2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第2講 數(shù)形結合思想 理.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第2講 數(shù)形結合思想 理1數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質2運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：(1)等價性原則在數(shù)形結合時，代數(shù)性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應(2)雙方性原則既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯(3)簡單性原則不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線3數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構建函數(shù)模型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍(2)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍(3)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系(4)構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式(5)構建立體幾何模型研究代數(shù)問題(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題(7)構建方程模型，求根的個數(shù)(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等4數(shù)形結合思想是解答高考數(shù)學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度具體操作時，應注意以下幾點：(1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調整，以便于作圖)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解熱點一利用數(shù)形結合思想討論方程的根例1(xx山東)已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程f(x)g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()A(0，) B(，1)C(1,2) D(2，)答案B解析先作出函數(shù)f(x)|x2|1的圖象，如圖所示，當直線g(x)kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)kx過A點時斜率為，故f(x)g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為(，1)思維升華用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)設函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函數(shù)yf(x)及yx的函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得交點有3個熱點二利用數(shù)形結合思想解不等式、求參數(shù)范圍例2(1)已知奇函數(shù)f(x)的定義域是x|x0，xR，且在(0，)上單調遞增，若f(1)0，則滿足xf(x)<0的x的取值范圍是_(2)若不等式|x2a|xa1對xR恒成立，則a的取值范圍是_答案(1)(1,0)(0,1)(2)解析(1)作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知xf(x)<0的x的取值范圍是(1,0)(0,1)(2)作出y|x2a|和yxa1的簡圖，依題意知應有2a22a，故a.思維升華求參數(shù)范圍或解不等式問題時經常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答(1)設A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，則使AB成立的實數(shù)m的取值范圍是_(2)若不等式k(x2)的解集為區(qū)間a，b，且ba2，則k_.答案(1)1，)(2)解析(1)集合A是一個圓x2(y1)21上的點的集合，集合B是一個不等式xym0表示的平面區(qū)域內的點的集合，要使AB，則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線xym0應與圓相切或相離(在圓的下方)，而當直線與圓相切時有1，又m>0，所以m1，故m的取值范圍是m1.(2)令y1，y2k(x2)，在同一個坐標系中作出其圖象，因k(x2)的解集為a，b且ba2.結合圖象知b3，a1，即直線與圓的交點坐標為(1,2)又因為點(2，)在直線上，所以k.熱點三利用數(shù)形結合思想解最值問題例3(1)已知P是直線l：3x4y80上的動點，PA、PB是圓x2y22x2y10的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為_(2)已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2y26x9的取值范圍是()A2,4 B2,16C4,10 D4,16答案(1)2(2)B解析(1)從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x4y80向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRtPAC|PA|AC|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|3，從而|PA|2.所以(S四邊形PACB)min 2|PA|AC|2.(2)畫出可行域如圖，所求的x2y26x9(x3)2y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線xy10(x0)的距離d的平方，最大值為|QA|216.d2()2()22.取值范圍是2,16思維升華(1)在幾何的一些最值問題中，可以根據(jù)圖形的性質結合圖形上點的條件進行轉換，快速求得最值(2)如果(不)等式、代數(shù)式的結構蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解(1)(xx重慶)設P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6 B4 C3 D2(2)若實數(shù)x、y滿足則的最小值是_答案(1)B(2)2解析(1)由題意，知圓的圓心坐標為(3，1)，圓的半徑長為2，|PQ|的最小值為圓心到直線x3的距離減去圓的半徑長，所以|PQ|min3(3)24.