IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計.ppt

第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經(jīng)知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：（6.1）,進行z變換，可得：于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2),6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法對(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項式進行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點而di為極點。H(z)的設(shè)計就是要確定系數(shù)、或者零極點、，以使濾波器滿足給定的性能指標。一般有三種方法。,1.零極點位置累試法IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點處出現(xiàn)峰值、在零點處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點來設(shè)置H(z)的零極點以達到簡單的性能要求。所謂累試，就是當特性尚未達到要求時，通過多次改變零極點的位置來達到要求。當然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設(shè)計。,2.借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經(jīng)發(fā)展得相當成熟，產(chǎn)生了許多效率很高的設(shè)計方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴格的設(shè)計公式，而且設(shè)計參數(shù)已圖表化，設(shè)計起來方便準確。,而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設(shè)計方法來設(shè)計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，較多地采用了這種方法。,3.用優(yōu)化技術(shù)設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設(shè)計方法來確定。最優(yōu)化設(shè)計法的第一步是要選擇一種誤差判別準則，用來計算誤差和誤差梯度等。,第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設(shè)計的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當此誤差達到最小值時，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設(shè)計過程也就到此完成。,這種方法能夠精確地設(shè)計許多復(fù)雜的濾波器，但是往往計算很復(fù)雜，需要進行大量的迭代運算，故必須借助于計算機，因而優(yōu)化設(shè)計又叫做IIR濾波器的計算機輔助設(shè)計(CAD)。第一種方法的算法簡單、設(shè)計粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內(nèi)容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎(chǔ)，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。,6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設(shè)計原理利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經(jīng)變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。,6.2模擬低通濾波特性的逼近模擬濾波器的設(shè)計包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設(shè)計有關(guān)的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術(shù)指標的情況下，如何設(shè)計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術(shù)指標。,模擬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Ha(j)是沖激響應(yīng)ha(t)的傅里葉變換，Ha(j)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標來設(shè)計系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個理想的模擬低通濾波器的指標，是以平方幅度特性|Ha(j)|2來給出的。,c是截止頻率，當0c時，|Ha(j)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實的曲線表示一個實際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設(shè)計工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近。,6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對于Butterworth濾波器有：（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。,6.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)B型濾波器的幅頻特性是隨增大而單調(diào)下降的。在=0附近以及很大時幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,2.3db帶寬由(6.4)式可知，當=c時，=，而因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點。,圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性,3.N的影響在通帶內(nèi)，01，故N越大，隨增大而下降越快。,因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對應(yīng)的特性曲線都經(jīng)過c處的半功率點。離c越近，幅頻特性與理想特性相差越大。,6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點由于Ha(s)是s的實系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=j,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6),圖6.2階次N對B型特性的影響,(6.6)式的極點為：p=0,1,2N-1作為1的2N次方根，p均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為/N；它們關(guān)于實軸對稱，卻沒有一個在實軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關(guān)于虛軸對稱，卻沒有一個在虛軸上，這就是說，2N個極點sp在s平面的左、右兩半平面各有N個。,這2N個極點是Ha(s)Ha(-s)的極點，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個極點sk（k=0,1,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個極點-sk就正好是Ha(s)的極點。因此有：(6.8),這個式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個極點s0、s1、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對出現(xiàn)，當N為奇數(shù)時,有一個在實軸上(為-)。,6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器,圖6.3一般情況下低通濾波器的設(shè)計指標,此時，應(yīng)該將角頻率標稱化，通常以1為基準頻率，則標稱化角頻率為：=/1。于是通帶邊界的標稱化角頻率為1=1，并且在通帶有01，在過渡帶和阻帶則有>1。以下為了方便起見，仍用不帶撇的表示標稱化的角頻率。頻率標稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標來確定。,（6.4）式可以寫成：(6.10)當=1=1時，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：,當時有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。,6.4沖激響應(yīng)不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復(fù)頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)的拉氏變換。,6.4.1沖激響應(yīng)不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋?6.62),而且一般都滿足M0,r>1；當<0,r<1。,(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系，也表示了z平面的幅角與s平面的虛部之間的關(guān)系。由(6.75)式還可以知道，s平面上由-/Ts到/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上由-到的區(qū)域，即整個z平面；s平面上的水平線=-/Ts映射到z平面上的射線=-，而當這條射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)的s平面上的水平線就向上平移。,上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關(guān)系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關(guān)系。s平面與z平面的映射關(guān)系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。,圖6.14模擬復(fù)頻率s與數(shù)字復(fù)頻率z之間的映射關(guān)系,例6.6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：c=2fc=2400=800弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):,其中，現(xiàn)在進行部分分式分解，令(*2),可以得到：根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：,上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。,6.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關(guān)系的導(dǎo)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說明，已令M=N。,由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設(shè)法用某種數(shù)字網(wǎng)絡(luò)來代替此基本單元，就能夠?qū)⒛M濾波器轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應(yīng)為：,設(shè)有一信號(t0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應(yīng)為：設(shè)0<t10，即右半平面r>1,即單位圓外=0，即虛軸r=1,即單位圓<0，即左半平面r<1,即單位圓內(nèi),因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導(dǎo)出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應(yīng)不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復(fù)頻率s與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的映射是一一對應(yīng)的關(guān)系。,圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關(guān)系,6.5.3頻率預(yù)畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關(guān)系，也即模擬濾波器的角頻率與相應(yīng)的數(shù)字濾波器的角頻率之間的關(guān)系。在(6.84)式中令=0，便可得到：或（6.85）,圖6.17與之間的非線性關(guān)系,與的關(guān)系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對應(yīng)地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率與數(shù)字頻率之間的非線性關(guān)系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產(chǎn)生失真；,但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預(yù)畸變來校正。實際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率，按照(6.85)式轉(zhuǎn)變成相應(yīng)的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標來設(shè)計模擬濾波器，則最后轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的各關(guān)鍵頻率就會正好映射到所要求的位置上。,6.5.4雙線性變換法的特點1模擬濾波器經(jīng)過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Ha()無限帶要求，而且能夠直接用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。,2與沖激響應(yīng)不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關(guān)系=Ts不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關(guān)系，但是，如果事先進行頻率預(yù)畸變，這種非線性關(guān)系不會使所設(shè)計的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進行部分分式分解。,因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關(guān)系會產(chǎn)生相頻特性失真，所以若對數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴，則不宜采用這種變換方法。,最后必須強調(diào)說明一下用雙線性變換法來設(shè)計數(shù)字濾波器時各種頻率之間的關(guān)系。我們在考慮一個數(shù)字濾波器的頻域特性時，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率，也可以是模擬頻率。模擬角頻率=2f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。與的關(guān)系為=Ts，Ts為抽樣周期。,數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)=，是的周期函數(shù)，以2為周期；是的周期函數(shù)，周期為s=2/Ts。上述這些關(guān)系與數(shù)字濾波器的設(shè)計方法無關(guān)。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來設(shè)計的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。,我們在6.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關(guān)系實際上是被變換的模擬濾波器的復(fù)頻率s與所得到的數(shù)字濾波器的復(fù)頻率z之間的關(guān)系，(6.85)式中的也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應(yīng)該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用來表示，即為：；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率與其本身的模擬角頻率之間仍然是上面所述的那種線性關(guān)系，即有：=Ts。,