2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第1講 直線與圓 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第1講 直線與圓 理考情解讀考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識1直線方程的五種形式(1)點斜式：yy1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(2)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(3)兩點式：(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)(4)截距式：1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點的直線)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同時為0)2直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線垂直l1l2k1k21.提醒當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略3三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離：|AB|.(2)點到直線的距離：d(其中點P(x0，y0)，直線方程：AxByC0)(3)兩平行線間的距離：d(其中兩平行線方程分別為l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒應(yīng)用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等4圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法.熱點一直線的方程及應(yīng)用例1(1)過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0(2)“m1”是“直線xy0和直線xmy0互相垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件思維啟迪(1)不要忽略直線過原點的情況；(2)分別考慮充分性和必要性答案(1)B(2)C解析(1)當(dāng)直線過原點時方程為2x5y0，不過原點時，可設(shè)出其截距式為1，再由過點(5,2)即可解出2xy120.(2)因為m1時，兩直線方程分別是xy0和xy0，兩直線的斜率分別是1和1，兩直線垂直，所以充分性成立；當(dāng)直線xy0和直線xmy0互相垂直時，有11(1)m0，所以m1，所以必要性成立故選C.思維升華(1)要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分線方程為yx1，則AC所在的直線方程為()Ay2x4Byx3Cx2y10D3xy10答案C解析由題意可知，直線AC和直線BC關(guān)于直線yx1對稱設(shè)點B(1,2)關(guān)于直線yx1的對稱點為B(x0，y0)，則有，即B(1,0)因為B(1,0)在直線AC上，所以直線AC的斜率為k，所以直線AC的方程為y1(x3)，即x2y10.故C正確熱點二圓的方程及應(yīng)用例2(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為()A(x2)2(y2)23B(x2)2(y)23C(x2)2(y2)24D(x2)2(y)24(2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2xy40相切，則圓M的方程為()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24思維啟迪(1)確定圓心在直線x2上，然后待定系數(shù)法求方程；(2)根據(jù)弦長為2及圓與l2相切列方程組答案(1)D(2)B解析(1)因為圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x2上，又圓與y軸相切，所以半徑r2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(21)2b24，b23，b，所以選D.(2)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a>2，半徑為r，得解得滿足條件的一組解為所以圓M的方程為(x1)2y24.故選B.思維升華圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關(guān)系，在求解圓的方程時，要根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问浇鉀Q與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)(1)已知圓C：x2(y3)24，過點A(1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點，若|PQ|2，則直線l的方程為()Ax1或4x3y40Bx1或4x3y40Cx1或4x3y40Dx1或4x3y40(2)已知圓C的圓心與拋物線y24x的焦點關(guān)于直線yx對稱，直線4x3y20與圓C相交于A，B兩點，且|AB|6，則圓C的方程為_答案(1)B(2)x2(y1)210解析(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x1符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，線段PQ的中點為M，由于|PQ|2，易得|CM|1.又|CM|1，解得k，此時直線l的方程為y(x1)故所求直線l的方程為x1或4x3y40.故選B.(2)設(shè)所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y24x的焦點坐標(biāo)是(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x3y20的距離d1，則r2d2()210，故圓C的方程是x2(y1)210.