故選B.(2)可行域如圖所示又的幾何意義是可行域內的點與坐標原點連線的斜率k.由圖知，過點A的直線OA的斜率最小聯(lián)立得A(1,2)，所以kOA2.所以的最小值為2.1在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關系時，我們可以通過圖形分析這些數(shù)量關系，達到解題的目的2有些圖形問題，單純從圖形上無法看出問題的結論，這就要對圖形進行數(shù)量上的分析，通過數(shù)的幫助達到解題的目的3利用數(shù)形結合解題，有時只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象4數(shù)形結合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點間的距離公式(或向量的模、復數(shù)的模)；點到直線的距離公式等.真題感悟1(xx重慶)已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|PN|的最小值為()A54 B.1C62 D.答案A解析設P(x,0)，設C1(2,3)關于x軸的對稱點為C1(2，3)，那么|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而|PM|PN|PC1|PC2|454.2(xx江西)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2xy40相切，則圓C面積的最小值為()A. B.C(62) D.答案A解析AOB90，點O在圓C上設直線2xy40與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2xy40的距離，點C在以O為焦點，以直線2xy40為準線的拋物線上，當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|，圓C的最小半徑為，圓C面積的最小值為()2.3(xx課標全國)已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0答案D解析函數(shù)y|f(x)|的圖象如圖當a0時，|f(x)|ax顯然成立當a>0時，只需在x>0時，ln(x1)ax成立比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)yax的增長速度顯然不存在a>0使ln(x1)ax在x>0上恒成立當a<0時，只需在x<0時，x22xax成立即ax2成立，所以a2.綜上所述：2a0.故選D.4(xx天津)已知函數(shù)f(x)|x23x|，xR.若方程f(x)a|x1|0恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(0,1)(9，)解析設y1f(x)|x23x|，y2a|x1|，在同一直角坐標系中作出y1|x23x|，y2a|x1|的圖象如圖所示由圖可知f(x)a|x1|0有4個互異的實數(shù)根等價于y1|x23x|與y2a|x1|的圖象有4個不同的交點當4個交點橫坐標都小于1時，有兩組不同解x1，x2，消y得x2(3a)xa0，故a210a9>0，且x1x2a3<2，x1x2a<1，聯(lián)立可得0<a<1.當4個交點橫坐標有兩個小于1，兩個大于1時，有兩組不同解x3，x4.消去y得x2(3a)xa0，故a210a9>0，且x3x4a3>2，x3x4a>1，聯(lián)立可得a>9，綜上知，0<a<1或a>9.押題精練1方程|x22x|a21(a>0)的解的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案B解析(數(shù)形結合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的圖象如圖，y|x22x|的圖象與ya21的圖象總有兩個交點2不等式|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案A解析f(x)|x3|x1|畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.正確選項為A.3經過P(0，1)作直線l，若直線l與連接A(1，2)，B(2,1)的線段總有公共點，則直線l的斜率k和傾斜角的取值范圍分別為_，_.答案1,10，)解析如圖所示，結合圖形：為使l與線段AB總有公共點，則kPAkkPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0時，傾斜角為鈍角，k0時，0，k>0時，為銳角又kPA1，kPB1，1k1.又當0k1時，0；當1k<0時，<.故傾斜角的取值范圍為0，)4(xx山東)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是_答案解析由題意知原點O到直線xy20的距離為|OM|的最小值所以|OM|的最小值為.5(xx江西)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A、B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率為_答案解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.當AOB時，SAOB面積最大此時O到AB的距離d.設AB方程為yk(x)(k<0)，即kxyk0.由d得k.6設函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們在x1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍解函數(shù)g(x)bx2ln x的定義域為(0，)，(1)f(x)3ax23af(1)0，g(x)2bxg(1)2b1，依題意得2b10，所以b.(2)x(0,1)時，g(x)x<0，即g(x)在(0,1)上單調遞減，x(1，)時，g(x)x>0，即g(x)在(1，)上單調遞增，所以當x1時，g(x)取得極小值g(1)；當a0時，方程F(x)a2不可能有四個解；當a<0，x(，1)時，f(x)<0，即f(x)在(，1)上單調遞減，x(1,0)時，f(x)>0，即f(x)在(1,0)上單調遞增，所以當x1時，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖(1)所示，從圖象可以看出F(x)a2不可能有四個解當a>0，x(，1)時，f(x)>0，即f(x)在(，1)上單調遞增，x(1,0)時，f(x)<0，即f(x)在(1,0)上單調遞減，所以當x1時，f(x)取得極大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的圖象如圖(2)所示，從圖(2)看出，若方程F(x)a2有四個解，則<a2<2a，所以，實數(shù)a的取值范圍是.