ=2t，若PBQ與ABC相似，則，解得t=3，解得t= 即當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)3s或s時(shí)，PBQ與ABC相似（3）作MDAB于D，MEBC于EADM=90，又B=90，ADM=B，DMBC，又M是AC的中點(diǎn)，即D是AB的中點(diǎn)， ，同理，即，即點(diǎn)P移動(dòng)3s時(shí)，【總結(jié)與反思】（1）要求PBQ的面積，只需用含t的代數(shù)式表示三角形的底和高即可得到。（2）若PBQ與ABC相似，分兩種情況討論：，分別用含t的代數(shù)式表示各線段的長度后帶入即可。（3）用含t的代數(shù)式表示MPQ的面積后，按照題意建立起含有t的方程，便可以求出移動(dòng)的時(shí)間了。例2【規(guī)范解答】解：（1）當(dāng)BPQBAC時(shí)，=，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，=，t=1；當(dāng)BPQBCA時(shí)，=，=，t=，t=1或時(shí)，BPQ與ABC相似；（2）如圖所示，過P作PMBC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=84t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90，ACQCMP，=，=，解得：t=；（3）如圖，仍有PMBC于點(diǎn)M，PQ的中點(diǎn)設(shè)為D點(diǎn)，再作PEAC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，ACB=90，DF為梯形PECQ的中位線，DF=，QC=4t，PE=8BM=84t，DF=4，BC=8，過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，RC=DF=4成立，D在過R的中位線上，PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上【總結(jié)與反思】（1）分兩種情況討論：當(dāng)BPQBAC時(shí)，=，當(dāng)BPQBCA時(shí)，=，再根據(jù)BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計(jì)算即可；（2）過P作PMBC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=84t，根據(jù)ACQCMP，得出=，代入計(jì)算即可；（3）作PEAC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8BM=84t代入求出DF，過BC的中點(diǎn)R作直線平行于AC，得出RC=DF，D在過R的中位線上，從而證出PQ的中點(diǎn)在ABC的一條中位線上考點(diǎn)二 圖形運(yùn)動(dòng)問題例3【規(guī)范解答】（1）證明，如圖，由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可知，BE=BE，BEF=BEF，在等腰BEB中，EF是角平分線，EFBB，BOE=90，ABB+BEF=90，ABB+ABB=90，BEF=ABB；（2）解當(dāng)點(diǎn)F在CD之間時(shí)，如圖1，作FMAB交AB于點(diǎn)E，AB=6，BE=EB，AB=x，BM=FC=y，在RTEAB中，EB2=AE2+AB2，（6AE）2=AE2+x2解得AE=，tanABB=，tanBEF=，由（1）知BEF=ABB，=，化簡，得y=x2x+3，（0x82）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2所示設(shè)直線EF與BC交于點(diǎn)K設(shè)ABB=BKE=CKF=，則，BK=，CK=BCBK=8CF=CKtan=（8）tan=8tanBE=xBE在RtEAB中，EB2=AE2+AB2，（6BE）2+x2=BE2解得BE=，CF=xBE=x=x2+x3，y=x2+x3（82x6）綜上所述，y=【總結(jié)與反思】（1）先由等腰三角形中的三線合一，得出BOE=90，再由ABB+BEF=90，ABB+ABB=90，得出BEF=ABB；（2）當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，如圖1所示作FMAB交AB于點(diǎn)E，在RTEAB中，利用勾股定理求出AE，再由tanABB=tanBEF列出關(guān)系式寫出x的取值范圍即可，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2所示,利用勾股定理與三角函數(shù)，列出關(guān)系式，寫出x的取值范圍.考點(diǎn)三 線運(yùn)動(dòng)問題例4【規(guī)范解答】（1）證明：當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=2，則H為AD的中點(diǎn)，如答圖1所示又EFAD，EF為AD的垂直平分線，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADAB于點(diǎn)D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形（2）解：如答圖2所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPEF=EFDH=（10t）2t=t2+10t=（t2）2+10當(dāng)t=2秒時(shí)，SPEF存在最大值，最大值為10，此時(shí)BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，此時(shí)PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此種情形不存在；若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，此時(shí)PEAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示過點(diǎn)E作EMBC于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FNBC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化簡得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=綜上所述，當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，PEF為直角三角形【總結(jié)與反思】（1）如答圖1所示，利用菱形的定義證明；（2）如答圖2所示，首先求出PEF的面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）如答圖3所示，分三種情形，需要分類討論，分別求解