2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 算法初步、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 10.4 相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例課件 文 北師大版.ppt

10.4相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例,知識梳理,考點自診,1.相關(guān)性(1)散點圖:在考慮兩個量的關(guān)系時,為了對變量之間的關(guān)系有一個大致的了解,人們通常將變量所對應(yīng)的點描出來,這些點就組成了變量之間的一個圖,通常稱這種圖為變量之間的.(2)線性相關(guān):若兩個變量x和y的散點圖中,所有點看上去都在_附近波動,則稱變量間是線性相關(guān)的,此時,我們可以用來近似.(3)非線性相關(guān):在兩個變量x和y的散點圖中,若所有點看上去都在某條附近波動,則稱此相關(guān)為非線性相關(guān)的.此時,可以用一條來擬合.如果所有的點在散點圖中沒有顯示任何關(guān)系,則稱變量間是.,散點圖,一條直線,一條直線,曲線,曲線,不相關(guān)的,知識梳理,考點自診,2.最小二乘法與線性回歸方程(1)最小二乘法:如果有n個點:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y=a+bx的接近程度:y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2.使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線,這種方法稱為.,a=.這樣得到的直線方程稱為線性回歸方程,a,b是線性回歸方程的系數(shù).,最小二乘法,知識梳理,考點自診,3.獨立性檢驗(1)22列聯(lián)表,構(gòu)造一個隨機變量2=,其中n=為樣本容量.(2)獨立性檢驗利用隨機變量來判斷“兩個變量”的方法稱為獨立性檢驗.,a+b+c+d,有關(guān)聯(lián),知識梳理,考點自診,(3)當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時,在統(tǒng)計中,用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷當(dāng)22.706時,沒有充分的證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認為變量A,B是沒有關(guān)聯(lián)的;當(dāng)2>2.706時,有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);當(dāng)2>3.841時,有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);當(dāng)2>6.635時,有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系都是一種確定性的關(guān)系,也是一種因果關(guān)系.()(2)利用散點圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示.()(3)只有兩個變量有相關(guān)關(guān)系,所得到的回歸模型才有預(yù)測價值.()(4)事件X,Y關(guān)系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的2的值越大.()(5)通過回歸方程y=bx+a可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢.(),知識梳理,考點自診,2.(2018黑龍江仿真模擬七,3)為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗,得到5組數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1+x2+x3+x4+x5=150,由最小二乘法求得回歸直線方程為y=0.67x+54.9,則y1+y2+y3+y4+y5的值為()A.75B.155.4C.375D.466.2,A,知識梳理,考點自診,3.(2018遼寧丹東二模,5)已知某種商品的廣告費支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):,根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a,計算得b=7,則當(dāng)投入10萬元廣告費時,銷售額的預(yù)報值為()A.75萬元B.85萬元C.99萬元D.105萬元,B,回歸直線y=7x+a過樣本中心(5,50),50=75+a,解得a=15,回歸直線方程為y=7x+15.當(dāng)x=10時,y=710+15=85,故當(dāng)投入10萬元廣告費時,銷售額的預(yù)報值為85萬元,故選B.,知識梳理,考點自診,4.(2018山西大同、陽泉二模,文4)某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量的調(diào)查,數(shù)據(jù)如表:,若推斷“學(xué)生的性別與認為作業(yè)量大有關(guān)”,則(),知識梳理,考點自診,A.有99%的把握判定它們有關(guān)聯(lián)B.有95%的把握判定它們有關(guān)聯(lián)C.有90%的把握判定它們無關(guān)聯(lián)D.沒有充分的證據(jù)判定它們有關(guān)聯(lián),答案,解析,知識梳理,考點自診,5.(2018遼寧葫蘆島二模,15改編)下列說法:線性回歸方程y=bx+a必過;相關(guān)系數(shù)r越接近1,表明兩個變量相關(guān)性越弱;在回歸直線方程y=-0.5x+2中,當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時,預(yù)報變量y平均減少0.5個單位;在一個22列聯(lián)表中,由計算得2=8.079,則有99%的把握認為這兩個變量間有關(guān)系;對分類變量X與Y,它們的隨機變量2的值來說,k越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.其中正確的說法是.