熱點三直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍思維啟迪(1)先求出圓C的圓心坐標(biāo)，再利用幾何法求出切線斜率；(2)將|MA|2|MO|化為M點坐標(biāo)滿足的條件后，可知點M是兩圓的交點解(1)由題設(shè)，圓心C是直線y2x4和直線yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，由題意，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點M(x，y)，因為|MA|2|MO|，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以圓心M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則21|CD|21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.思維升華(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式過圓外一點求解切線段長可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理(1)(xx重慶)已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B兩點，且ABC為等邊三角形，則實數(shù)a_.(2)兩個圓C1：x2y22axa240(aR)與C2：x2y22by1b20(bR)恰有三條公切線，則ab的最小值為()A6 B3 C3 D3答案(1)4(2)C解析圓心C(1，a)到直線axy20的距離為.因為ABC為等邊三角形，所以|AB|BC|2，所以()21222，解得a4.(2)兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(xa)2y24，圓C2：x2(yb)21，所以|C1C2|213，即a2b29.由()2，得(ab)218，所以3ab3，當(dāng)且僅當(dāng)“ab”時取“”所以選C.1由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況2確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質(zhì)：(1)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱3直線與圓中常見的最值問題圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題4過兩圓C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交點的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程.真題感悟1(xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x2y30被圓(x2)2(y1)24截得的弦長為_答案解析圓心為(2，1)，半徑r2.圓心到直線的距離d，所以弦長為22.2(xx課標(biāo)全國)設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點N，使得OMN45，則x0的取值范圍是_答案1,1解析如圖，過點M作O的切線，切點為N，連接ON.M點的縱坐標(biāo)為1，MN與O相切于點N.設(shè)OMN，則45，即sin ，即.而ON1，OM.M為(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范圍為1,1押題精練1在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2|PB|24且在圓x2y24上的點P的個數(shù)為_答案2解析設(shè)P(x，y)，則由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，xy2，滿足條件的點P的個數(shù)轉(zhuǎn)化為直線xy2和圓x2y24的交點個數(shù)，<2，直線與圓相交，點P有2個2如果圓C：x2y22ax2ay2a240與圓O：x2y24總相交，則實數(shù)a的取值范圍是_答案2<a<0或0<a<2解析將圓C：x2y22ax2ay2a240變形為(xa)2(ya)24，可知圓心為C(a，a)，半徑為r2.圓O：x2y24的圓心為O(0,0)，半徑為R2.當(dāng)兩圓總相交時|Rr|<|OC|<rR，即0<<4，解得2<a<0或0<a<2.3若圓x2y2r2(r>0)上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是_答案(1，1)解析注意到與直線xy20平行且距離為1的直線方程分別是xy20和xy20，要使圓上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，需滿足在兩條直線xy20和xy20中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以<r<，即1<r<1.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1直線l1：kx(1k)y30和l2：(k1)x(2k3)y20互相垂直，則k等于()A3或1 B3或1C3或1 D3或1答案C解析若k1，直線l1：x3，l2：y滿足兩直線垂直若k1，直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，由k1k21得k3，綜上k1或k3.2若P(2，1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點，則直線AB的方程是()Axy30B2xy30Cxy10D2xy50答案A解析圓的圓心為C(1,0)由圓的性質(zhì)知，直線PC垂直于弦AB所在的直線，則kAB，即kAB1.又點P(2，1)是弦AB的中點，由直線的點斜式方程得直線AB的方程為y(1)x2，即xy30.故選A.3若圓O：x2y24與圓C：x2y24x4y40關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程是()Axy0Bxy0Cxy20Dxy20答案C解析圓x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圓心C的坐標(biāo)為(2,2)直線l過OC的中點(1,1)，且垂直于直線OC，易知kOC1，故直線l的斜率為1，直線l的方程為y1x1，即xy20.