(把你認為正確的結(jié)論都寫在橫線上)本題可參考獨立性檢驗臨界值表:,知識梳理,考點自診,解析:線性回歸方程y=bx+a必過樣本中心點,故正確;相關(guān)系數(shù)r絕對值越接近1,表明兩個變量相關(guān)性越強,故錯誤;在回歸直線方程y=-0.5x+2中,當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時,預(yù)報變量y平均減少0.5個單位,故正確;在一個22列聯(lián)表中,由計算得2=8.079,則有99%的把握認為這兩個變量間有關(guān)系,故正確;對分類變量X與Y,它們的隨機變量2的值來說,2值越小,“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小;故錯誤.綜上,答案為.,考點1,考點2,考點3,相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)(2018北京八中烏蘭察布分校期末考,10)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,獲得以下散點圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較,正確的是()A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3,A,考點1,考點2,考點3,(2)(2018福建寧德5月質(zhì)檢,3)下圖是具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的散點圖和回歸直線,若去掉一個點使得余下的5個點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大,則應(yīng)當(dāng)去掉的點是()A.DB.EC.FD.A,B,考點1,考點2,考點3,解析:(1)圖1和圖3是正相關(guān),相關(guān)系數(shù)大于0;圖2和圖4是負相關(guān),相關(guān)系數(shù)小于0;圖1和圖2的點相對更加集中,所以相關(guān)性較強,所以r1接近于1,r2接近于-1,由此可得r2<r4<r3<r1,故選A.(2)因為相關(guān)系數(shù)的絕對值越大,越接近1,則說明兩個變量的相關(guān)性越強.因為點E到直線的距離最遠,所以去掉點E,余下的5個點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)最大,故選B.,考點1,考點2,考點3,思考如何判斷兩個變量有無相關(guān)關(guān)系?解題心得判斷相關(guān)關(guān)系的2種方法(1)散點圖法:如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法:利用相關(guān)系數(shù)判定,當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練1(1)(2018河北張家口模擬,4)已知x,y是兩個變量,下列四個散點圖中,x,y呈正相關(guān)趨勢的是(),A,考點1,考點2,考點3,(2)(2018湖南長沙模擬,11)某市國慶節(jié)7天假期的樓房認購量(單位:套)與成交量(單位:套)的折線圖如圖所示,小明同學(xué)根據(jù)折線圖對這7天的認購量與成交量作出如下判斷:日成交量的中位數(shù)是16;日成交量超過日平均成交量的有2天;認購量與日期正相關(guān);10月7日認購量的增量大于10月7日成交量的增量.上述判斷中錯誤的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4,C,考點1,考點2,考點3,解析:(1)當(dāng)x,y呈正相關(guān)趨勢時,散點圖應(yīng)該是從左下到右上趨勢,由圖可知選項A中的散點圖是從左下到右上趨勢,描述了y隨著x的增加而增加的變化趨勢,故選A.(2)將成交量數(shù)據(jù)按大小順序排列,中位數(shù)為26,所以錯;日平均成交量為,超過42.7的只有一天,所以錯;由圖中可以看出,數(shù)據(jù)點并不是從左下分布至右上,所以錯;10月7日認購量增量為276-112=164,成交量增量為166-38=128,所以對,故選C.,考點1,考點2,考點3,回歸方程的求法及回歸分析例2(2018全國2,18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,17)建立模型;y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.,考點1,考點2,考點3,解(1)利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=-30.4+13.519=226.1(億元).利用模型,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y=99+17.59=256.5(億元).,考點1,考點2,考點3,(2)利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠.,考點1,考點2,考點3,(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.,考點1,考點2,考點3,思考對已知的兩個變量的一組數(shù)據(jù)如何做回歸分析?解題心得1.回歸直線方程中系數(shù)的2種求法(1)公式法:利用公式,求出回歸系數(shù)b,a.(2)待定系數(shù)法:利用回歸直線過樣本點中心求系數(shù).2.回歸分析的2種策略(1)利用回歸方程進行預(yù)測:把回歸直線方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.(2)利用回歸直線判斷正、負相關(guān):決定正相關(guān)還是負相關(guān)的是回歸系數(shù)b.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練2(2018河北衡水模擬二,19)下表是某學(xué)生在4月份開始進入沖刺復(fù)習(xí)至高考前的5次大型聯(lián)考數(shù)學(xué)成績(分):,(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖:,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,解(1)散點圖如圖:,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,獨立性檢驗例3(2018全國3,文18改編)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:,考點1,考點2,考點3,(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:,(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?,考點1,考點2,考點3,解(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.,考點1,考點2,考點3,由莖葉圖可知:用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考獨立性檢驗得出的結(jié)論是什么?