故選C.4若直線ykx2k與圓x2y2mx40至少有一個交點，則m的取值范圍是()A0，) B4，)C(4，) D2,4答案C解析由yk(x2)得直線恒過定點(2,0)，因此可得點(2,0)必在圓內(nèi)或圓上，故有(2)2022m40m4.又由方程表示圓的條件，故有m244>0m<4或m>4.綜上可知m>4.故選C.5動圓C經(jīng)過點F(1,0)，并且與直線x1相切，若動圓C與直線yx21總有公共點，則圓C的面積()A有最大值8B有最小值2C有最小值3D有最小值4答案D解析設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，r|CF|a1|，即(a1)2b2(a1)2，即ab2，圓心為(b2，b)，rb21，圓心到直線yx21的距離為d1，b2(23)或b2，當(dāng)b2時，rmin412，Sminr24.6設(shè)P為直線3x4y30上的動點，過點P作圓C：x2y22x2y10的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為()A1 B. C2 D.答案D解析依題意，圓C：(x1)2(y1)21的圓心是點C(1,1)，半徑是1，易知|PC|的最小值等于圓心C(1,1)到直線3x4y30的距離，即2，而四邊形PACB的面積等于2SPAC2(|PA|AC|)|PA|AC|PA|，因此四邊形PACB的面積的最小值是，故選D.二、填空題7已知直線l1與圓x2y22y0相切，且與直線l2：3x4y60平行，則直線l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依題意，設(shè)所求直線l1的方程是3x4yb0，則由直線l1與圓x2(y1)21相切，可得圓心(0，1)到直線3x4yb0的距離為1，即有1，解得b1或b9.因此，直線l1的方程是3x4y10或3x4y90.8(xx湖北)直線l1：yxa和l2：yxb將單位圓C：x2y21分成長度相等的四段弧，則a2b2_.答案2解析依題意，不妨設(shè)直線yxa與單位圓相交于A，B兩點，則AOB90.如圖，此時a1，b1，滿足題意，所以a2b22.9(xx湖北)已知圓O：x2y25，直線l：xcos ysin 1(0<<)設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為k，則k_.答案4解析圓心O到直線l的距離d1，而圓O半徑為，所以圓O上到l的距離等于1的點有4個10已知A(2,0)，B(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2y2kx0上兩個不同點，P是圓x2y2kx0上的動點，如果M，N關(guān)于直線xy10對稱，則PAB面積的最大值是_答案3解析依題意得圓x2y2kx0的圓心(，0)位于直線xy10上，于是有10，即k2，因此圓心坐標(biāo)是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|2，直線AB的方程是1，即xy20，圓心(1,0)到直線AB的距離等于，點P到直線AB的距離的最大值是1，PAB面積的最大值為23.三、解答題11(1)求圓心在x軸上，且與直線yx相切于點(1,1)的圓的方程；(2)已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x2)2(y2)2r2(r>0)關(guān)于直線xy20對稱，求圓C的方程解(1)根據(jù)題意可設(shè)圓心(a,0)，則1a2，即圓心為(2,0)，半徑r，則所求圓的方程為(x2)2y22.(2)設(shè)圓心為C(a，b)，則所以又P(1,1)在圓上，所以圓C的方程為x2y22.12已知圓M的方程為x2y22x2y60，以坐標(biāo)原點O為圓心的圓O與圓M相切(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點，圓O內(nèi)的動點D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，求的取值范圍解(1)圓M的方程可整理為(x1)2(y1)28，故圓心M(1,1)，半徑R2.圓O的圓心為O(0,0)，因為|MO|<2，所以點O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M.設(shè)圓O的半徑為r，因為圓O內(nèi)切于圓M，所以|MO|Rr，即2r，解得r.所以圓O的方程為x2y22.(2)不妨設(shè)E(m,0)，F(xiàn)(n,0)，且m<n.由解得或故E(，0)，F(xiàn)(，0)設(shè)D(x，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，得|DE|DF|DO|2，即x2y2，整理得x2y21.而(x，y)，(x，y)，所以(x)(x)(y)(y)x2y222y21.由于點D在圓O內(nèi)，故有得y2<，所以12y21<0，即1,0)13已知ABC的三個頂點A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為H.(1)若直線l過點C，且被H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以點C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30，所以外接圓圓心為H(0,3)，半徑為，H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因為直線l被H截得的弦長為2，所以d3.當(dāng)直線l垂直于x軸時，顯然符合題意，即x3為所求；當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k，直線方程為4x3y60.綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2)直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)，因為點M是線段PN的中點，所以M(，)，又M，N都在半徑為r的C上，所以即因為該關(guān)于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m,4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2，又3mn30，所以r210m212m109r2對m0,1成立而f(m)10m212m10在0,1上的值域為，10，故r2且109r2.又線段BH與圓C無公共點，所以(m3)2(33m2)2>r2對m0,1成立，即r2<.故C的半徑r的取值范圍為，)