它對我們?nèi)粘Ｉ钣惺裁磶椭?解題心得,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練3(2018鄭州三模,18)在2018年3月鄭州第二次模擬考試中,某校共有100名文科學(xué)生參加考試,其中語文考試成績低于130的占95%,數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖:(1)如果成績不低于130的為特別優(yōu)秀,這100名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約各多少人?,考點1,考點2,考點3,(2)如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人.從(1)中的這些同學(xué)中隨機抽取2人,求這兩人兩科成績都優(yōu)秀的概率.根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成22列聯(lián)表,并分析是否有99%的把握認為語文特別優(yōu)秀的同學(xué),數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.,考點1,考點2,考點3,解(1)某校共有100名文科學(xué)生參加考試,其中語文考試成績低于130的占95%,語文成績特別優(yōu)秀的概率為P1=1-0.95=0.05,語文特別優(yōu)秀的同學(xué)有1000.05=5人,數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率為P2=0.00220=0.04,數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有1000.04=4人.(2)語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有3人,單科優(yōu)秀的有3人,記兩科都優(yōu)秀的3人分別為A1,A2,A3,單科優(yōu)秀的3人分別為B1,B2,B3,從中隨機抽取2人,共有:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)共15種,其中這兩人成績都優(yōu)秀的有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)3種,則這兩人兩科成績都優(yōu)秀的概率為:,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.求回歸方程,關(guān)鍵在于正確求出回歸系數(shù)a,b.由于a,b的計算量大,因此計算時應(yīng)仔細謹慎,分層進行,避免因計算而產(chǎn)生錯誤.(注意線性回歸方程中一次項系數(shù)為b,常數(shù)項為a,這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同)2.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決:(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系,如果有,就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達式;(2)根據(jù)一組觀測值,預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢;(3)求出線性回歸方程.3.根據(jù)2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度,并用來指導(dǎo)科研和實際生活.,考點1,考點2,考點3,1.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同,函數(shù)關(guān)系中的兩個變量之間是一種確定性關(guān)系.例如正方形面積S與邊長x之間的關(guān)系S=x2就是函數(shù)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,即相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系.例如商品的銷售額與廣告費之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系.兩個變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提.2.回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法,只有在散點圖大致呈線性分布時,求出的線性回歸方程才有實際意義,否則,求出的線性回歸方程毫無意義.根據(jù)回歸方程進行預(yù)報,僅是一個預(yù)報值,而不是真實發(fā)生的值.,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)例釋數(shù)學(xué)建模1.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括:在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型,求解結(jié)論,驗證結(jié)果并改進模型,最終解決實際問題.2.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.,典例(原創(chuàng)題)右圖是我國2011年至2017年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼17分別對應(yīng)年份20112017(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)請建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2021年我國生活垃圾無害化處理量.,評析:先在實際問題中收集數(shù)據(jù),畫散點圖確定相關(guān)關(guān)系,再用最小二乘法求回歸方程,進而用回歸模型對實際問題進行預(yù)測.,